Chuyên đề Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét Toán 8

 ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 A
1. Định lí Ta-lét đảo
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên
hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó D E
song song với cạnh còn lại của tam giác.
 ABC
 . B C
 AD AE DE BC Hình 269
 DB EC
2. Hệ quả của định lí Ta-lét
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành
một tam giác mới có ba cạnh tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
 ABC AB AC BC
 . 
 BC B C AB AC B C 
Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của tam giác
và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại. 
 A
 C' B' a
 B' C' a A
 B C B C
 Hình 270a
II.BÀI TẬP MINH HỌA Hình 270b
A. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
 DẠNG 1. Tính độ dài đoạn thẳng. Chia đoạn thẳng cho trước thành các phần bằng nhau
PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
1. Tính độ dài đoạn thẳng:
Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét để lập tỉ lệ thức của các đoạn thẳng.
Thay số vào hệ thức rồi giải phương trình.
2. Chia đoạn thẳng cho trước thành các phần bằng nhau cách sử dụng hệ quả của định lí Ta-lét
hoặc tính chất của đường thẳng song song cách đều. A
VÍ DỤ 9,5
Ví dụ 1. Tính các độ dài x, y trong hình 271. D E
 8
Lời giải 
 28,5
a) Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho DE BC , ta được:
 BC AB x 28, 5 x
 hay B C
 DE AD 8 9, 5 Hình 271a
 8.28, 5 456
 x 31,58 . 
 9,5 19 DẠNG 2. Chứng minh hệ thức hình học 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
 Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác. 
 Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét để lập tỉ lệ thức của các đoạn thẳng. 
 Sử dụng các tính chất của tỉ lệ thức hoặc cộng hay nhân theo vế các đẳng thức hình học. 
VÍ DỤ 
Ví dụ 1. Cho hình thang ABCD ()AB CD có O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng
qua O song song với hai đáy cắt AD, BC lần lượt ở E và F . Chứng minh rằng OE OF .
Lời giải (hình 274) 
 A B
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho EO DC, OF  DC và AB DC ,
ta được: 
 E F
 O
 EO AO
 DC AC
 OF BO EO OF . 
 EO OF D C
 DC BD DC DC Hình 274
 AO BO
 AC BD
Ví dụ 2. Cho hình thang ABCD ()AB CD . Một đường thẳng qua giao điểm O của hai đường
 1 1 1
chéo và song song với hai đáy, cắt BC ở I . Chứng minh rằng .
 AB CD OI
Lời giải (hình 275) 
 A B
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho OI AB, OI  DC , ta được:
 OI CI OI BI I
 (1); (2). O
 AB CB DC BC
Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được: 
 OI OI BI IC BC 1 1 1 D C
 1 . Hình 275
 AB CD BC BC AB CD OI
Ví dụ 3. Cho hình thang ABCD (,)AB CD AB CD có O là giao điểm của AC và BD , I là
giao điểm của AD và BC . Đường thẳng IO cắt AB và CD theo thứ tự ở M vàN . Chứng minh
rằng M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD . Có nhận xét gì về kết quả của bài toán.
Lời giải (hình 276) 
Đặt AM a,,, MB b DN c NC d .
Ta phải chứng minh a b, c d .
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho AM CN, MB  ND và AM DN, MB  NC , ta được:
 AM MO I
 AM MB a b a c
 CN ON , hay (1); 
 MB MO CN ND c d b d
 a
 ND ON A M b B
 AM IM
 O
 AM MB a b a d
 DN IN , hay (2). 
 MB IM DN NC d c b c c
 D d N C
 NC IN Hình 276 AI BI
 AI IE AI MK
 MK BK (1). 
 BI IE MK KC IE KC
 BK KC
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho MA DC , ta được:
 MK AK
 (2).
 KC KD
 AI AK
Từ (1) và (2) suy ra . Điều này chứng tỏ đường thẳng KI cắt hai cạnh AD, AE của tam
 IE KD
giác ADE và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên KI DE , hay
 KB DE (theo định lí Ta-lét đảo).
 DẠNG 4*. Vẽ thêm đường thẳng song song để chứng minhhệ thức hình học 
 , tính tỉ số hai đoạn thẳng 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
 Vẽ thêm đường thẳng song song. 
 Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét để lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng. 
 Biến đổi tỉ lệ thức. 
VÍ DỤ 
 A
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, I là một điểm trong tam giác, IA,, IB IC F E
 NA PA IA
theo thứ tự cắt BC,, CA AB ở MNP,, . Chứng minh rằng . P N
 NC PB IM I
Lời giải (hình 280) 
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC . Đường thẳn này cắt BN, CP
 B M C
lần lượt ở E và F .
 Hình 280
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho AE BC và FA BC , ta được:
 NA EA PA AF
 (1); (2).
 NC BC PB BC
 NA PA IA
Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được: .
 NC PB IM
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC , lấy D AB, E AC sao cho BD CE . Gọi K là giao điểm của
 KE AB A
 DE và BC . Chứng minh rằng tỉ số .
 KD AC
Lời giải 
Đặt .
 BD CE a D
 E
Cách 1: (hình 281) Kẻ DH AC thì DH EC .
 a
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho DH EC và DH AC ,
ta được: B H C K
 Hình 281
 KE EC a
 (1);
 KD DH DH
 A
 DH BD a a AB
 (2).
 AC BA BA DH AC D I
 E
 a
 B C K
 Hình 282 Bài 3: Tam giác ABC có đường cao AH. Đường thẳng d song song với BC cắt các cạnh AB, AC và 
đường cao AH lần lượt tại B’, C’ và H’. 
 AH''' B C
a) Chứng minh rằng 
 AH BC
 AH 2
Áp dụng: Cho biết AH ' và diện tích tam giác ABC là 67,5cm . Hãy tính diện tích tam giác
 3
 AB'' C .
Bài 4: Cho tam giác ABC, điểm I thuộc cạnh AB, điểm K thuộc cạnh AC. Kẻ IM song song với BK 
(M thuộc AC), kẻ KN song song với CI (N thuộc AB).Chứng minh MN song song với BC. 
Bài 5: (Định lý Céva) Trên ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy tương ứng ba điểm P, Q, R. 
 PB QC RA
Chứng minh nếu AP, BQ, CR đồng quy thì . . 1.
 PC QA RB
Bài 6: Cho tứ giác ABCD. Qua E AD kẻ đường thẳng song song với DC cắt AC ở G. Qua G kẻ 
đường thẳng song song với CB cắt AB tại H. Chứng minh rằng: 
a)  HE // BD
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với CD, cắt đường thẳng Ac tại I. Qua C kẻ đường thẳng song
song với BA, cắt BD tại F. Chứng minh IF// AD .
Bài 7: Cho hình thang ABCD AB// CD . M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và
BD, K là giao điểm của BM và AC. 
a) Chứng minh IK// AB
b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh rằng EI IK  KF .
Bài 8: Cho ABC có AD là trung tuyến. Từ một điểm M bất kỳ trên cạnh BC, vẽ đường thẳng 
song song với AD, cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh : 
a) ME MF 2 AD
b) ADMI là hình hình hành
 LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 
Bài 1: 
 OP PQ
Hình 1. Trong tam giác ABC, OPQ,// MN PQ ta có: ( hệ quả của định lí Ta-let) 
 ON MN
 x 5, 2 5,2.2 52
 x cm 
 2 3 3 15
Hình 2. Ta có: EF AB;D EF  Q Suy ra AB//D Q . 
 OF FQ
Trong OQF,// QF EB suy ra: ( hệ quả của định lí Ta-let) 
 OE EB