Chuyên đề đoạn thẳng môn Toán Lớp 6

 CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6
 ĐOẠN THẲNG
 Chuyên đề 1. ĐIỂM. ĐƯỜNG THẲNG 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 1. Điểm A thuộc đường thẳng d kí hiệu là
 d
 Ad∈ Khi ba điểm A, B, C cùng 
 A B C
 thuộc một đường thẳng ta nói chúng 
 thẳng hàng (h.1). Hình 1 
 2. Điểm M không thuộc đường thẳng d kí
 M
 hiệu là Md∉ Khi ba điểm A, B, M 
 không cùng thuộc bất kì đường thẳng 
 d
 nào ta nói chúng không thẳng hàng 
 A B
 (h.2). 
 Hình 2 
3. Trong ba điểm thẳng hàng có một điểm và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm khác.
Trong hình 1, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. 
4. Có một đường thẳng và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
Đường thẳng d trong hình 2 còn được gọi là đường thẳng AB. Ta còn đặt tên đường thẳng 
 bằng hai chữ cái thường ví dụ đường thẳng xy. 
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
 Ví dụ 1. Trên đường thẳng lấy 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó và lấy điểm O∉ a. 
 a) Hãy kể tên các trường hợp một điểm nằm giữa hai điểm khác.
 b) Có bao nhiêu nhóm ba điểm không thẳng hàng?
 Giải (h.3) 
 a) Có 4 trường hợp một điểm nằm giữa hai điểm khác là:
 - Điểm B nằm giữa A và C;
 O
 - Điểm B nằm giữa A và D;
 - Điểm C nằm giữa A và D; a
 - Điểm C nằm giữa B và D. A B C D
 Hình 3 
 b) Có 6 nhóm ba điểm không thẳng hàng là:
 (O; A; B) ; (O; A; C) ; (O; A; D) ; (O; B; C) ; (O; B; D) và (O; C; D). 
 89 Ví dụ 3. Cho trước một số điểm trong đó có đúng ba điểm thẳng hàng. Vẽ các đường 
 thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng nếu số điểm cho 
 trước là: 
 a) 7 điểm; b) n điểm ()nn∈≥ ,3.
 Giải 
 a) Nếu trong 7 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ
 7.6
 được là = 21 (đường thẳng). 
 2
 Bây giờ xét đến ba điểm thẳng hàng, qua chúng chỉ vẽ được một đường thẳng. Nếu ba 
 điểm này không thẳng hàng thì sẽ vẽ được ba đường thẳng. 
 Số đường thẳng giảm đi là : 312−= (đường thẳng). 
 Vậy vẽ được tất cả 21−= 2 19 (đường thẳng). 
 nn.1()−
 b) Lập luận tương tự như câu a) ta được đáp số = 2(đường thẳng). 
 2
 Ví dụ 4. Cho trước n điểm trong đó có ba điểm thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua 
 các cặp điểm. Biết số đường thẳng vẽ được tất cả là 28, tìm số n ? 
 Giải 
 nn.1( − )
 Ta có: = 28. 
 2
 Suy ra: nn.()−= 1 56 = 8.7
 Vì n và n −1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên n = 8. 
C. BÀI TẬP
 1.1. Xem hình 6 rồi cho biết: 
 - Có bao nhiêu nhóm ba điểm thẳng
 hàng?
 - Có bao nhiêu trường hợp một điểm nằm
 giữa hai điểm khác? 
 Hình 6 
1.2. Vẽ sơ đồ trồng 9 cây thành 9 hàng, mỗi cây 3 hàng. 
 91 Chuyên đề 2. TIA 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 1. Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng bị
 O x
 chia ra bởi điểm O được gọi là một tia gốc 
 O. Trên hình 7 ta có tia Ox. Hình 7 
 2. Hai tia chung gốc tạo thành đường thẳng gọi là ư 
 hai tia đối nhau. Trên hình 8 ta có hai tia 
 x O y
 Ox và Oy đối nhau. 
 Nhận xét: Mỗi điểm trên đường thẳng là gốc Hình 8 
 chung của hai tia đối nhau. 
 3. Hai tia trùng nhau: Trên tia Ox lấy một điểm
 M (M khác O). Khi đó hia tia Ox và OM 
 trùng nhau. (h.9). 
 Hai tia trùng nhau chỉ coi là một tia. O M x
 4. Mối quan hệ giữa một điểm nằm giữa hai điểm
 khác với hai tia đối nhau, hai tia trùng Hình 9 
 nhau. 
 Xét ba điểm A, O, B thẳng hàng (h.10). 
 • Nếu hai tia OA, Ob đối nhau thì gốc O nằm
 giữa A và B 
 • Ngược lại, nếu điểm O nằm giữa A và B thì hai A O B
 tia OA và OB đối nhau; hai tia AO, AB 
 Hình 10 
 trùng nhau, hai tia BO, BA trùng nhau. 
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
 Ví dụ 1. Trên đường thẳng xy lấy ba điểm m, O, N (h.11) 
 M O N
 x y
 Hình 11 
 Hãy kể tên: 
 a) Các cặp tia đối nhau;
 b) Các tia trùng nhau gốc O, các tia trùng nhau gốc M.
 Giải 
 a) Có ba cặp tia đối nhau là: Mx và My; Ox và Oy; Nx và Ny.
 b) Có hai cặp tia trùng nhau gốc O là: Ox và OM, Oy và ON.
 93 1.17. Cho điểm O nằm giữa hai điểm M và N. Trên tia Om lấy điểm E, trên tia ON lấy điểm F. 
 Giải thích vì sao: 
 a) Hai tia BO và BC đối nhau;
 b) Điểm B nằm giữa hai điểm O và C.
1.18. Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Giải thích vì 
 sao: 
 a) Hai tia BO và BC đối nhau;
 b) Điểm B nằm giữa hai điểm O và C.
1.19. Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C, điểm C nằm giữa hai điểm B và D. Chứng tỏ 
rằng: 
 a) Hai tia BA, BD đối nhau; b) Hai tia CA, CD đối nhau.
 95 a) Điểm F nằm giữa hai điểm E và D
 7
nên ED= EF + FD =+=3 2 5(cm ). 
 Điểm E nằm giữa hai điểm C và D 
 x C E F D y
 nên 3 2
 CE+= ED CD
 Hình 19 
 ⇒CE = CD − ED =−=7 5 2(cm )
 b) Ta có CE= ED(5 = cm )
 Ví dụ 3. Cho ba điểm A, B, C sao cho AB= 2, cm BC= 4 cm và CA= 3. cm Hỏi ba điểm
A, B, C có thẳng hàng không? Vì sao? 
 Giải 
 • Giả sử điểm A nằm giữa B và C, khi đó thì BA+= AC BC tức
 234+= (vô lí)
 Vậy A không nằm giữa B và C.
 • Giả sử điểm B nằm giữa A và C, khi đó thì AB+= BC AC tức
 243+= (vô lí)
 Vậy B không nằm giữa A và C.
 • Giả sử điểm C nằm giữa A và B, khi đó thì AC+= CB AB tức
 342+= (vô lí)
 Vậy C không nằm giữa A và B.
 Trong ba điểm A, B, C không có điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại nếu ba điểm này
không thằng hàng. 
 Lưu ý: Bạn có thể giải bài toán trên bằng cách khác gọn hơn như sau: 
 Ta có BA+≠ AC BC (vì 234+≠) nên A không nằm giữa B và C. 
 AB+≠ BC BC (vì 243+≠) nên B không nằm giữa A và C. 
 AC+≠ CB AB (vì 342+≠) nên C không nằm giữa A và B. 
 Trong ba điểm A, B, C không có điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại nếu ba điểm này 
không thằng hàng. 
 Ví dụ 4. Trên tia Ox lấy các điểm A và B sao cho OA= 2 cm ; OB= 5 cm . Trên tia đối 
của tia Bx lấy điểm M sao cho BM= OA. Tính độ dài AM. 
 Giải. (h. 20) 
 Trên tia Ox có OA<< OB (2 5) nên điểm A 
nằm giữa hai điểm O và B do đó 
 5
OA+= AB OB 
 ⇒AB = OB − OA =−=5 2 3( cm ).
 O A ? M B x
 Ta có BM= OA = 2 cm . 2
 Trên tia BO có BM<< MA (2 3) nên
 Hình 20 
điểm M nằm giữa B và A. 
 Ta có BM+= MA BA 
 23+=⇒=MA MA 1 cm 
C. BÀI TẬP
 97 Chuyên đề 4. TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 1. Định nghĩa: Trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm nằm giữa A và B và cách đều
A, B ()MA= MB . 
 2. Tính chất: Nếu M là trung điểm
 AB A M B
của AB thì MA= MB = (h. 22).
 2 Hình 22 
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
 Ví dụ 1. Cho đoạn thẳng AB có độ dài là 5cm. Trên đoạn thẳng này lấy điểm C sao cho 
 AC= 3 cm . Gọi M là trung điểm của CB. Tính độ dài AM. 
 Giải. (h. 23) 
 Điểm C nằm giữa A và B 
 5
nên AC+= CB AB 
 ⇒CB = AB − AC =−=5 3 2(cm )
 A C M B
 Vì M là trung điểm của CB 3
 CB 2
 Nên MB = = =1(cm ). Hình 23 
 22
 Điểm M nằm giữa A và B nên AM+= MB AB . 
 Suy ra AM= AB − MB =5 −= 1 4( cm ). 
 Nhận xét: Trong lời giải trên dựa vào nhận biết trực quan qua hình vẽ ta nói điểm M 
năm giữa hai điểm A và B mà không giải thích lí do vì chuẩn kiến thức kĩ năng môn Toán 6 
không yêu cầu phải giải thích. 
 Nếu muốn giải thích bạn có thể lập luận như sau: 
 Trên tia BA có BM< BA (1< 5) nên điểm M nằm giữa hai điểm A và B. Vấn đề ở đây 
là bạn phải xét tia gốc B. 
 Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng AB= 6 cm . Lấy điểm M nằm giữa hai điểm A và B sao cho 
 1 1
 AM= AB . Trên tia MB lấy điểm O sao cho MO= AM . Chứng tỏ rằng:
 3 2
 a) Điểm O không phải là trung điểm của đoạn thẳng MB;
 b) Điểm O là trung điểm của đoạn thẳng MB.
 Giải. (h. 24)
 11
 a) Ta có AM= AB =.6 = 2 ( cm ) . 6
 33
 11
 MO= AM =.2 = 1 ( cm ) . 
 22 A M O B
 Vì điểm M nằm giữa A và B nên Hình 24 
 AM+= MB AB . 
 Suy ra MB= AB − AM =−=6 2 4(cm ). 
 Trên tia MB có MO<< MB (1 4) nên điểm O nằm giữa hai điểm M và B. 
 Do đó MO+= OB MB . 
 99