Chuyên đề Đồ thị hàm số - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 DẠNG II : ĐỒ THỊ HÀM SỐ
 5
Đề bài 1: Cho hàm số bậc nhất : y = ( 2m – 5 )x + 3 với m cú đồ thị là 
 2
đường thẳng d .Tỡm giỏ trị của m để 
 a. Gúc tạo bởi (d) và và trục Ox là gúc nhọn, gúc tự ( hoặc hàm số đồng biến, 
 nghịch biến)
 b. (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1)
 c. (d) song song với đường thẳng y = 3x – 4 
 d. (d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1
 e. (d) luụn cắt đường thẳng 2x – 4y – 3 = 0
 f. (d) cắt đường thẳng 2x + y = -3 tại điểm cú hoành độ là -2
 g. (d) cắt trục hoành tại điểm ở bờn trỏi trục tung ( cú hoành độ õm)
 h. (d) cắt đường thẳng y = 3x + 1 tại điểm cú hoành độ õm (hoặc ở bờn trỏi 
 trục tung)
 i. (d) cắt đường thẳng y = 5x – 3 tại điểm cú tung độ dương ( hoặc ở trờn 
 trục hoành)
 j. Chứng tỏ (d ) luụn đi qua một điểm cố định trờn trục tung
Giải :Hàm số cú a = 2m – 5 ; b = 3
 a. Gúc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là gúc nhọn, gúc tự 
Gúc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là gúc nhọn khi đường thẳng d cú hệ số 
a > 0 
 5
 2m – 5 >0 m > ( thỏa món)
 2
Gúc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là gúc tự khi đường thẳng d cú hệ số a 
< 0 
 5
 2m – 5 <0 m < ( thỏa món )
 2
 5
Vậy gúc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là gúc nhọn khi m >
 2
 5
 gúc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là gúc tự khi m <
 2
 b. (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1)
 Thay x = 2 ; y = -1 vào phương trỡnh đường thẳng d ta cú
 3
 -1 = 2. ( 2m - 5) + 3 4m – 10 + 3 = -1 m = ( thỏa món)
 2
 3
 Vậy với m = thỡ (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1)
 2
Chỳ ý :Phải viết là “Thay x = 2 ; y = -1 vào phương trỡnh đường thẳng d ”, 
khụng được viết là “Thay x = 2 ; y = -1 vào đường thẳng d ”
 c. (d) song song với đường thẳng y = 3x - 4 
(d) song song với đường thẳng y = 3x - 4 2m 5 3 m 4 m 4 ( thỏa 
 3 4 3 4
món) 2 5
 0 2m 8 0 m 4 ( thỏa món cỏc điều kiện m và m 4 ) 
 2m 8 2
Vậy m > 4 là giỏ trị cần tỡm.
 i. (d) cắt đường thẳng y = 5x - 3 tại điểm cú tung độ dương ( hoặc ở trờn 
 trục hoành)
* (d) cắt đường thẳng y = 5x - 3 2m – 5 5 m 5
* Hoành độ giao điểm của (d) và đường thẳng y = 5x - 3 là nghiệm của phương 
trỡnh ẩn x sau :
 6 3
( 2m – 5 )x + 3 = 5x - 3 ( 2m - 10)x = -6 x ( vỡ m 5 )
 2m 10 m 5
 3
Thay x vào phương trỡnh đường thẳng y = 5x - 3 ta cú y = 
 m 5
 3 15 3m 15 3m
 5. 3 
 m 5 m 5 m 5
(d) cắt đường thẳng y = 5x - 3 tại điểm cú tung độ dương 
 3m
 0 3m m 5 0 m m 5 0 0 m 5
 m 5
 5
Kết hợp với cỏc điều kiện ta cú 0 < m < 5 và m là giỏ trị cần tỡm
 2
 j. Chứng tỏ (d ) luụn đi qua một điểm cố định trờn trục tung
Giả sử (d) luụn đi qua điểm cố định cú tọa độ ( x0 ; y0). Khi đú :
y0 = ( 2m – 5 )x0 + 3 với mọi m 2x0m – 5x0 – y0 + 3 = 0 với mọi m
 2x 0 x 0
 0 0
 5x y 3 0 y 3
 0 0 0
Vậy (d ) luụn đi qua một điểm cố định trờn trục tung cú tọa độ là ( 0 ; 3 )
Chỳ ý đề bài 1:
 5
* Ta luụn so sỏnh m tỡm được với điều kiện của đề bài là m ( điều này rất 
 2
rất hay quờn)
* Nếu đề bài chỉ “Cho phương trỡnh bậc nhất” mà khụng cho điều kiện ta vẫn 
phải đặt điều kiện để phương trỡnh là phương trỡnh bậc nhất ( tức là phải cú a 
 0 và lấy điều kiện đú để so sỏnh trước khi kết luận)
Đề bài 2:
Cho đường thẳng d cú phương trỡnh y = ( m + 1)x – 3n + 6 . Tỡm m và n để :
 a. (d) song song với đường thẳng y = -2x + 5 và đi qua điểm ( 2 ; -1)
b, (d) song song với đường thẳng y = 3x + 1 và cắt trục hoành tại điểm cú hoành 
độ là -1
 3
c, (d) cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ là và cắt trục tung tại điểm cú tung 
 2
độ là 1
d, (d) song song với đường thẳng y = 2x + 3 và cắt đường thẳng y= 3x + 2 tại 
điểm cú hoành độ là 1
e, (d) đi qua diểm ( -3 ; -3 ) và cắt trục tung tại điểm cú tung độ là 3 • (d) cắt trục tung tại điểm cú tung độ là 3 3 3n 6 n 1
 Thay vào phương trỡnh m + n = 2 ta được m + 1 = 2 m = 1
 Vậy m = 1 , n = 1
 f. (d) đi qua ( 2 ; -5 ) và cú tung độ gốc là -3
 • (d) đi qua diểm ( 2 ; -5 ) 5 m 1 .2 3n 6 2m 3n 13
 • (d) cú tung độ gốc là -3 3 3n 6 n 3
 Thay vào phương trỡnh 2m - 3n = -13 ta được 2m – 3.3 = -13 m = -2
 Vậy m = -2 , n = 3
 g. (d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) và ( -3 ; 1 )
 (d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) và ( -3 ; 1 )
 m 0
 3 m 1 . 1 3n 6 m 3n 2 2m 0 2
 2 Vậy m = 0 , m = 
 1 m 1 . 3 3n 6 3m 3n 2 3m 3n 2 n 3
 3
Đề bài 3:
Cho hai hàm số bậc nhất y = ( m + 3 )x + 2m + 1 và y = 2mx - 3m - 4 cú đồ thị 
tương ứng là (d1) và (d2). Tỡm m để :
 a. (d1) và (d2) song song với nhau , cắt nhau , trựng nhau
b. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trờn trục tung
 c. (d1) cắt (d2) tại một điểm trờn trục hoành
 d. (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bờn phải trục tung
 e. (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bờn dưới trục hoành
 f. (d1) cắt (d2) tại điểm ( 1 ; -2 )
 g. Chứng tỏ khi m thay đổi thỡ đường thẳng (d1) luụn đi qua một điểm cố định 
, đường thẳng (d2) luụn đi qua một điểm cố định.
Giải :Để cỏc hàm số đó cho là cỏc hàm số bậc nhất ta phải cú : 
 m 3 0 m 3
 2m 0 m 0
Chỳ ý :Điều kiện trờn luụn được dựng so sỏnh trước khi đưa ra một kết luận 
về m
a. (d1) và (d2) song song với nhau , cắt nhau , trựng nhau
(d ) và (d ) song song với nhau m 3 2m m 3 m 3
 1 2 2m 1 3m 4 m 1
(d1) và (d2) cắt nhau m 3 2m m 3
(d ) và (d ) trựng nhau m 3 2m m 3 ( vụ nghiệm )
 1 2 2m 1 3m 4 m 1
Kết hợp với cỏc điều kiện ta cú:
 Với m = 3 thỡ (d1) và (d2) song song với nhau
 m 3 , m 0 , m 3 thỡ (d1) và (d2) cắt nhau
 Khụng cú giỏ trị nào của m để (d1) và (d2) trựng nhau
b. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trờn trục tung
 • (d1) và (d2) cắt nhau m 3 2m m 3 5m 5 5m2 20m 15 2m2 5m 3 7m2 15m 12
 y m 3 . 2m 1 
 m 3 m 3 m 3
* (d1) cắt (d2) tại điểm nằm bờn dưới trục hoành khi tung độ giao điểm õm 
 7m2 15m 12
 0 (*)
 m 3
 2
 2 2 2 9 5 2 3 15
 Ta có7m 15m 12 6m 12m 6 m 3m 6 m 1 m 0
 4 4 2 4
Nờn (*) tương đương với m-3<0 m 3
Kết hợp với cỏc điều kiện ta cú : m 3,m 3,m 0 là giỏ trị cần tỡm 
 f. (d1) cắt (d2) tại điểm ( 1 ; -2 )
 • (d1) và (d2) cắt nhau m 3 2m m 3
 2 m 3 2m 1
 • (d ) cắt (d ) tại điểm ( 1 ; -2 ) m 2 m 2
 1 2 2 2m 3m 4 m 2
Kết hợp với cỏc điều kiện ta cú m = -2 là giỏ trị cần tỡm.
g. Chứng tỏ khi m thay đổi thỡ đường thẳng (d 1) luụn đi qua một điểm cố 
định , đường thẳng (d2) luụn đi qua một điểm cố định.
Giả sử khi m thay đổi cỏc đường thẳng (d1) luụn đi qua điểm ( x0 ; y0 ) , tức là : 
 y0 m 3 x0 2m 1 với mọi m x0 2 m 3x0 y0 1 0 với mọi m
 x 2 0 x 2
 0 0
 3x y 1 0 y 5
 0 0 0
Vậy khi ma thay đổi thỡ cỏc đường thẳng (d1) luụn đi qua điểm ( -2 ; -5 ) cố định 
 3 
Chỳ ý :Với đường thẳng ( d2 ) ta làm tương tự , điểm cố định là ; 4 
 2 
Đề bài Cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt cú phương trỡnh y = -2x + 4 và y = 
2x - 2 
 a. Tỡm tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng trờn.
 b. Vẽ trờn cựng một hệ trục tọa độ cỏc đường thẳng d1 và d2
 c. Gọi B và C lần lượt là giao điểm của d 1 và d2 với trục hoành; D và E lần 
 lượt là giao điểm của d 1 và d2 với trục tung.Tớnh diện tớch cỏc tam giỏc 
 ABC , ADE , ABE.
 d. Tớnh cỏc gúc tạo bởi đường thẳng d1 và d2 với trục hoành.
Giải :a, Tỡm tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng trờn.
 Giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trỡnh sau : 
 4 y 4 1 3
 y 2x 4 x x 
 y 2x 2 2 2 2
 2y 2 y 1
 3 
 Vậy giao điểm A của hai đường thẳng là A ;1 
 2 
 b, Vẽ trờn cựng một hệ trục tọa độ cỏc đường thẳng d1 và d2
 • Xột đường thẳng (d1) : y = -2x + 4
 Với x = 0 y = 4 ; y = 0 x = 2. Đường thẳng (d1) đi qua hai điểm ( 0 ; 4 ) 
và ( 2 ; 0 ) ã ã
Gúc tạo bởi đường thẳng d1 và d2 với trục hoành lần lượt là DBx và ACx
 OD 4
Tam giỏc OBD vuụng tại O cú : TgOã BD 2 Oã BD 63,40
 OB 2
 Bã Dx 1800 63,40 116,60
 OE 2
Tam giỏc OCE vuụng tại O cú : TgOã CE 2 Oã CE 63,40
 OC 1
 Ã Cx 63,40
 0
Vậy gúc tạo bởi đường thẳng d1 và d2 với trục hoành cựng là 63,4 .
II. CHÚ í : Khi đề bài khụng cho điều kiện của tham số m mà núi là cho hàm 
số bậc nhất thỡ khi làm bài ta vẫn phải tỡm điều kiện để cú phương trỡnh bậc 
nhất và dựng điều kiện này để so sỏnh trước khi kết luận
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Cõu 1: (3,0 điểm).
Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d).
a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luụn đi qua một điểm cốđịnh với mọi giỏ trị 
của m.
b) Tớnh giỏ trị của m để khoảng cỏch từ gốc toạđộ O đến đường thẳng (d) là lớn 
nhất.
Bài 2 (1,5 điểm)
 Tỡm hai số thực dương a , b sao điểm M cú toạ độ (a ;b2 +3) và điểm N
 Cú toạ độ ( ab ; 2 ) cựng thuộc đồ thị của hàm số : y = x2 . 
Bài 3 (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ 0xy cho parabol (P): y = x2 và điểm D(0;1).
 1. Viết phương trỡnh đường thẳng (d) đi qua điểm D(0;1) v à cú hệ số gúc k.
 2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luụn cắt parabol (P) tại hai điểm phận 
 biệt G và H với mọi k.
 3. Gọi hoành độ của hai điểm G và H lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng: 
 x1.x2 = -1, từ đú suy ra tam giỏc GOH là tam giỏc vuụng.
Cõu 4 (1 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y = (m2 – 3m)x +m và đường 
thẳng (d’): y = 4x + 4. Tỡm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’).
Bài 5 (2.0 điểm) 
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và cỏc điểm C, D 
thuộc parabol (P) với xc = -1, xD = 2
1.Tỡm toà độ cỏc điểm C, D và viết phương trỡnh đường thẳng CD.
2.Tỡm p để đường thẳng (d): y = (2p2-p)x+p+1(với p là tham số) song song với 
đường thẳng CD.
Cõu 6: Cho hàm số : y = ax + b (1)