Chuyên đề Đường tròn - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN
A- MỤC TIÊU:
-Học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đường tròn.
-Vận dụng một cách thành thục các đn, tính chất để giải các dạng bài tập đó.
-Rèn kỹ năng và tư duy hình học. Sáng tạo và linh hoạt trong giải toán hình học.
B - NỘI DUNG :
I/ Những kiến thức cơ bản :
 1) Sự xác định và các tính chất cơ bản của đường tròn :
 - Tập hợp các điểm cách đều điểm O cho trước một khoảng không đổi R gọi là đường 
 tròn tâm O bán kính R , kí hiệu là (O,R) .
 - Một đường tròn hoàn toàn xác định bởi một bởi một điều kiện của nó . Nếu AB là đoạn 
 cho trước thì đường tròn đường kính AB là tập hợp những điểm M sao cho góc AMB = 
 AB
 900 . Khi đó tâm O sẽ là trung điểm của AB còn bán kính thì bằng R .
 2
 - Qua 3 điểm A,B ,C không thẳng hàng luôn vẽ được 1 đường tròn và chỉ một mà thôi . 
 Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
 - Trong một đường tròn , đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây đó 
 . Ngược lại đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc 
 với dây đó .
 - Trong đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm . 
 - Trong một đường tròn , hai dây cung không bằng nhau , dây lớn hơn khi và chỉ khi dây 
 đó gần tâm hơn .
 2) Tiếp tuyến của đường tròn :
 - Định nghĩa : Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó có một điểm 
 chung với đường tròn . Điểm đó được gọi là tiếp điểm .
 - Tính chất : Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm . Ngược lại , 
 đường thẳng vuông góc với bán kính tại giao điểm của bán kính với đường tròn được 
 gọi là tiếp tuyến .
 - Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đến hai tiếp 
 điểm ; tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến ; tia kẻ 
 từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm .
 - Đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp của tam giác 
 đó . Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của 3 đường phân giác của tam giác .
 - Đường tròn bàng tiếp của tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh và phần kéo dài 
 của hai cạnh kia .
 3) Vị trí tương đối của hai đường tròn :
 - Giả sử hai đường tròn ( O;R) và (O’;r) có R ≥ r và d = OO’ là khoảng cách giữa hai tâm 
 . Khi đó mỗi vị trí tương đối giữa hai đường tròn ứng với một hệ thức giữa R , r và d 
 theo bảng sau :
 1 - Chu vi hình tròn : C = 2 R
- Diện tích hình tròn : S = R2
 Rn
- Độ dài cung tròn : l = 
 180
 R 2 n
- Diện tích hình quạt tròn : S = 
 180
8) Tính bán kính đường tròn nội tiếp , ngoại tíêp , bàng tiếp đa giác 
 a. Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác đều n cạnh :
 a a
 R = r = 
 1800 1800
 2Sin 2tan
 n n
 b. Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đều n cạnh
 a
 r = 
 1800
 2tg
 n
 c. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác (R) :
 a b c
 R = 
 2SinA 2SinB 2SinC
 abc
 R = 
 4SΔ
 a
 Với tam giác vuông tại A : R = 
 2
 a
 Với tam giác đều cạnh a : R = 
 3
 d. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (r) :
 S
 r = với ( 2p = a+b+c )
 p
 c b a
 Với tam giác vuông tại A : r = 
 2
 a 3
 Với tam giác đều cạnh a : r = 
 6
 e. Bán kính đường tròn bàng tiếp g óc A tam giác (ra) :
 S
 r ( ra là bán kính đường tròn bàng tiếp góc A )
 a p a
 a b c
 Với tam giác vuông tại A : ra = 
 2
 a 3
 Với tam giác đều cạnh a : ra = 
 2
 3 OI = d chúng ta có thể hỏi :
 - Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua I ?
 - Tính độ dây dài nhất đi qua I ?
Bài 4 : Cho (O;R) và điểm M nằm ngoài đường tròn . Hãy dựng cát tuyến MPQ với đường tròn 
sao cho MP = MQ .
 Hướng dẫn :
 Phân tích : Giả sử dựng được hình thỏa mãn đề bài . 
 Q
 I Kẻ OI vuông góc với PQ . 
 P 1 1 2
 Ta có : IP = PQ IP = MI MP = MI
 2 3 3
 M
 N O 2
 Kẻ PN vuông góc MQ ta thấy MN = MO và P là giao 
 3
 của đường tròn đường kính MN và (O)
 Cách dựng : Dựng điểm N rồi dựng điểm P
2) Bài tập về tiếp tuyến của đường tròn :
 a. Ứng dụng của tiếp tuyến :
 - Từ các tính chất của tiếp tuyến , của hai tiếp tuyến cắt nhau ta chỉ ra được các đường 
 thẳng vuông góc , các cặp đoạn thẳng và các cặp góc bằng nhau ; cũng từ đó ta xây dựng 
 được các hệ thức về cạnh , về góc .
 - Từ tính chất của tiếp tuyến chúng ta có thể vận dụng vào tam giác tìm ra công thức tính 
 diện tích của đường tròn nội tiếp , đường tròn ngoại tiếp và đường tròn bàng tiếp tam 
 giác , cũng như bán kính .
 - Lưu ý : Chứng minh Ax là tiếp tuyến của (O;R) chúng ta làm E
 theo một trong các cách sau :
 ❖ A (O;R) và góc OAx = 900 .
 ❖ Khoảng cách từ O đến Ax bằng R . F
 ❖ Nếu X nằm trên phần kéo dài của EF và XA2 = XE.XF
 ( xem hình ) . X A
 ❖ Góc EAX = góc AEF .
 b. Các ví dụ :
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ; d 
là tiếp tuyến của đường tròn tại A . Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt d theo thứ tự ở 
D và E .
 a) Tính góc DOE .
 b) Chứng minh : DE = BD + CE .
 c) Chứng minh : BD.CE = R2 ( R là bán kính đường tròn tâm O )
 d) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính DE .
Hướng dẫn chứng minh :
 5 1
 Nên : S = S + S + S = ( a + b + c).r = pr
 ABC ABI BCI ACI 2
 S = pr .
 Từ bài tập trên hãy tính :
 - Bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác vuông , tam giác đều theo các cạnh của tam 
 giác .
 - Các đoạn tiếp tuyến AE , BF , CD theo các cạnh a , b, c của tam giác .
3) Bài tập về các loại góc trong đường tròn
Bài 1 : Cho A là một điểm cố định trên đường tròn (O) và M là một điểm di động trên đường 
tròn đó . N là giao của AM với đường kính cố định BC . Chứng minh giao điểm của đường tròn 
(O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN là cố định .
 Hướng dẫn chứng minh :
 D A
 Kẻ DA // BC . Kẻ đường kính DP .
 Ta dễ thấy : Nˆ = Pˆ ( cùng bằng góc A ) .
 B C
 O N Nên đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN đi qua P (O) cố định.
 Nhận xét :
 P Trong bài này P còn là góc nội tiếp của hai đường tròn nên nó 
 M đóng vai trò đại lượng trung gian để chứng minh những góc bằng 
 nhau . Kĩ năng này còn được gặp lại khá thường xuyên .
Bài 2 : Cho tham giác ABC có 3 góc nhọn . Đường tròn (O) có đường kính BC cắt AB , AC 
theo thứ tự ở D , E . Gọi I là giao điểm của BE và CD .
 a) Chứng minh : AI  BC
 b) Chứng minh : IDˆ E = IAˆ E
 c) Cho góc BAC = 600 . Chứng minh tam giác DOE là tam giác đều .
 Hướng dẫn chứng minh :
 A
 a) Dựa vào tính chất góc chắn nửa đường tròn , ta chứng minh 
 được I là trực tâm của tam giác ABC nên AI  BC .
 E
 b) Góc IAE = EBC góc có cạnh tương ứng vuông góc .
 D
 Góc EBC = EDC cùng chắn cung EC .
 I
 Từ hai điều trên suy ra điều chứng minh . 
 B C
 O c) Góc BAC = 600 Góc DBE = 300 chắn cung DE
 Số đo cung DE = 600 
 Góc DOE = 600 mà tam giác DOE cân đỉnh O nên DOE là 
 tam giác đều .
Bài 3 : Cho đường tròn (O) đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn . Điểm C thuộc 
nửa đường tròn cùng nửa mặt phẳng với Ax với bờ là AB. Phân giác góc ACx cắt đường tròn 
tại E , cắt BC ở D .Chứng minh :
 7 - Tứ giác có hai cạnh bên AB và CD giao nhau tại M mà MA.MB = MC.MD thì tứ giác 
 ABCD nội tiếp .
Các ví dụ :
Bài 1 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với các đường cao BD , CE .
 a) Chứng minh BEDC là tứ giác nội tiếp .
 b) Chứng minh : AD.AC = AE.AB .
 A
 x c) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 
 Chứng minh rằng : Ax // ED .
 D
 E Hướng dẫn chứng minh :
 a) D, E cùng nhìn BC dưới một góc 900 nên tứ giác BEDC nội tiếp .
 B C
 b) Hai tam giác vuông ABD và ACE đồng dạng . Suy ra AD.AC = 
 AE.AB .
 c) xAˆ B = ACˆ B vì cùng chắn cung AB.
 AEˆ D = ACˆ B vì cùng phụ với góc BED .
 Nên xAˆ B = AEˆ D . Suy ra Ax // ED .
 Nhận xét :
 Với giả thiết của bài toán trên chúng ta có thể khai thác bài toán theo nhiều hướng và ra 
 được nhiều câu hỏi :
 - Kéo dài các đường cao BD , CE , AF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ở D’ , E’ , 
 F’ . Chứng minh :
 • H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác D’E’F’ .
 • H đối xứng với D’,E’,F’ qua AC , AB , BC .
 • ED // E’D’.
 • OA  E’D’.
 • Các đường tròn tam giác : HAB , HBC, HCA có bán kính bằng nhau .
 abc
 •S = .
 ABC 4R
 - Vẽ hình bình hành BHCK , I là trung điểm của BC . Chứng minh :
 • Tứ giác ABKC nội tiếp với K nằm trên đường tròn (O) .
 • BAˆ H = OAˆ C .
 • H , I , K thẳng hàng .
 • AH // OI ; AH = 2.OI . Nếu B , C cố định A di động thì bán kính đường 
 tròn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi .
 • Đường thẳng qua K song song với BC cắt AH tại M thì A,B,C,K,M cùng 
 nằm trên một đường tròn .
Bài 2 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ; E là điểm chính giữa của cung AB , hai dây EC , ED 
cắt AB tại P và Q . Các dây AD và EC kéo dài cắt nhau tại I , các dây BC và ED kéo dài cắt 
nhau tại K . Chứng minh rằng :
 9