Chuyên đề Đường tròn Toán 9 Chân trời sáng tạo

 359
 Chương 5. ĐƯỜNG TRềN
 Chỷỳng
 ĐƯỜNG TRềN5
 ĐƯỜNG TRềN
 Baõi 1 ĐƯỜNG TRềN
 AA TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
 1 Đường trũn
 Đường trỏn tƠm O bĂn kẵnh R (R > 0), kẵ hiằu là (O; R), là hẳnh gồm tĐt cÊ cĂc điểm cĂch điểm O mởt khoÊng
 bơng R.
 o ○ Khi khụng cƯn để ý đến bĂn kẵnh ta kẵ hiằu đường trỏn tƠm O là (O).
 ○ Náu A là mởt điểm cừa đường trỏn (O) ta viát A 2 (O). Khi đú, ta cỏn núi đường trỏn (O) đi qua
 điểm A, hay điểm A nơm trản đường trỏn (O).
 ǥ Nhên x²t.
 ○ Trản mặt ph¯ng cho đường trỏn (O; R) và điểm M.
 Khi đú, ta cú cĂc trường hủp sau cú thº xÊy ra M
 — Điểm M nơm trản đường trỏn (O; R) náu OM = R.
 — Điểm M nơm trong đường trỏn (O; R) náu OM < R. R M
 — Điểm M nơm ngoài đường trỏn (O; R) náu OM > R. O
 M
 ○ Hẳnh trỏn tƠm O bĂn kẵnh R là hẳnh gồm cĂc điểm nơm trản và nơm trong đường
 trỏn (O; R).
 o ĐoÔn th¯ng AB trong hẳnh bản được gọi là đường kẵnh cừa đường trỏn O.
 B A
 O
 2 Tớnh đối xứng của đường trũn
 ○ Đường trỏn là hẳnh cú tƠm đối xựng; tƠm cừa đường trỏn là tƠm đối xựng cừa nú.
 ○ Đường trỏn là hẳnh cú trục đối xựng; mội đường th¯ng đi qua tƠm cừa đường trỏn là mởt trục đối xựng
 cừa nú.
 o Đường trỏn cú mởt tƠm đối xựng nhưng cú vụ số trục đối xựng.
359/476 359/476 361
 Chương 5. ĐƯỜNG TRềN
 O O0 O O0
 Hẳnh a) Hẳnh a)
 ǥ Nhên x²t.
 ○ Hai đường trỏn (O; R) và (O0; R0) ngoài nhau khi OO0 > R + R0.
 ○ Đường trỏn (O; R) đựng đường trỏn (O0; R0) khi R > R0 và OO0 < R − R0. Đặc biằt khi O trựng với O0 và
 R 6= R0 thẳ ta cú hai đường trỏn đồng tƠm.
 Ta cú bảng tổng kết sau
 Vị trẵ tương đối cừa(O; R) và (O; R0)(R ≥ R0) Số điểm chung Hằ thực giỳa OO0 với R và R0
 (O) và (O0) cưt nhau 2 R − R0 < OO0 < R + R0
 (O) và (O0) tiáp xỳc ngoài 1 OO0 = R + R0
 (O) và (O0) tiáp xỳc trong 1 OO0 = R − R0 > 0
 (O) và (O0) ở ngoài nhau 0 OO0 > R + R0
 (O) đựng (O0) 0 OO0 < R − R0
 BA CÁC DẠNG BÀI TẬP
 | Dạng 1. Chứng minh nhiều điểm cựng nằm trờn một đường trũn
 Ą Vớ dụ 1. Cho hẳnh chỳ nhêt ABCD cú AB = a, BC = b. Chựng minh rơng bốn điểm A, B, C, D cựng
 thuởc mởt đường trỏn. XĂc định tƠm và tẵnh bĂn kẵnh cừa đường trỏn đú.
 ɓ Lời giải.
 Gọi O là giao điểm cừa hai đường ch²o AC và BD. Theo tẵnh chĐt hai đường
 Å 1 1 ó
 ch²o cừa hẳnh chỳ nhêt, ta cú OA = OB = OC = OD = AC = BD :
 2 2 A a B
 Å 1 ó
 Vêy bốn điểm A, B, C, D cựng thuởc O; AC .
 2
 b
 Áp dụng định lẵ Py-ta-go vào tam giĂc vuụng ABC, ta cú O
 AC2 = AB2 + BC2 = a2 + b2:
 D C
 1 1p
 Do đú R = AC = a2 + b2.
 2 2
 □
 Ą Vớ dụ 2. Cho tam giĂc ABC, cĂc đường cao BD và CE. Trản cÔnh AC lĐy điểm M. K´ tia Cx vuụng gúc
 với tia BM tÔi F . Chựng minh rơng nôm điểm B, C, D, E, F cựng thuởc mởt đường trỏn.
 ɓ Lời giải.
361/476 361/476 363
 Chương 5. ĐƯỜNG TRềN
 Ą Vớ dụ 6. Trong mặt ph¯ng tọa độ Oxy, cho cĂc điểm A(3; 0), B(−2; 0), C(0; 4). V³ hẳnh và cho biát trong
 cĂc điểm đó cho, điểm nào nơm trản, điểm nào nơm trong, điểm nào nơm ngoài đường trỏn (O; 3)?
 ɓ Lời giải.
 Dựa vào hẳnh v³ ta thĐy y
 ○ Điểm A nơm trản đường trỏn (O; 3). C
 ○ Điểm B nơm trong đường trỏn (O; 3).
 ○ Điểm C nơm ngoài đường trỏn (O; 3).
 x
 OB A
 □
 Ą Vớ dụ 7.
 Cho đường trỏn (O; R) và nôm điểm M; N; P ; H; K. So sĂnh độ dài cĂc đoạn M
 th¯ng OM; ON; OH; OK; OP với R.
 H P
 O
 N
 K
 ɓ Lời giải.
 Vẳ M; H; K thuởc (O; R) nản OM = OH = OK = R. Ta cú: ON OH nản OP > R.
 □
 Ą Vớ dụ 8. Cho đường trỏn (O; R) và hai điểm M, N sao cho M nơm trong và N nơm ngoài (O; R). HÂy so
 sĂnh OMNữ và ONMữ.
 ɓ Lời giải.
 Ta cú M nơm trong (O; R) nản OM R.
 N
 Trong tam giĂc OMN, cú OM R) nản OMNữ > ONMữ M
 (trong mởt tam giĂc, gúc đối diằn với cÔnh lớn hơn thẳ lớn hơn).
 O
 □
 | Dạng 3. Tõm đối xứng, trục đối xứng của đường trũn
 Ą Vớ dụ 9.
 XĂc định tƠm đối xựng và trục đối xựng cừa bĂnh xe trong hẳnh bản.
363/476 363/476 365
 Chương 5. ĐƯỜNG TRềN
 Do A; B thuởc (O) nản OA = OB ) O 2 d. A
 Vêy d là đường th¯ng đi qua tƠm O cừa (O), do đú d là mởt trục đối xựng cừa (O).
 O d
 B
 □
 Ą Vớ dụ 15. Cho tam giĂc nhọn ABC. Đường trỏn tƠm O đường kẵnh BC cưt cĂc canh AB và AC lƯn lượt
 tÔi M và N. Chựng minh MN < BC.
 ɓ Lời giải.
 X²t (O) cú BC là dƠy đường kẵnh. A
 Suy ra BC là dƠy lớn nhĐt cừa đường trỏn. N
 Suy ra MN < BC. M
 B C
 O
 □
 Ą Vớ dụ 16.
 BÔn Mai công ba đoạn ch¿ AB, CD, EF cú độ dài lƯn lượt là 16 cm, 14 cm và 20
 B
 cm trản mởt khung thảu hẳnh trỏn bĂn kẵnh 10 cm. Trong ba dƠy trản, dƠy nào A
 đi qua tƠm cừa đường trỏn? F
 E
 D
 C
 ɓ Lời giải.
 Do AB < EF , CD < EF; EF = 2R nản trong 3 dƠy trản, dƠy đi qua tƠm cừa đường trỏn là dƠy EF . □
 Ą Vớ dụ 17.
 Cho đường trỏn (I) cú cĂc dƠy cung AB, CD, EF . Cho biát AB và CD đi qua E
 tƠm I, EF khụng đi qua I. HÂy so sĂnh độ dài AB, CD, EF . A D
 F
 I
 C B
 ɓ Lời giải.
 Ta cú AB là đường kẵnh, CD là đường kẵnh, EF là dƠy cung nản AB = CD > EF . □
 Ą Vớ dụ 18.
 Trong hẳnh bản, so sĂnh độ dài cừa cĂc đoạn th¯ng OC, PQ với AB. Q
 P
 A B
 O
 C
365/476 365/476