Chuyên đề Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Đại số Lớp 11

ĐẠI SỐ 11. 
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM. 
BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 
 I TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 
 = 
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 
- Cho hàm số y f x xác định trên khoảng ab; và x0 a; b nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) 
 f x f x0 
lim thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm x0 và kí hiệu 
xx 
 0 xx 0
là fx 0 tức là 
 f x f x0 y
 fx 0 lim lim 
 xx x 0
 0 xx 0 x
Trong đó: 
- Đại lượng x x x0 là số gia của đối số tại 
- Đại lượng y f x f x0 f x 0 x f x 0 là số gia tương ứng của hàm số. 
- Nếu hàm số có đạo hàm tại thì nó liên tục tại điểm đó. 
2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa 
Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm bằng định nghĩa ta làm theo các bước sau 
Bước 1: Tính y f x00 x f x 
 y
Bước 2: Lập tỉ số 
 x
Bước 3: Tìm 
3. Đạo hàm bên trái, bên phải 
 f x f x0 f x f x0 
 fx 0 lim ; fx 0 lim 
 xx xx 
 0 xx 0 0 xx 0
Hệ quả: Nếu hàm số có đạo hàm tại thì sẽ tồn tại fx 0 và fx 0 đồng thời 
 f x00 f x . 
4. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn 
- Hàm số có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên ab; nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm 
thuộc ab; . 
- Hàm số có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên ab;  nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc 
 ab; đồng thời tồn tại đạo hàm bên trái fb và đạo hàm bên phải fa . 
5. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục 
- Nếu hàm số có đạo hàm tại thì liên tục tại . 
1 | 
 22
Ta có: y f x00 x f x ff 20 2 2 0 2 4 . 
 Câu 6 
 Tìm số gia của hàm số khi , . 
 Lời giải 
 1 1 7
Ta có: ff 10 . 
 233 1 1 1 18
 Câu 7 
 Tìm số gia của hàm số theo số gia của đối số tại . 
 Lời giải 
Ta có: f x f 0 x 11 . 
3 | 
 y f x x f x f 22 x f 
Ta có: f 2 lim lim 00 lim 
 x 0 x x 0 x x 0 x
 11
 x 2 1 2 1 x 11
 lim lim lim . 
 x 0 x x 0 3. xx 3 . x 0 3. x 3 9
e) 
 f 11 x f 
Ta có: f 1 lim 
 x 0 x
 2 2
 x 1 3 12 3 xx 2 4 2 xx 2 2 
 lim lim lim
 x 0 x 0
 x x x 0 x. x 2 2 x 4 2
 x 21
 lim . 
 x 0 xx 2 2 4 2 2
 Ví dụ 2 
 Tính đạo hàm của hàm số tại . 
 Lời giải 
 f( x ) f (0) x32 x 1 1 x 1 1
Ta có : f (0) 0, do đó: lim lim2 lim . 
 x 0xx x 0 x 0 xx32 11 2
 1
Vậy f (0) . 
 2
 Ví dụ 3 
 Tính đạo hàm của hàm số tại . 
 Lời giải 
 x32 2 x 7 x 4
Ta có: limf ( x ) lim 2 x 3 5 ; limf ( x ) lim lim x2 3 x 4 0 . 
 xx 11 x 1 x 1 x 1 x 1 
Dẫn tới limf ( x ) lim f ( x ) . 
 xx 11 
Suy ra: hàm số không liên tục tại x0 1 nên hàm số không có đạo hàm tại . 
5 | 
 limf x lim f x f 1 ab 2 
 xx 11 
Điều kiện đủ: 
 f x f 1 xx2 2
 f 1 lim lim lim x 2 3 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 f x f 1 f x f 1 ax b a b ax a
 f 1 lim lim lim lim a 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
Để hàm số fx có đạo hàm tại x 1 thì f 1 ab 31 . 
 Ví dụ 7 
 Tìm để hàm số có đạo hàm tại . 
 Lời giải 
Điều kiện cần: 
 1
 f 1 . 
 3
 x3 1
limfx lim . 
xx 11 33
limf x lim ax b a b . 
xx 11 
Để hàm số có đạo hàm tại thì liên tục tại 
 1
 ab . 
 3
Điều kiện đủ: 
 x3 1
 f x f 1 xx2 1
 lim lim 33 lim 1 . 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3
 . 
 2
Để hàm số có đạo hàm tại thì ab 1 . 
 3
7 |