Chuyên đề Đối xứng trục Toán 8

 ĐỐI XỨNG TRỤC 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
• Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng: Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng 
d nếu d là đường trung trực của đoạn thảng nối hai điểm ấy. 
 A đối xứng với A' qua d 
 d là trung trực của AA'. 
 Khi đó ta còn nói: 
 A' đối xứng với A qua d. 
 Hoặc 
 A và A' đối xứng nhau qua d. 
* Quy ước. Một điểm nằm trên trục đối xứng thì điểm đối xứng với nó qua trục đối xứng là chính 
nó. 
* Hai hình đối xứng qua một đường thẳng: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d 
nếu một điểm bất kì thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và 
ngược lại. 
* Nhận xét: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thắng thì bằng 
nhau. 
* Hình có trục đối xứng: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xúng với mỗi 
điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H 
* Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang 
cân đó. 
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
A.CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 
Dạng 1. Chứng minh hai điểm hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một đường thẳng 
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xúng hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một 
đường thẳng. 
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AH. Lấy các đi K theo thứ tự trên AB, AC sao 
cho AI = AK. Chứng minh hai điếm I, K đối xứng với nhau qua AH. 
Bài 2. Cho tam giác cân ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Chứng minh rằng cạnh AB đối 
xứng vói AC qua AM. 
Dạng 2. Sử dụng tính chất đối xứng trục để giải toán 
Phương pháp giải: Sử dụng nhận xét hai đoạn thẳng (góc, giác) đối xứng vói nhau qua một đường 
thẳng thì bằng nhau. 
 Sử dụng tính chất của tam giác cân A1 A2; A3 A 4 . Từ đó chỉ ra 
 được EAF 1800 A ,,EF thằng hàng (2). 
 Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. 
 4. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d  A' cố định. 
 Vì C d CA = CA' (tính chất đối xứng trục). Ta có: 
 P ABC = AB + AC + BC 
 = AB + (CA' + CB) ≥ AB + BA' (không đổi. Dấu "=" xảy ra tức là 
 chu vi tam giác nhỏ nhất khi C là giao điểm của d và BA'. 
 5. a) Đoạn thẳng đối xứng với AB, AC qua đường thẳng d lần lượt là 
 KC, KB. 
 b) ta có AK//BC (vì cùng vuông góc với d) và AC = KB (tính chất 
 đối xứng trục) tứ giác AKCB là hình thang cân. 
 6. a) Chứng minh được BHC = BMC (c.c.c). 
 b) Gọi {C'} = CH AB. Sử dụng định lý tổng 4 góc trong tứ giác 
 AB'HC' ta tính được B 'HC ' 1200 
 Ta có B 'HC' BHC (đối đỉnh) và 
 0
 BCH BM C(do BHC  BMC) BM C 120 
 7. Trên tia đối của tia CB lấy điểm A' sao cho CA' = CA. Sử dụng 
 tính chất của tam giác cân ta có được CM là đường trung trực của 
 AA' MA = MA'. Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác A'MB ta 
 có: CA + CB = CA' + CB = BA' <MA' + MB CA + CB < MA + 
 MB. 
 8. a) Sử dụng tính chất đối xứng trục kết hợp với chứng minh tam 
 giác bằng nhau ta có được E1 M1 và F1 M2 , mà E1 F1 (Tính 
 chất tam giác cân) 
 M1 M2 ĐPCM. 
 b) Sử dụng tính chất đối xứng trục ta có PM = PE; QM = QF. Theo 
 bất đẳng thức trong tam giacs MPQ, ta có: 
 P MPQ = MP + PQ + QM= (PE + PQ) + QF ≥ EQ + QF ≥ EF. 
 Do M cố định, tam giác ABC cố định E, F, I, K cố định. Vậy 
 (P MPQ)min = EF P  I, Q  K. 
B.DẠNG BÀI NÂNG CAO-PHÁT TRIỂN TƯ DUY 
 Đối xứng trục 
Bài 1. Cho tam giác ABD. Vẽ điểm C đối xứng với A qua BD. Vẽ các đường phân giác ngoài tại 
các đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD chúng cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH. 
a) Xác định dạng của tứ giác EFGH; 
b) Chứng minh rằng BD là trục đối xứng của tứ giác EFGH. 
 Hướng dẫn giải 
Bài 1. (h.7.9) 
a) Vì C đối xứng với A qua BD nên ABD đối xứng với CBD qua BD. 
Do đó ABD CBD , suy ra: B1 B2; D1 D2 ; BA BC và DA DC . 
Ta có BD và BE là các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh B nên BD BE . 
Chứng minh tương tự, ta được: BD DH . 
Suy ra EF // HG Tứ giác EFGH là hình thang. 
Ta có D3 D4 (cùng phụ với hai góc bằng nhau). 
 A1 C1 (một nửa của hai góc bằng nhau). 
Suy ra H G 
Hình thang EFGH có hai góc kề một đáy bằng nhau 
nên là hình thang cân. 
b) ADH CDG(..) gcg DH DG . 
Chứng minh tương tự, ta được: BE BF . 
Đường thẳng BD đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân nên là trục đối xứng của hình thang 
cân EFGH. 
Bài 2. (h.7.10) 
a) Các đoạn thẳng AM và AN đối xứng với AD lần lượt qua AB 
và AC nên: 
 AM AD; AN AD; A1 A2; A3 A4 . 
Ta có: 
 M AN M AD NAD 2  A2 A3 2BAC (không 
đổi). 
b) Xét AMN có AM AN (cùng bằng AD) nên là tam giác cân. Tam giác cân này có góc MAN 
không đổi nên cạnh đáy MN ngắn nhất 
 cạnh bên AM ngắn nhất AD ngắn nhất (vì AM AD ) 
 AD BC D là hình chiếu của A trên BC. 
Bài 3. (h.7.11) 
Vẽ điểm M đối xứng với D qua AB và vẽ điểm N đối xứng với D qua AC. Khi đó 
 MF DF; EN ED . 
Chu vi DEF DF FE ED MF FE EN 
 - Qua B vẽ một đường thẳng song song với xy và trên đó lấy điểm M sao cho BM a (điểm M ở 
phía gần A); 
- Vẽ điểm N đối xứng với M qua xy; 
- Lấy giao điểm D của AN với xy; 
- Lấy điểm C xy sao cho DC MB a (DC và MB cùng chiều). 
Khi đó tổng AB BC CD DA nhỏ nhất. 
Phần chứng minh dành cho bạn đọc. 
Bài 5. (h.7.14) 
a) AN đối xứng với AM qua AB 
 AN AM và NAB M AB . (1) 
 AP đối xứng với AM qua AC 
 AP AM và M AC PAC . (2) 
 AA đối xứng với AM qua AD nên M AD A AD . 
Mặt khác, BAD CAD nên M AB CAA (3) 
Từ (1) và (3) suy ra NAB M AB CAA . 
Ta có A AP A AC PAC M AB M AC BAC . 
Chứng minh tương tự, ta được: A AN BAC , suy ra: A AP A AN . 
 ANP cân tại A có AA là đường phân giác nên AA cũng là đường trung trực của NP N và P đối 
xứng qua AA . 
b) Gọi Q là điểm đối xứng của M qua BC. 
Chứng minh tương tự như trên ta được BB là đường trung trực của NQ và CC là đường trung trực 
của PQ. 
Vậy AA , BB , CC là ba đường trung trực của NPQ nên chúng đồng quy. 
Bài 6. Trước hết ta chứng minh bài toán phụ: 
Cho tam giác ABC, điểm M ở trong tam giác (hoặc ở 
trên một cạnh nhưng không trùng với các đỉnh của tam 
giác). Chứng minh rằng MB MC AB AC (h.7.15). 
Thật vậy, xét ABD , ta có BD AB AD hay 
 MB MD AB AD . (1) 
Xét MCD có MC DC MD . (2) 
Cộng từng vế của (1) và (2) ta được: 
 - Từ N dựng một tia song song với Oy cắt Ox tại A. 
- Từ N dựng một tia song song với Ox cắt Oy tại B. 
Khi đó G là trọng tâm của tam giác AOB. 
c) Chứng minh 
Tứ giác ANBO là hình bình hành, suy ra AB và ON cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 
Mặt khác, M là trung điểm của ON nên M là trung điểm của AB. 
Vậy OM là đường trung tuyến của tam giác AOB. 
 3
Ta có OM OG nên G là trọng tâm của AOB . 
 2
d) Biện luận: Bài toán luôn có một nghiệm hình. 
Bài 9. (h.7.19) 
Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC và đường trung tuyến DN của tam giác DEF. Gọi G là 
giao điểm của hai đường trung tuyến này. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của GA và GD. 
Xét FCE có AN là đường trung bình AN // CE và 
 1
 AN CE do đó AN // BM và AN BM , dẫn tới 
 2
 1
ANMB là hình bình hành MN // AB và MN AD . 
 2
Mặt khác, HK là đường trung bình của GAD nên HK // 
 1
AD và HK AD . 
 2
Từ đó MN // HK và MN HK . 
Suy ra MNHK là hình bình hành, hai đường chéo HM và NK cắt nhau tại G nên G là trung điểm 
của mỗi đường. 
Do đó GM GH HA G là trọng tâm của ABC . 
 GN GK KD G là trọng tâm của DEF . 
Vậy ABC và DEF có cùng một trọng tâm. 
Bài 10. (h.7.20) 
a) Phân tích 
Giả sử đã dựng được hình bình hành ABCD thỏa mãn đề 
bài. 
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Ta có M và P đối 
xứng qua O. 
Gọi Q là giao điểm của NO với AD thì Q và N đối xứng 
qua O. 
 Dạng 4: Dựng hình có sử dụng đối xứng trục 
Bài 9. Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy . Dựng điểm B thuộc tia Ox , điểm C thuộc tia 
 Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. 
Bài 10. Cho đường thẳng d và hai điểm A,B (như hình vẽ). Tìm vị trí điểm C trên d để chu vi 
tam giác ABC nhỏ nhất. 
 B
 A
 d
Dạng 5.Tổng hợp 
Bài 11. Cho tam giác ABC có các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở O. Qua A vẽ các đường 
vuông góc với BD và với CE, chúng cắt BC theo thứ tự ở N và M. Gọi H là chân đường vuông góc 
kẻ từ O đến BC. Chứng minh rằng: 
a) M đối xứng với A qua CE, N đối xứng với A qua BD; 
b) M đối xứng với N qua OH. 
Bài 12.Cho tam giác ABC vuông ở A , lấy D là điểm bất kì thuộc cạnh BC . Gọi E là điểm đối 
xứng với D qua AB , F là điểm đối xứng với D qua AC . 
a) Chứng minh rằng A là trung điểm của EF . 
b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì EF có độ dài ngắn nhất. 
Bài 13. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là điểm đối xứng của 
điểm H qua AB và AC. Chứng minh rằng: 
a) A là trung điểm của đoạn DE 
b) Tứ giác BDEC là hình thang vuông. 
c) Cho BH = 2cm, Ch = 8cm. Tính AH và chu vi hình thang BDEC. 
Bài 14.Cho tam giác ABC có Aˆ 70 , B và C là các góc nhọn. M là một điểm thuộc cạnh BC. Gọi 
D là điểm đối xứng với M qua AB, E là điểm đỗi ứng với M qua AC. Gọi I, K là giao điểm của DE 
với AB, AC. 
a) Tính các góc của tam giác ADE. 
b) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của góc IMK. 
c) Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì DE có độ dài ngắn nhất? 
Bài 15. Cho hai điểm A và B cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d. Tìm trên d một 
điểm C sao cho tổng độ dài CA + CB là ngắn nhất.