Chuyên đề Đối xứng tâm Toán 8
Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề Đối xứng tâm Toán 8", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
Tóm tắt nội dung tài liệu: Chuyên đề Đối xứng tâm Toán 8

ĐỐI XỨNG TÂM I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT • Hai điểm đối xứng qua một điểm: Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua điểm o nếu o là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm ấy. A đối xứng với A' qua O O là trung điểm của AA’. Khi đó ta còn nói: A' đối xứng với A qua O hoặc A và A’ đối xứng nhau qua O. * Quy ước: Điểm đối xứng với điểm O qua điểm O chính là điểm O. * Hai hình đối xứng qua một điểm: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu một điểm bất kì thuộc hình này đối xứng vói một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại. * Nhận xét: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì bằng nhau. * Hình có tâm đối xứng: Điếm O gọi là tâm đối xứng cùa hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình qua điểm O cũng thuộc hình H. * Định lí: Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó. O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD. II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN – NÂNG CAO Dạng 1. Chứng minh hai điểm hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một điểm Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xứng hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một điểm. Bài 1. Cho tam giác ABC. Gọi các điểm D, E theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. Lấy P đối xứng vói B qua tâm E và Q đối xứng với qua tâm D. Chứng minh rằng hai điểm P, Q đối xứng với nhau qua tâm A. Bài 2. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi E là điểm bất kì nằm ngoài tứ giác, E là điểm đối xứng với E qua M, G là điểm đối xứng với E qua Q, H là điểm đối xứng với G qua P. Chứng minh rằng E là điểm đối xứng với H qua điểm N. b) Ta có: PA//BM,PA= BM AQ//MC, AQ = MC Suy ra BCQP là hình bình hành 4. Ta có AEFC là hình bình hành (AE//FC; AE= CF) đường EF cắt AC t trung điểm O của AC nên E,O, F thẳng hàng và O cũng là trung điểm c EF (ĐPCM). 5. Ta chứng minh được AEDF là hình bình hành AD EF = I. I là trung điểm của AD và EF. Suy ra E đối xứng với F qua I. 6. Do E,O, F thẳng hàng mà B, O,D cũng thẳng hàng nên EOD FOB (2 góc đổi đỉnh) DOE = BOF (g-c-g) OE = OF. Vậy E đối xứng với F qua O. 7. Để B đối xứng với Cqua O thì xOy = 900 8. Chú ý: BEDC là hình bình hành Ta có: EAN = CAM (g - c - g) NE = MC B.DẠNG BÀI NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY Bài 1: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và điểm M không thuộc đường thẳng đó. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của A, B, C qua M. Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng. Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm I, trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AI = AK. Chứng minh rằng điểm I đối xứng với điểm K qua AH. Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Vẽ E là điểm đối xứng của A qua B, F là điểm đối xứng của A qua D. Chứng minh rằng: E là điểm đối xứng của F qua C. Câu 4:Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho AE = CF. Chứng minh rằng: các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy. Bài 5: Cho góc xOy khác góc bẹt và điểm M nằm trong góc đó. Hãy dựng qua M một đường thẳng cắt Ox ở A, cắt Oy ở B sao cho M là trung điểm của AB. Bài 6: Cho hình bình hành ABCD, điểm P trên AB. Gọi M, N là các trung điểm của AD, BC; E, F lần lượt là điểm đối xứng của P qua M, N. Chứng minh rằng: a) E, F thuộc đường thẳng CD. b) EF = 2CD Bài 7: Cho tam giác ABC, D là một điểm trên cạnh BC. Gọi E và F theo thứ tự là điểm đối xứng của điểm D qua AB và AC. A I K B C H Bài 3: A D F B C E +) E là điểm đối xứng của A qua B (gt) nên AB = BE AB CD Tứ giác ABCD là HBH => AB CD BE CD Mà AB = BE (cmt) => Tứ giác BDCE là hình bình hành BE CD => BD // EC và BD = EC. Chứng minh tương tự cũng có BD // CF và BD = CF. Vì BD // EC và BD // CF => E, C, F thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit) Mà EC = CF (= BD) nên C là trung điểm EF => E là điểm đối xứng của F qua C. Bài 4: Gọi O là giao điểm cuả AC, BD. Tứ giác ABCD là hình bình hành(gt) => O là trung điểm của AC Tứ giác AECF có AE = CF, AE // CF nên là hình bình hành (dhnb) mà O là trung điểm AC nên O là trung điểm EF. Bài 7: A 1 4 E 2 3 F B D C a) E đối xứng với D qua AB => AB là trung trực của ED => AE = AD. F đối xứng với D qua AC => AC là trung trực của DE => AF = AD. AE = AF. Xét AED cân tại A, có AB là trung trực => AB đồng thời là phân giác của EAD => A1 A 2 Xét ADF cân tại A, có AC là trung trực => AC đồng thời là phân giác của FAD => A3 A 4 EAF A A A A2 A A 2 BAC 1 2 3 4 2 3 b) Để E đối xứng với F qua A thì E, A, F thẳng hàng. EAF 1800 2BAC 1800 BAC 90 0 Vậy nếu ABC vuông ở A thì E đối xứng với F qua điểm A. Bài 8: a/ BK là đường trung bình của tam giác CFD. Suy ra 1 BK//CD, BK CD 2 1 Mà CD = CA, AM CA BK // AM, BK = AM 2 Suy ra tứ giác ABKM là hình bình hành b/ Gọi G là giao điểm của EK, BM. I, H là trung điểm của BG, EG. - Chứng minh tứ giác HMKI là hình bình hành: Ta có: H là trung điểm của GE (gt) I là trung điểm của GB (gt) HI BE => HI là đường trung bình của BEG 1 (1) HI BE 2 AM AD a) AM đối xứng với AD qua AB nên (1) A1 A 2 AN AD AN đối đối xứng với AD qua AC nên (2) A3 A 4 Từ (1) và (2) AM AN và MAN 2 A A 2 BAC 2.900 180 0 2 3 3 điểm M, A, N thẳng hàng Mà AM = AN => M và N đối xứng qua A và MN = 2 AD. b) Vẽ AH BC , ta có AD AH MN 2 AH Vậy MN ngắn nhất bằng AH khi D H ( hình a) Dựa vào quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu , ta có AD AC MN 2 AD 2 AC . Do đó MN dài nhất bằng 2AC khi D C ( hình b) M N A A M B B D ≡ H C D ≡ C ≡ N Hình a C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình vẽ trong đó ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm N qua C. A B M D C N Bài 2: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BM, CN. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi E là điểm đối xứng với C qua N. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A. => BM// CD Xét tứ giác BDCM có CD=BM (cmt) CD//BM (cmt) Tứ giác BDCM là hình bình hành BD//CM; BD=CM (1) Chứng minh tương tự ta có BD//NC; BD= NC (2) Từ (1) và (2) và theo tiên đề Ơclit suy ra N, C, M thẳng hàng và CM = CN Do đó N đối xứng với M qua C. Bài 2: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BM, CN. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi E là điểm đối xứng với C qua N. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A. Lời giải E A D Xét tứ giác ABCD có N M AM= MC (BM là trung tuyến của tam giác ABC) B C BM= MD (D đối xứng với B qua M) Tứ giác ABCD là hình bình hành AD//BC; AD=BC (1) Xét tứ giác ACBE có AN = NB (CN là trung tuyến của tam giác ABC) NE= NC (E đối xứng với C qua N) Tứ giác ACBE là hình bình hành AE//BC; AE=BC (2) Từ (1) và (2) Theo tiên đề Ơclit suy ra A,D,E thẳng hàng và AD = AE Do đó D đối xứng với E qua A OA = OC O1 O 4 (2 góc đối đỉnh) Xét AOE và COF có AOE = COF (g.c.g) OE = OF A1 C 1 (cmt) Do đó E đối xứng với F qua O OA = OC (cmt) Bài 5: Cho tam giác ABC, D là một điểm trên BC, Qua D vẽ DE //AB (E thuộc AC) vẽ DF//AC (F thuộc AB). Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh rằng E đối xứng với F qua điểm I. Lời giải Xét tứ giác AEDF có A AF//DE (DE//AB) F I E AE//DF (DF//AC) C Tứ giác AEDF là hình bình hành B D Có I là trung điểm của đường chéo AD I là trung điểm của đường chéo EF Do đó E đối xứng với F qua điểm I. Bài 6: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Gọi O là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC. Vẽ M đối xứng với O qua D, vẽ N đối xứng với O qua E. Chứng minh rằng MNCB là hình bình hành. Lời giải A Xét tứ giác AOCN có M N AE = EC (gt) D E OE = EN (N đối xứng với O qua E) O Tứ giác AOCN là hình bình hành B C AO//NC; AO=NC (1) Xét tứ giác AOBM có AD = DB (gt) OD = DM (N đối xứng với O qua E)
File đính kèm:
chuyen_de_doi_xung_tam_toan_8.pdf