Chuyên đề Đường thẳng và mặt phẳng song song - Hình học Lớp 11

 HÌNH HỌC 11 
BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 
A – LÝ THUYẾT 
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 
Cho đường thẳng a và mặt phẳng P . Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng, 
ta có ba trường hợp sau : 
TH1. Đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung tức là : 
 a P  a// P . (hình 1) 
TH2. Đường thẳng và mặt phẳng có một có điểm chung tức là : 
 a P A a cắt tại điểm A . (hình 2) 
  
TH3. Đường thẳng và mặt phẳng có từ hai điểm chung phân biệt trở lên thì : 
 aP . (hình 3). 
 a a 
 A B
 A a
 (P) (P)
 (P) 
 (hình 3) 
 (hình 1) (hình 2) 
2. Tính chất 
Định lí 1. 
Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng và song song với đường thẳng d nằm 
trong thì song song với . 
Định lí 2. 
Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Nếu mặt phẳng  chứa và cắt theo 
giao tuyến b thì song song với . 
 HÌNH HỌC 11 
3. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song và tìm thiết diện song 
song với đường thẳng cho trước. 
Định lí 1. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng và song song với đường 
 thẳng d nằm trong thì song song với . 
Định lí 2. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng . Thì mọi mặt phẳng  chứa 
 mà cắt thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với . 
Hệ quả 1. Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường 
 thẳng nào đó trong mặt phẳng. 
Hệ quả 2. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến 
 (nếu có) của chúng cũng song song với đường thẳng đó. 
Định lí 3. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này 
 và song song với đường thẳng kia. 
B - HỆ THỐNG BÀI TẬP 
 DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG, 
 TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 
Phương pháp: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 
 d //Δ
 dd // . 
 Δ  
Các ví dụ 
 Ví dụ 1 
 Cho tứ diện . Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Chứng minh 
 rằng . 
 Lời giải 
 HÌNH HỌC 11 
 Mà BC ABC và MN ABC suy ra MN// ABC . 
 Ví dụ 3 
Cho hình chóp với đáy là hình bình hành. Gọi , lần lượt là trung điểm 
các các cạnh và . Chứng minh rằng: . 
 Lời giải 
 Gọi H là trung điểm của SD . 
 1
 Khi đó FH là đường trung bình tam giác SAD nên FH AD và FH// AD. 
 2
 Mà tứ giác ABCD là hình bình hành nên BC// AD , BC AD. 
 1 1
 Do G là trung điểm của BC nên GC BC GC AD . 
 2 2
 Từ đó suy ra FH// GC và FH GC (bốn điểm F , , C , đồng phẳng), nên tứ giác 
 FHCG là hình bình hành. 
 Suy ra FG// HC . 
 Mà HC SCD và FG SCD . 
 Vậy FG// SCD . 
 HÌNH HỌC 11 
 Ví dụ 5 
Cho hai hình bình hành và không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt 
là và . 
a) Chứng minh rằng song song với các mặt phẳng và . 
b) Gọi , lần lượt là hai điểm trên các cạnh , sao cho , . 
Chứng minh rằng song song với mặt phẳng . 
 Lời giải 
 a) Ta có OO là đường trung bình của tam giác BFD ứng với cạnh DF nên OO // DF , 
 do DF ADF và OO  ADF OO // ADF . 
 Tương tự, là đường trung bình của tam giác ACE ứng với cạnh CE nên OO // CE 
 CE CBE và CE CBE OO // BCE . 
 b) Trong ABCD , gọi I  AN CD 
 AN BN AN 1
 Do AB// CD nên . 
 AI BD AI 3
 AM1 AN AM
 Lại có MN// IE . Mà I CD IE  CDEF và 
 AE3 AI AE
 MN CDEF MN// CDEF . 
 Ví dụ 6 
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trọng tâm tam giác , 
 là trung điểm của và là điểm trên cạnh sao cho . Đường thẳng đi 
qua và song song với cắt tại . Chứng minh rằng . 
 Lời giải 
 HÌNH HỌC 11 
 AM BM 1
 Trong mặt phẳng ABEF ta có AB// EI và AE cắt BI tại M nên 
 AE BI 3
 (định lí Ta – lét đảo). 
 MN// CDFE 
 Ta lại có MN BDI MN// DI . 
 BDI  CDFE DI
 BN BM 11
 Suy ra (định lí Ta – lét). Khi đó x 3 . 
 BD BI x 3
 Vậy x 3. 
 Ví dụ 8 
Cho hình chóp có đáy là hình thang, đáy lớn là thỏa mãn . 
Gọi là giao điểm và , là trọng tâm tam giác . Chứng minh rằng 
 . 
 Lời giải 
 DG DO 2
 Gọi E là trung điểm của cạnh SC . Ta có OG// BE . 
 DE DB 3
 Mà BE SBC ; OG SBC OG// SBC . 
 Ví dụ 9 
Cho hình chóp có đáy là hình thang, đáy lớn là thỏa . Gọi 
là trung điểm của . Chứng minh rằng . 
 Lời giải 
 HÌNH HỌC 11 
 MI 1 MG 1
 Vì G , I lần lượt là trọng tâm của tam giác ACC và ABC ; . Xét 
 MB 3 MC 3
 MI MG 1
 tam giác MBC , ta có : IG// BC . 
 MB MC 3
 Mặt khác BC  BCC B và IG BCC B suy ra IG// BCC B . 
 Ví dụ 11 
Cho hình chóp có đáy là hình thang với . Gọi là trọng tâm của tam giác 
 ; là điểm thuộc đoạn sao cho . Tìm để . 
 Lời giải 
 Gọi là trung điểm của cạnh AD . 
 Trong mặt phẳng ABCD giả sử IE và BC cắt nhau tại điểm Q . 
 Dễ thấy SQ  IGE SBC . 
 IE IG IE 1
 Do đó : GE// SBC GE// SQ (1). 
 IQ IS IQ 3
 EI EA EA 1
 Mặt khác tam giác EIA đồng dạng với tam giác EQC nên suy ra 
 EQ EC xEA x
 EQ x. EI . 
 IE IE IE 1
 (2). 
 IQ IE EQ IE x.1 IE x
 11
 Từ (1) và (2) x 2. 
 13 x
 Vậy .