Chuyên đề Đường trung bình của tam giác, của hình thang Toán 8

 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Đường trung bình của tam giác 
* Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. 
* Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai 
thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba. 
* Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. 
2. Đường trung bình của hình thang 
* Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình 
thang. 
* Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song vói hai đáy 
thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai. 
* Định lí 4: Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. 
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bìn của tam giác để chứng minh 
Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của tam giác, Định lí 1, Định lí 2 để suy 
ra điều cân chứng minh. 
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tií Mx song song với AC cắt AB 
tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh: 
a) EF là đường trung bình của tam giác ABC; 
b) AM là đường trung trực của EF. 
Bài 2. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho 
AD = DE = EB. Đoạn CD cắt AM tại I. Chứng minh: 
a) EM song song vói DC; 
b) I là trung điểm của AM; 
 Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ tia Hx vuông góc với AB tại P và 
tia Hy vuông góc vói AC tại Q. Trên các tia Hx, Hy lần lượt lấy các điếm D và E sao cho PH = PD, 
QH = QE. Chứng minh: 
a) A là trung điểm của DE; 
 1
b) PQ = DE; 
 2
c) PQ = AH. 
Bài 8. Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến ứng vói BC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD 
 1
= C. Kẻ Mx song song với BD và cắt AC tại E. Đoạn BD cắt AM tại I. Chứng minh: 
 2
a) AD = DE = EC; 
b) SAIB = SIBM; 
C)SABC = 2SIBC. 
Bài 9. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC. 
a) Chứng minh EK song song với CD, FK song song với AB. 
 1
b) So sánh EF và ( AB + CD). 
 2
 1
c) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để ba điểm E, F, K thẳng hàng. Từ đó chứng minh EF = (AB 
 2
+ CD). 
Bài 10. Cho tứ giác ABCD. Có G là trung điểm của đoạn nối các trung điểm của hai đường chéo AC 
và BD. Gọi m là một đường thẳng không cắt cạnh nào của hình thang ABCD; Gọi A', B', C’, D’, G' 
 1
lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D, G lên đường thẳng m. Chứng minh GG' = 
 2
(AA'+BB'+CC'+DD’). 
 a) Gọi M và N lần lượt là giao điểm của AE, BF với CD. 
 1 1
Ta có: ADE D ngoài, DAE  A ngoài. 
 2 2
Mà A ngoài + D ngoài = 1800 (do AB//CD) 
 ADE DAE 900 , tức là tam giác ADE vuông tại E. 
Khi đó, tam giác ADM cân tại D (do có DE vừa là đường phân giác, vừa là đường cao) và E là trung 
điểm của AM. 
Chứng minh tương tự, ta được F olaf trung điểm của BN. 
Từ khó, suy ra EF là đường trung bình của hình thang ABNM và ta được ĐPCM 
 1
b) Từ ý a), EF (AB BC CD DA) 
 2
Lưu ý: Có thể sử dụng tính chất đường phân giác để chứng minh. 
 Bài 5. 
 a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABD 
 MN// AB 
 Tương tự, ta được MP//CD và MQ//AB, CD. 
 Như vậy, MN, MP, MQ cùng song song AB ĐPCM. 
 11
 b) Ta có: DC AB 2 MP 2 MN MP MN NP 
 22
 Bài 6. 
 a)Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của AE, AF với CD. 
 Chứng minh tương tự 4. 
 b) Ta có: 
 11
 MN ( AB CD) ( a c) 
 22
 Lại có: 
 1
Chứng minh được IK là đường trung bình của tam giác AHM IK = AH. 
 2
Xét hai tam giác ABC và IBC có chung đáy BC và hai đường cao AH = 2IK ĐPCM. 
 Bài 9 . 
 a) HS tự chứng minh. 
 b) Xét tam giác 
 111
 EF:KEF EK KF CD AB ( AB CD); 
 222
 c) Để E, F, K thẳng hàng, khi đó EF đồng thời song 
 song với AB và CD. Tức là tứ giác ABCD là hình 
 thang (AB//CD) 
 1
 Theo định lý 4, EF ( AB CD). 
 2
Bài 10. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD; E' và F' lần lượt là hình chiếu của E, F trên 
đường thẳng m. 
Khi đó, GG' là đường trung bình của hình thang EE'F'F 
 1
 GG ' EE' +FF'). 
 2
 Mà EE' và FF' lần lượt là đường trung bình của hình thang AA'C'C và BB'D'D. 
 1 1
 EE' (AA' +CC') và FF' (BB' +DD') 
 2 2
 Thay vào (1) ta được ĐPCM. 
 Bài 9. Cho tam giác ABC , cạnh BC cố định. Vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác ABM vuông 
cân tại B , tam giác CAN vuông cân tại C . Chứng minh rằng khi A di động trên một nửa mặt 
phẳng bờ BC thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 
Bài 10. Cho điểm M nằm giữa hai điểm A và B nhưng không là trung điểm của đoạn thẳng AB . 
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác CAM và DBM cân tại C và D sao cho 
 1
 C D . Gọi H và F lần lượt là trung điểm của AD và BC . Chứng minh rằng: HF CD . 
 2
 HƯỚNG DẪN 
Bài 1. (h.3.7) 
Gọi O là giao điểm của AC và BD . 
Ta có: AC BD và OA OC . 
Xét ABD có MN là đường trung bình 
 MN// BD và OA MN (vì OA BD ). 
Xét ABC có ON là đường trung bình 
 ON// BC và ON ME (vì ME BC ). 
Xét ACD có OM là đường trung bình 
 OM// CD và OM NF (vì NF CD ). 
Xét OMN có OA,ME,NF là ba đường cao nên chúng đồng quy. 
Bài 2. (h.3.8) 
Gọi O là trung điểm của BC . 
Xét EBC có OM là đường trung bình 
 CE
 OM// CE và OM . 
 2
Xét DBC có ON là đường trung bình 
 BD
 ON// BD và ON . 
 2
 OMN và HFG có: MN FG;OMN HFG;ONM HGF (hai góc có cạnh tương ứng song 
song). 
 AH
Vậy OMN HFG g.c.g OM HF . 
 2
Bài 5. (h.3.11) 
Gọi M là trung điểm của BD thì: 
 1
 MD BD AH . 
 2
 ABC cân tại A, AH là đường cao nên HB HC . 
Ta có HM là đường trung bình của BCD HM// AC . 
Hình thang HMAD có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân. 
 ADH DAM c.c.c  A1 D1 90 C B1 C (1) 
 x
Ta đặt B C x thì 1 90 x x x 36 
 2
Vậy ABC có B C 36;A 108 . 
Bài 6. Gọi M là trung điểm của AB và O là một điểm tùy ý không nằm giữa A và B . 
 Trường hợp O nằm trên tia đối của tia AB hay tia đối của tia BA (h.3.16), ta 
 OA OB
 chứng minh được OM . 1 
 2
 Trường hợp O không thẳng hàng với A và B (h.3.17). 
 Gọi N là trung điểm của OB , khi đó MN là 
 OA
 đường trung bình của OAB, MN . 
 2
 Xét OMN , ta có: OM MN ON 
 OA OB
 OM . 2 
 2
 1
Ta có: OB BD DC BC. 
 2
 Xét ABE có MN// BE và MA MB nên NA NE. 1 
 Xét hình thang ONFD có BE// ON và OB BD nên NE EF. 2 
 Xét CBE có DF// BE và BD DC nên EF FC. 3 
 1
Từ 1 , 2 , 3 suy ra: AN NE EF FC , do đó AN AC. 
 4
Bài 9. (h.3.21) 
Gọi O là trung điểm của MN . 
Vẽ OF BC;AH BC;MD BC và NE BC . 
Ta có: OF// AH // MD // NE. 
 BMD ABH (cạnh huyền – góc nhọn) 
 MD BH và BD AH. 1 
Tương tự, CNE ACH 
 NE CH và CE AH. 2 
Từ 1 và 2 suy ra BD CE AH . 
Dễ thấy OF là đường trung bình của hình thang MDEN 
 MD NE BH CH BC
 OF (không đổi). 
 222
Ta có: FD FE;BD CE FB FC . 
 BC
Vậy O nằm trên đường trung trực của BC và cách BC một khoảng không đổi là . Do đó O là 
 2
một điểm cố định. 
Suy ra MN đi qua một điểm cố định là điểm O . 
Bài 10. (h.3.22) 
* Tìm hướng giải