Chuyên đề Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (Phần 1) - Bồi dưỡng HSG Toán 8

 CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ
 Tỉnh, thành phố Năm học
HSG Thanh Chương 2018 – 2019; 
HSG Chương Mỹ 2018 – 2019;
HSG Thanh Chì 2018 – 2019;
HSG Thanh Chương 2018 – 2019;
HSG Ân Thi 2017 – 2018;
HSG Kim Thành 2017 – 2018;
HSG Hoài Nhơn
HSG Yên Dũng
HSG Sóc Trăng 2014-2015
HSG Quảng Ngãi 2015-2016
HSG Yên Bái 2015-2016
Chuyên Toán Quảng Ngãi 2014-2015; 2015-2016
Chuyên Toán Quảng Trị 2015-2016
HSG Yên Phong Bắc Ninh 2014; 2016-2017
HSG Ba Vì 2018 – 2019;
 1 Lời giải
a) Ta có A(x) x2 4x 24 (x 2)2 20 20x minA(x) 20 x 2
b) Ta có B(x) 2x2 8x 1 2(x2 4x 4) 7 2(x 2)2 7 7 minB 7 x 2
 1 13 13 1
c) Ta có C(x) 3x2 x 1 3(x )2 x 
 6 12 12 6
 Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau
a. A(x) 5x2 4x 1 b. B(x) 3x2 x 1
 Lời giải
 4 1 2 9 9 2
a. Ta có A(x) 5x2 4x 1 5(x2 x ) 5(x )2 x 
 5 5 5 5 5 5
 1 13 13 1
b. Ta có B(x) 3x2 x 1 3(x )2 x 
 6 12 12 6
 3 Phương pháp: Đa số các biểu thức có dạng F x; y ax2 by2 cxy dx ey h a.b.c 0 1 
- Ta đưa dần các biến vào trong hằng đẳng thức a2 2ab b2 a b 2 như sau
 F x; y mK x; y2 nG y2 r 2 hoặc F x; y mK x; y2 nH x2 r 3 
Trong đó G y, H x là biểu thức bậc nhất đối với biến, còn K x; y px qy k cũng là biểu 
thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y
Cụ thể:
Ta biến đổi (1) để chuyển về dạng (2) như sau với a 0;4ac b2 0
Ta có: 4a.F x; y 4a2 x2 4abxy 4acy2 4adx 4aey 4ah 4a2 x2 b2 y2 d 2 4abxy 4adx 2bdy
 4ac b2 y2 2y 2ae bd 4ah d 2
 2
 2 2 2ae bd 2 2ae bd 
 2ax by d 4ac b y 2 4ah d 2 
 4ac b 4ac b 
Vậy có (2) với 
 2
 1 b2 4ac 2ae bd d 2 2ae bd 
 m .F x; y 2ax by d;n ;G(y) y ;r h 
 4a 4a 4ac b2 4a 4a 4ac b2 
+) Nếu a 0;4ac b2 0 m 0,n 0 2 : F x; y r * 
+) Nếu a 0;4ac b2 0 m 0,n 0 2 : F x; y r ** 
+) Nếu m 0,n 0 , thì ta tìm được giá trị nhỏ nhất
+) Nếu m 0,n 0 thì ta tìm được giá trị lớn nhất
Dễ thấy rằng luôn tồn tại x; y để có dấu của đẳng thức, như vậy ta sẽ tìm được cực trị của đa 
thức đã cho
Trong cả hai trường hợp trên:
- Nếu r 0 thì phương trình F x; y 0 có nghiệm
- Nếu F x; y r 0 hoặc F x; y r 0 thì không có x; y nào thảo mãn F x; y 0 
+) Nếu a 0;4ac b2 0;r 0 2 : F x; y phân tích được tích của hai nhân tử, giúp ta giải 
được các bài toán khác.
 Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau
 5 1 1 1 11 11 1 1 1
 2(x )2 3(y )2 (2z )2 (x, y, z) ( ; ; )
 2 3 2 2 2 2 3 4
 2 2 2 2 2
e. Ta có E(x) 2(x 4xy 4y ) 3y 4x 2y 6 2(x 2y) 4(x 2y) 2 3y 6y 4
 2 2 x 2y 1 0 x 3
 2(x 2y 1) 3(y 1) 1 1 
 y 1 0 y 1
 2 2 2
f. Ta có F(x) 2x 6y 5z 6xy 8yz 2xz 2y 4z 2(kho)
 3y z 3y z
F(x) 2x2 2x(3y z) 2( )2 6y2 5z2 8yz ( )2 2y 4z 2
 2 2
 3y z 3 10 25 1
 2(x )2 (y2 yz z2 ) z2 2y 4z 2
 2 2 3 9 3
 3y z 3 5 5 2 1 2 1
 2(x )2 (y z)2 2(y z) ( z 2 z ) 1
 2 2 3 3 3 3 3 3
 3y z
 x 0
 2
 x 1
 3 5 2 2 1 2 5 2 
 2(...) (y z ) (x 1) 1 1 y z 0 y 1 min A 1
 2 3 3 3 3 3
 z 1
 z 1 0 
 2 2 2 2 2 2
g. Ta có G(x) 2x 2y z 2xy 2xz 2yz 2x 4y (x 1) (y 2) (x y z) 5 5
 x 1; y 2; z 3
h. Ta có H (x) x2 y2 xy x y 1 4H (x) (2x)2 2.2x.y y2 3y2 4x 4y 4 
 2 1 8 8
 (2x y)2 2(2x y) 3y2 2y 3 1 (2x y 1) 3(y2 y 1) (2x y 1) 3(y )2 
 3 2 3 3
 8 2 1 2
 min4A x ; y minA 
 3 3 3 3
 Bài 3: Tìm GTLN của các biểu thức sau
a. A 4x2 5y 2 8xy 10y 12 b. x2 y 2 xy 2x 2y
 Lời giải
a. A 4x2 5y 2 8xy 10y 12 4x2 8xy 4y2 y2 10y 25 37 4(x y)2 (y 5)2 37 37
 x 5
 y 5
b. A x2 y 2 xy 2x 2y 4A 4x2 4y2 4xy 8x 8y
 7 Bài 1: 
Tìm GTNN của: A x2 2xy 2y2 2x 10y 17
 Hướng dẫn
Ta có A x2 2x y 1 2y2 10y 17 x2 2x y 1 y 1 2 2y2 10y 17 y 1 2 
 x y 1 2 y2 8y 16 
 Bài 2: 
Tìm min của B x2 xy y2 2x 2y
 Hướng dẫn
 2 2
 2 2 2 y 2 y 4y 4 2 y
Ta có B x x y 2 y 2y x 2.x. y 2y y 1
 2 4 4
4B x y 2 2 4y2 8y y2 4y 4
 Bài 3: 
Tìm min của: C x2 xy y2 3x 3y
 Hướng dẫn
 2 2
 2 2 2 y 3 y 6y 9 2 y 6y 9
Ta có C x x y 3 y 3y x 2.x. y 3y 
 2 4 4
 2 2 2
4C x y 3 4y 12y y 6y 9 
 Bài 4: 
Tìm min của: D x2 2xy 6y2 12x 2y 45
 Hướng dẫn
Ta có D x2 2x y 6 6y2 2y 45 x2 2x. y 6 y 6 2 6y2 2y 45 y2 12y 36 
 x y 6 2 5y2 10y 9
 Bài 5: 
Tìm min của: E x2 xy 3y2 2x 10y 20
 Hướng dẫn
 9 Tìm min của: K x2 y2 xy 3x 3y 20
 Hướng dẫn
Ta có 4K 4x2 4y2 4xy 12x 12y 80 4x2 4x y 3 y 3 2 4y2 12y 80 y 3 2 
4K 2x y 3 2 3y2 18y 71
 Bài 11: 
Tìm min của: M x2 2xy 2y2 2y 1
 Hướng dẫn
Ta có M x2 2xy y2 y2 2y 1 
 Bài 12: 
Tìm min của: N x2 2xy 2y2 x
 Hướng dẫn
 2 2
 2y 1 2y 1 2y 1 
Ta có N x2 x 2y 1 2y2 x2 2x. 2y2 
 2 4 4
4N x 2y 1 2 8y2 4y2 4y 1 
 Bài 13: 
Tìm min của: A x2 2xy 3y2 2x 1997
 Hướng dẫn
Ta có A x2 2x y 1 3y2 1997 x2 2x y 1 y 1 2 3y2 1997 y2 2y 1 
 Bài 14: 
Tìm min của: Q x2 2y2 2xy 2x 10y
 Hướng dẫn
Ta có Q x2 2x y 1 2y2 10y x2 2x y 1 y 1 2 2y2 10y y2 2y 1 
 Bài 15: 
Tìm min của: R x2 2y2 2xy 2y
 Hướng dẫn
 11 Hướng dẫn
Ta có Ta có: 4P a2 2ab b2 3 a2 b2 4 2ab 4a 4b a b 2 3 a b 2 2 0
 Bài 22: 
Tìm min của: G x2 xy y2 3 x y 3
 Hướng dẫn
Ta có 4G 4x2 4xy 4y2 12x 12y 12
 4G 4x2 4x y 3 y 3 2 4y2 12y 12 y2 6y 9 
 4G 2x y 3 2 3y2 6y 3 2x y 3 2 3 y 1 2 0
 Bài 23: 
CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn: x2 4y2 z2 2x 8y 6z 15 0
 Hướng dẫn
Ta có x2 2x 1 4y2 8y 4 z2 6z 9 1 1
 Bài 24: 
Tìm min của: A 2x2 y2 2xy 2x 3
 Hướng dẫn
Ta có A x2 2xy y2 x2 2x 1 2 x y 2 x 1 2 2 2
 Bài 25: 
Tìm min của: B x2 2xy 2y2 2x 10y 17
 Hướng dẫn
Ta có B x2 2x y 1 y 1 2 2y2 10y 17 y2 2y 1 x y 1 2 y2 8y 16 
 Bài 26: 
Tìm min của: D 2x2 2xy 5y2 8x 22y
 Hướng dẫn
Ta có 2D 4x2 4xy 10y2 16x 44y 4x2 4x y 4 10y2 44y
 2D 4x2 2.2x y 4 y 4 2 10y2 44y y2 8y 16
 13