Chuyên đề Đối xứng tâm Toán 8

pdf 16 trang thanh nguyễn 01/10/2025 120
Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề Đối xứng tâm Toán 8", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

Tóm tắt nội dung tài liệu: Chuyên đề Đối xứng tâm Toán 8

Chuyên đề Đối xứng tâm Toán 8
 ĐỐI XỨNG TÂM 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
• Hai điểm đối xứng qua một điểm: Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua điểm o nếu o là trung 
điểm của đoạn thẳng nối hai điểm ấy. 
 A đối xứng với A' qua O 
 O là trung điểm của AA’. 
  
Khi đó ta còn nói: 
A' đối xứng với A qua O hoặc A và A’ đối xứng nhau qua O. 
* Quy ước: Điểm đối xứng với điểm O qua điểm O chính là điểm O. 
* Hai hình đối xứng qua một điểm: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu một điểm bất kì 
thuộc hình này đối xứng vói một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại. 
* Nhận xét: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì bằng nhau. 
* Hình có tâm đối xứng: Điếm O gọi là tâm đối xứng cùa hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc 
hình qua điểm O cũng thuộc hình H. 
* Định lí: Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó. 
 O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD. 
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
A.CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN – NÂNG CAO 
Dạng 1. Chứng minh hai điểm hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một điểm 
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xứng hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một 
điểm. 
Bài 1. Cho tam giác ABC. Gọi các điểm D, E theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. Lấy P đối xứng 
vói B qua tâm E và Q đối xứng với qua tâm D. Chứng minh rằng hai điểm P, Q đối xứng với nhau qua 
tâm A. 
Bài 2. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi 
E là điểm bất kì nằm ngoài tứ giác, E là điểm đối xứng với E qua M, G là điểm đối xứng với E qua Q, 
H là điểm đối xứng với G qua P. Chứng minh rằng E là điểm đối xứng với H qua điểm N. b) Ta có: 
PA//BM,PA= BM 
AQ//MC, AQ = MC 
Suy ra BCQP là hình bình hành 
4. 
Ta có AEFC là hình bình hành (AE//FC; AE= CF) đường EF cắt AC t
trung điểm O của AC nên E,O, F thẳng hàng và O cũng là trung điểm c
EF (ĐPCM). 
5. 
Ta chứng minh được AEDF là hình bình hành AD  EF = I. I là trung 
điểm của AD và EF. Suy ra E đối xứng với F qua I. 
6. 
 Do E,O, F thẳng hàng mà B, O,D cũng thẳng hàng nên EOD FOB 
(2 góc đổi đỉnh) DOE = BOF (g-c-g) OE = OF. 
Vậy E đối xứng với F qua O. 
7. Để B đối xứng với Cqua O thì xOy = 900 
8. 
 Chú ý: BEDC là hình bình hành 
Ta có: EAN = CAM (g - c - g) NE = MC 
B.DẠNG BÀI NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY 
Bài 1: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và điểm M không thuộc đường thẳng đó. Gọi A’, B’, C’ lần 
lượt là điểm đối xứng của A, B, C qua M. Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng. 
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm I, trên cạnh AC lấy điểm 
K sao cho AI = AK. Chứng minh rằng điểm I đối xứng với điểm K qua AH. 
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Vẽ E là điểm đối xứng của A qua B, F là điểm đối xứng của A qua 
D. Chứng minh rằng: E là điểm đối xứng của F qua C. 
Câu 4:Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho AE = CF. Chứng 
minh rằng: các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy. 
Bài 5: Cho góc xOy khác góc bẹt và điểm M nằm trong góc đó. Hãy dựng qua M một đường thẳng cắt 
Ox ở A, cắt Oy ở B sao cho M là trung điểm của AB. 
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD, điểm P trên AB. Gọi M, N là các trung điểm của AD, BC; E, F lần 
lượt là điểm đối xứng của P qua M, N. Chứng minh rằng: 
a) E, F thuộc đường thẳng CD. 
b) EF = 2CD 
Bài 7: Cho tam giác ABC, D là một điểm trên cạnh BC. Gọi E và F theo thứ tự là điểm đối xứng của 
điểm D qua AB và AC. A
 I K
B C
 H 
Bài 3: 
 A D F
 B C
E 
+) E là điểm đối xứng của A qua B (gt) nên AB = BE 
 AB CD
Tứ giác ABCD là HBH => 
 AB CD
 BE CD
Mà AB = BE (cmt) => Tứ giác BDCE là hình bình hành 
 BE CD
=> BD // EC và BD = EC. 
Chứng minh tương tự cũng có BD // CF và BD = CF. 
Vì BD // EC và BD // CF => E, C, F thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit) Mà EC = CF (= BD) nên C là trung 
điểm EF => E là điểm đối xứng của F qua C. 
Bài 4: 
Gọi O là giao điểm cuả AC, BD. 
Tứ giác ABCD là hình bình hành(gt) => O là trung điểm của AC 
Tứ giác AECF có AE = CF, AE // CF nên là hình bình hành (dhnb) 
mà O là trung điểm AC nên O là trung điểm EF. Bài 7: 
 A
 1
 4
E 2 3
 F
 B
 D C
a) E đối xứng với D qua AB => AB là trung trực của ED => AE = AD. 
F đối xứng với D qua AC => AC là trung trực của DE => AF = AD. 
 AE = AF. 
Xét AED cân tại A, có AB là trung trực => AB đồng thời là phân giác của EAD => A1  A 2 
Xét ADF cân tại A, có AC là trung trực => AC đồng thời là phân giác của FAD 
=> A3  A 4 
 EAF  A A A A2 A  A 2 BAC 
 1 2 3 4 2 3 
b) Để E đối xứng với F qua A thì E, A, F thẳng 
hàng. EAF 1800 
 2BAC 1800 BAC 90 0 
Vậy nếu ABC vuông ở A thì E đối xứng với F qua 
điểm A. 
Bài 8: 
a/ BK là đường trung bình của tam giác CFD. Suy ra 
 1
BK//CD, BK CD 
 2
 1
Mà CD = CA, AM CA BK // AM, BK = AM 
 2
Suy ra tứ giác ABKM là hình bình hành 
b/ Gọi G là giao điểm của EK, BM. I, H là trung điểm của BG, EG. 
- Chứng minh tứ giác HMKI là hình bình hành: 
Ta có: H là trung điểm của GE (gt) 
 I là trung điểm của GB (gt) 
 HI BE
 
=> HI là đường trung bình của BEG 1 (1) 
 HI BE
 2 AM AD
a) AM đối xứng với AD qua AB nên (1) 
 A1  A 2
 AN AD
AN đối đối xứng với AD qua AC nên (2) 
 A3  A 4
Từ (1) và (2) AM AN và MAN 2 A  A 2 BAC 2.900 180 0 
 2 3 
 3 điểm M, A, N thẳng hàng 
 Mà AM = AN => M và N đối xứng qua A và MN = 2 AD. 
b) Vẽ AH BC , ta có AD AH MN 2 AH 
Vậy MN ngắn nhất bằng AH khi D H ( hình a) 
Dựa vào quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu , ta có AD AC MN 2 AD 2 AC . 
Do đó MN dài nhất bằng 2AC khi D C ( hình b) 
 M
 N
 A
 A
 M
 B B
 D ≡ H C D ≡ C ≡ N
 Hình a 
C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 
Bài 1: Cho hình vẽ trong đó ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm 
N qua C. 
 A B
 M
 D
 C
N 
Bài 2: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BM, CN. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi 
E là điểm đối xứng với C qua N. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A. => BM// CD 
Xét tứ giác BDCM có 
 CD=BM (cmt) 
 CD//BM (cmt) 
 Tứ giác BDCM là hình bình hành 
 BD//CM; BD=CM (1) 
Chứng minh tương tự ta có BD//NC; BD= NC (2) 
Từ (1) và (2) và theo tiên đề Ơclit suy ra N, C, M thẳng hàng và CM = CN 
Do đó N đối xứng với M qua C. 
Bài 2: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BM, CN. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi 
E là điểm đối xứng với C qua N. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A. 
Lời giải 
E A D Xét tứ giác ABCD có 
 N
 M AM= MC (BM là trung tuyến của tam giác ABC) 
 B C BM= MD (D đối xứng với B qua M) 
 Tứ giác ABCD là hình bình hành 
 AD//BC; AD=BC (1) 
Xét tứ giác ACBE có 
 AN = NB (CN là trung tuyến của tam giác ABC) 
 NE= NC (E đối xứng với C qua N) 
 Tứ giác ACBE là hình bình hành 
 AE//BC; AE=BC (2) 
Từ (1) và (2) Theo tiên đề Ơclit suy ra A,D,E thẳng hàng và AD = AE 
Do đó D đối xứng với E qua A  OA = OC 
 O1 O 4 (2 góc đối đỉnh) 
Xét AOE và COF có 
  AOE = COF (g.c.g) 
  OE = OF 
A1 C 1 (cmt) 
 Do đó E đối xứng với F qua O 
OA = OC (cmt) 
Bài 5: Cho tam giác ABC, D là một điểm trên BC, Qua D vẽ DE //AB (E thuộc AC) vẽ DF//AC (F 
thuộc AB). Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh rằng E đối xứng với F qua điểm I. 
Lời giải 
Xét tứ giác AEDF có A
 AF//DE (DE//AB) F
 I E
 AE//DF (DF//AC) 
 C
 Tứ giác AEDF là hình bình hành B D
Có I là trung điểm của đường chéo AD 
 I là trung điểm của đường chéo EF 
Do đó E đối xứng với F qua điểm I. 
Bài 6: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Gọi O là điểm bất kỳ 
nằm trong tam giác ABC. Vẽ M đối xứng với O qua D, vẽ N đối xứng với O qua E. Chứng minh rằng 
MNCB là hình bình hành. 
Lời giải 
 A Xét tứ giác AOCN có 
M N
 AE = EC (gt) 
 D E
 OE = EN (N đối xứng với O qua E) 
 O
  Tứ giác AOCN là hình bình hành 
 B C
 AO//NC; AO=NC (1) 
Xét tứ giác AOBM có 
AD = DB (gt) 
OD = DM (N đối xứng với O qua E) 

File đính kèm:

  • pdfchuyen_de_doi_xung_tam_toan_8.pdf