Chuyên đề Định lí và chứng minh định lí Toán Lớp 7

 CHUYÊN ĐỀ 11 . ĐỊNH LÍ VÀ CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ. 
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 
 1. Định lí . Giả thiết và kết luận của định lí: 
 Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết. Mỗi định lí 
 thường được phát biểu dưới dạng: “ Nếu  thì ” 
 Phần giữa từ “nếu” và từ “thì” là giả thiết của định lí. 
 Phần sau từ “thì” là kết luận của định lí. 
 2. Thế nào là chứng minh định lí ? 
 Chứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã 
 biết để suy ra kết luận của định lí. 
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI. 
Dạng 1. Xác định giả thiết và kết luận của định lí 
I. Phương pháp giải: 
 Mỗi định lí thường được phát biểu dưới dạng: “ Nếu  thì ” 
 Phần giữa từ “nếu” và từ “thì” là giả thiết của định lí. 
 Phần sau từ “thì” là kết luận của định lí. 
II. Bài toán. 
Bài 1.NB. Hãy nêu giả thiết và kết luận của định lí sau: “ Hai đường thẳng phân biệt cùng 
vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau” 
Lời giải: 
Giải thiết là: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba 
Kết luận là: chúng song song với nhau. 
Bài 2.NB. Hãy phát biểu phần còn thiếu của giả thiết trong định lí sau: “ Hai góc ... thì bằng 
nhau” 
Lời giải: 
Phần thiếu là: đối đỉnh 
Bài 3.NB Hãy phát biểu phần còn thiếu của kết luận trong định lí sau: “ Hai đường thẳng phân 
biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì ...” 
Lời giải: 
Phần thiếu là: chúng song song với nhau. 
Bài 4.TH Vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận của định lí : “ Nếu một đường thẳng cắt hai đường 
thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau” 
Lời giải: 
 1 
 GT xOy và yzO kề bù 
 Om là tia phân giác của 
 On là tia phân giác của yOz 
 0
 KL mOn = 90 
Bài 7.VD Phần giả thiết: c a ={ A }; c  b = { B }, A12 + B = 180  (tham khảo hình vẽ) là của định 
lý nào ? 
 c
 4
 a 3
 A
 1 2
 2
 b 3
 B
 1
 4
Lời giải: 
Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành hai góc trong cùng phía bù nhau thì 
hai đường thẳng đó song song. 
Bài 8.VD Định lí “ Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” có định lí đảo không ? Vẽ hình minh họa. 
Lời giải: 
Định lí “ Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” không có định lí đảo . 
 G
 K H
 I
Hai góc bằng nhau nhưng không đối đỉnh. 
Bài 9.VD Phát biểu định lí đảo của định lí sau: “ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc 
với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song nhau” 
Lời giải: 
Định lí đảo “ Hai đường thẳng phân biệt song song nhau thì chúng cùng vuông góc với đường 
thẳng thứ ba” 
 3 
Lời giải: 
Kết luận là: zOt =90 
Dạng 2. Chứng minh định lí 
I. Phương pháp giải: 
Chứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã biết để 
suy ra kết luận của định lí. 
II. Bài toán. 
Bài 1.NB Chứng minh định lí là gì ? 
Lời giải: 
Chứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã biết để 
suy ra kết luận của định lí. 
Bài 2.NB Chọn đáp án đúng nhất trong các phát biểu sau: 
Khi chứng minh một định lí người ta cần: 
 a) Chứng minh định lí đó đúng trong một trường hợp cụ thể của giả thiết. 
 b) Chứng minh định lí đó đúng trong hai trường hợp cụ thể của giả thiết. 
 c) Chứng minh định lí đó đúng trong mọi trường hợp có thể xảy ra của giả thiết. 
 d) Chứng minh định lí đó đúng trong vài trường hợp cụ thể của giả thiết. 
Lời giải: 
c) Chứng minh định lí đó đúng trong mọi trường hợp có thể xảy ra của giả thiết. 
Bài 3.NB Phát biểu sau có phải là một định lí . “Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai 
đường thẳng cắt nhau thì song song với đường thẳng kia” 
Lời giải: 
Không 
Bài 4.TH Diễn đạt bằng lời định lí sau: 
 c
 a H
 1
 b 1
 I
Lời giải: 
Nếu hai đường thẳng bị một đường thẳng thứ ba cắt và chúng tạo thanh một cặp góc trong 
cùng phai bù nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau 
 5 
Bài 7.VD Cho hình vẽ biết AB⊥ ED và ACB= CBF . Chứng minh rằng AB⊥ GF 
 A C
 E D
 G F
 B
Lời giải: 
Có 
Và ACB; CBF có vị trí so le trong. 
Do đó: ED// GF 
Lại có 
Vậy 
Bài 8.VD Ghi giả thiết kết luận và chứng minh định lý “ Hai góc cùng phụ với một góc thứ ba 
thì bằng nhau” 
Lưu ý hai góc phụ nhau có tổng số đo bằng 900 
Lời giải: 
 GT AC+=900 , BC+=900 
 KL AB= 
Chứng minh: 
Ta có AC+=90o 
 BC+=90o 
Suy ra ACBC+ = + 
Do đó AB= 
Vậy “Hai góc cùng phụ với một góc thứ ba thì bằng nhau” 
Bài 9.VD Chứng minh định lí sau: “ Hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh là hai tia đối nhau” 
Lời giải: 
 7 Suy ra OOOO1+ 2 ='' 1 + 2 
Vậy xOy= x''' O y 
Bài 11.VDC Chứng minh rằng: Nếu ba điểm A,B,C thẳng hàng và A không nằm giữa B và C 
thì khoảng cách từ điểm A đến trung điểm M của đoạn thẳng BC bằng nửa tổng của hai đoạn 
thẳng AB và AC, tức là 
 AB+ AC
 AM = 
 2
Lời giải: 
 GT Ba điểm A,B,C thẳng hàng và A không nằm giữa B và 
 C 
 M là trung điểm của đoạn thẳng BC 
 KL 
Vì điểm A không nằm giữa hai điểm B và C nên có hai trường hợp: 
Trường hợp 1: điểm nằm giữa hai điểm và 
 A C
 B M
Khi đó BC=− AC AB 
Và AM=+ AB BM 
 BC
 AM=+ AB ( Vì M là trung điểm của BC ) 
 2
 AC− AB
 AM=+ AB 
 2
 AB+ AC
 AM = 
 2
Trường hợp 2: điểm nằm giữa hai điểm và 
 A B
 C M
Khi đó BC=− AB AC 
Và AM=+ AC CM 
 BC
 AM=+ AC ( Vì là trung điểm của ) 
 2
 9 Bài 3.VD Xác định giả thiết và kết luận của định lý sau: 
“ Nếu hai góc xOy và x'' Oy có một góc nhọn, một góc tù và Ox// O ' x ' ,Oy// O ' y ' thì 
 xOy+= x' Oy ' 180o ” 
Bài 4.VDC Cho hình vẽ với GT và LK sau. Có thể rút ra định lí nào. 
 m c
 a A
 C
 b
 B
 n
 GT ab// , c a = A; c  b = B 
 Am là phân giác của cAa 
 Bn là phân giác của nBb 
 KL Am⊥ Bn 
Dạng 2. Chứng minh định lí. 
Bài 1.NB Phát biểu định lí đảo của định lí: “ Góc tạo bỡi hai tia phân giác của hai góc kề bù là 
một góc vuông” 
Bài 2.TH Hãy sắp xếp các ý sau để hoàn thiện bài toán chứng minh định lí “ Góc tạo bỡi hai 
tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông” 
 B
 N
 M
 C A
 O
1/ Do đó MON= 90o 
 AOB
2/ BOM = ( vì OM là tia phân giác của AOB ) 
 2
 11 1/ Do đó 
Bài 3.xOy = x''' O y
 E
 A
 G B
 D
 C
 GT AD là tia phân giác của BAC . 
 EAG đối đỉnh với BAD 
 KL DAC= EAG 
 Chứng minh: 
Có: DAC= BAD(1) ( vì là tia phân giác của ) 
 EAG= BAD(2) ( vì hai góc đối đỉnh) 
Từ (1) và (2) suy ra 
Bài 4. 
 y'
 y 2
 1 x'
 2 O'
 1 x
 O
 GT xOy,''' x O y tù 
 Ox// O ' x ' 
 Oy// O ' y ' 
 KL 
 MON= 90o
Chứng minh: 
Vẽ tia OO ', ta có: 
OO11= ' ( vì OO11,' đồng vị , Ox// O ' x ' ) 
 13 Bài 8.VD Định lí “ Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” có định lí đảo không ? Vẽ hình minh họa. 
Bài 9.VD Phát biểu định lí đảo của định lí sau: “ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc 
với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song nhau” 
Bài 10.VDC Cho hình vẽ với GT và LK sau. Có thể rút ra định lí nào. 
 c
 A a
 n
 C
 m b
 B
 GT , 
 ab// c a = A; c  b = B
 là phân giác của BAa 
 Am
 là phân giác của ABb 
 Bn
 KL 
 Am⊥ Bn
Bài 11.VDC Cho định lí: “Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng 
song song với đường thẳng đó”, kết luận của định lí ứng với hình vẽ dưới đây là: 
 b A
 a
Bài 12.VDC Cho định lí: “Nếu một góc có hai cạnh là hai tia phân giác của hai góc kề bù thì đó 
là góc vuông”, kết luận của định lí ứng với hình vẽ dưới đây là: 
 m
 t
 z
 O y
 x 
Dạng 2. Chứng minh định lí 
Bài 1.NB Chứng minh định lí là gì ? 
Bài 2.NB Chọn đáp án đúng nhất trong các phát biểu sau: 
 15