Chuyên đề Diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp đều Toán 8

 DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HèNH CHểP ĐỀU 
 A. BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN
 I. Cụng thức tớnh diện tớch, thể tớch hỡnh chúp đều
 Diện tớch xung quanhcủa hỡnh chúp đều bằng tớch của nửa chu vi với trung đoạn. 
 Như vậy, ta cú: Sxq p. d 
Trong đú: 
 . p là nửa chu vi đỏy.
 . d trung đoạn.
 Diện tớch toàn phần của hỡnh chúp đều bằng tổng diện tớch xung quanh và diện tớch đỏy. 
 Như vậy, ta cú: SSStp xq đáy
 Thể tớch của hỡnh chúp đều bằng một phần ba tớch của diện tớch đỏy nhõn với chiều cao. 
 1
 Như vậy, ta cú: V S. h
 3
 Trong đú: 
 . S là diện tớch đỏy.
 . h là chiều cao.
 II. Cụng thức tớnh diện tớch, thể tớch hỡnh chúp cụt đều
 Với hỡnh chúp cụt đều, ta cú: 
 a. Diện tớch xung quanh:
 1
 S( p p ') d
 xq 2 
 Trong đú: 
 . p và p’ lần lượt là chu vi hai đỏy.
 . d là đường cao của mặt bờn.
 b. Thể tớch:
 1
 V h.( B B ' BB ') 
 chóp cụt 3 
 Trong đú: 
 . B, B’ là diện tớch cỏc đỏy
 . h là độ dài đường cao
 II. VÍ DỤ MINH HỌA
 Vớ dụ 1: Một hỡnh chúp tứ giỏc đều cú độ dài cạnh bờn bằng 25cm, đỏy là hỡnh vuụng ABCD cạnh 
 30cm. Tớnh diện tớch toàn phần của hỡnh chúp. 
  Hướng dẫn: Trước tiờn, đi tớnh độ dài trung đoạn bằng việc sử dụng định lý Pytago. Cuối cựng sử
 dụng cỏc cụng thức cú sẵn. 
 Giải – Học sinh tự vẽ hỡnh. 
 Hướng dẫn:Trước tiờn, đi tớnh độ dài trung đoạn bằng việc sử dụng định lý Pytago hoặc tớnh chất 
trung tuyến trong tam giỏc đều. Cuối cựng sử dụng cỏc cụng thức cú sẵn, 
 Giải: 
a. Hỡnh 130 là hỡnh chúp tam giỏc đều A.BDC. Ta cú: 
 1
BC10 cm MB MC BC 5 cm 
 2 
Trong BMD, ỏp dụng định lý Pytago ta cú: 
 2 2 2 2 2 2
BDMBDM DM 10 5 75 DM 8,66( cm ) 
 1
Do đú: S DMBC. 43,3( cm2 ) 
 BCD 2 
Vậy thể tớch khối chúp đều A.BDC là: 
 1 1
VSOA. . .43,3.12 173,2 ( cm3 ) 
 3BCD 3 
b. Hỡnh 131 là hỡnh chúp tam giỏc đều A.BDC. Ta cú: 
 1
BC8 cm MB MC BC 4() cm 
 2 
Tương tự, ta cú DM 6,93( cm ) 
 2 3
Từ đú, suy ra: SBDC 27,72 ( cm ); V 149,69 (cm ). 
Vớ dụ 4: Tớnh diện tớch toàn phần của hỡnh chúp lục giỏc đều, biết cạnh đỏy a 6 cm , cạnh bờn 
b 10 cm , cho 3 1,73 
 Hướng dẫn:Sử dụng cỏc cụng thức cú sẵn. 
 Giải: 
Ta cú: 
 . Trung đoạn của hỡnh chúp lục giỏc đều là: d 4 cm 
 2
 . Diện tớch xung quanh: S (3.6).4 72( cm ) 
 a2 3
 . Diện tớch đỏy: S15,57( cm2 ) 
 4 
 2
 . Diện tớch toàn phần: Stp 72 15,57 87,57 ( cm ) 1
Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta cú: OM AB8 cm . 
 2 
Trong tam giỏc vuụng SOM ta cú: 
 2 2 2 2 2
SM SO OM 15 8 289 SM 17 cm . 
 2
Khi đú, ta được: Sxq 32.17 544 cm 
Vậy diện tớch xung quanh hỡnh chúp bằng 544 cm2 
Vớ dụ 7: Hỡnh 129 là một cỏi lều ở trại hố của học sinh kốm theo cỏc 
kớch thước. 
a. Tớnh thờ tớch khụng khớ bờn trong lều là bao nhiờu? 
b. Xỏc định số vải bạt cần thiết để dựng lều (khụng tớnh đến đường 
viền, nếp gấp, biết 5 2,24). 
 Giải: 
a. Lều trại cú dạng hỡnh chúp tứ giỏc đều với cạnh đỏy 2m, chiều cao 2m. Do đú, thể tớch của hỡnh chúp 
đều này là: 
 1
V.22 .2 2,67( m 3 ) 
 3 
Biết rằng, thể tớch khối khụng khớ trong lều chớnh là thể tớch của hỡnh chúp. Vậy, thể tớch của khối khụng 
khớ trong lều xấp xỉ 2,67m3 
b. Biết rằng số vải bạt cần thiết để dựng lều bằng diện tớch xung quanh của hỡnh chúp tứ giỏc đều. 
Ta cú: 
 1
 . Nửa chu vi đỏy là: p.4.2 4( m ) 
 2 
 2 2
 . Cạnh bờn của tam giỏc cõn cú d là đường cao là: a 2 (2) 6() m 
 2 2 2
 . Trung đoạn của hỡnh chúp là: d (6) 1 5() mSpd xq . 458,96() m 
Vậy số vải bạt cần thiết để dựng lều là 8,96(m2 ) 
Vớ dụ 8: Hỡnh S.MNOPQR (hỡnh 132) là một hỡnh chúp lục giỏc đều. Bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp 
đỏy (đường trũn tõm H, đi qua 6 đỉnh của đỏy) HM 12 cm (hỡnh 133), chiều cao SM 35 cm . Hóy 
tớnh: 
a. Diện tớch đỏy và thể tớch của hỡnh chúp (biết 108 10,39) 
b. Độ dài cạnh bờn SM và diện tớch toàn phần của hỡnh chúp (biết 1333 36,51) PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 
1. Dạng toỏn đại lượng hỡnh học 
Bài 1: Cho hỡnh chúp đều cú diện tớch đỏy bằng 12 cm2 đường cao bằng 5 cm .Tớnh thể tớch hỡnh chúp 
đều. 
Bài 2: Cho hỡnh chúp đều cú diện tớch đỏy bằng 10 cm2 , thể tớch hỡnh chúp đều bằng 60 cm3 . Tớnh 
đường cao của hỡnh chúp đều. 
Bài 3: Tớnh thể tớch hỡnh chúp tứ giỏc đều biết độ dài cạnh đỏy bằng 4cm và độ dài cạnh bờn bằng 
 24cm 
Bài 4: Tớnh thể tớch hỡnh chúp tam giỏc đều biết chiều cao bằng 12cm và cạnh bờn bằng 4cm . 
Bài 5: Tớnh thể tớch hỡnh chúp tam giỏc đều biết độ dài cạnh bờn bằng 6 cm và cạnh đỏy 3cm . 
Bài 6: Tớnh thể tớch hỡnh chúp tứ giỏc đều cú trung đoạn bằng 5cm và diện tớch xung quanh bằng 
80cm2 . 
Bài 7: Tớnh thể tớch hỡnh chúp tứ giỏc đều cú diện tớch xung quanh bằng 80cm2 và diện tớch toàn phần 
 2
bằng 144cm 
Bài 8: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S. ABCD cú AB 2 cm , SA 4 cm . Tớnh độ dài trung đoạn và 
chiều cao của hỡnh chúp đều này. 
Bài 9: Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S. ABC cú AB 3 cm , cạnh bờn SA 4 cm . Tớnh chiều cao của 
hỡnh chúp. 
2. Dạng toỏn chứng minh 
Bài 10: Cho hỡnh chúp tam giỏc đều A. BCD . Gọi H là trung điểm CD. Chứng minh: 
a) CD vuụng gúc với mặt phẳng AHB 
b) AC BD 
Bài 11: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S. ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Chứng minh 
a) SO vuụng gúc với mp ABCD 
b) mp SAC vuụng gúc với mp ABCD 
 a 3
đều là h mà CI là chiều cao tam giỏc 
 2
ABC nờn cạnh tam giỏc đều là 
2h 2.3
 2 3 hay AB 2 3 cm 
 3 3
Diện tớch đỏy là 
 1 1
S . CIAB . .3.2 3 3 3 cm2 
 2 2 
Thể tớch hỡnh chúp là 
 1 1 
VSh . . .3 3. 12 6 cm3 
 3 3 
Bài 5: Tớnh thể tớch hỡnh chúp tam giỏc đều biết độ dài cạnh bờn bằng 6 cm và cạnh đỏy 3cm . 
Lời giải 
 3
Gọi H là trọng tõm tam giỏc , HC cắt AB tại D , ta cú AD DB 
 ABC 2
Tam giỏc CDB vuụng tại D , theo định lớ Pytago, ta cú 
 2
 2 2 2 3 3 3
DC BC BD 3 và 
 2 2
 2 2 3 3
HC CD  3 
 3 3 2
Tam giỏc SHC vuụng tại H , ta cú 
SH SC2 HC 2( 6) 2 ( 3) 2 3 
Thể tớch của hỡnh chúp đều là 
 1 1 1 1 1 3 3 9
V Sh DCABSH. . .3 3 cm3 
 d 
 3 3 2 3 2 2 4
Bài 6: Tớnh thể tớch hỡnh chúp tứ giỏc đều cú trung đoạn bằng 5cm và diện tớch xung quanh bằng 
80cm2 . 
 Lời giải 
Diện tớch xung quanh hỡnh chúp tứ giỏc đều cú cạnh đỏy là a cm, 
trung đoạn là 5cm : 
 2
Sxq  pd2 a .5 80 cm Hay a 8 cm 
Ta cú AC 82 8 2 82cm BF 4 2cm 
Ta cú FI 4 cm (vỡ FI là đường trung bỡnh của tam giỏc ABC, tam 
giỏc ABC cú cạnh AB a 8 cm ) Gọi H là trung điểm AB , ta cú SH là trung đoạn của hỡnh chúp 
 2 2 2 1
Trong tam giỏc SBH vuụng tại H , theo Pytago ta cú SH SB IB 4 1 15 
Vậy độ dài trung đoạn là 15cm 
Bài 9: Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S. ABC cú AB 3 cm , cạnh bờn SA 4 cm . Tớnh chiều cao của 
hỡnh chúp. 
Lời giải 
Hỡnh chúp tam giỏc đều S. ABC nờn ABC là tam giỏc đều. 
Gọi H là trung điểm AB , O là trong tõm tam giỏc ABC 
Ta cú CH là đường cao tam giỏc ABC 
Trong tam giỏc CHB vuụng tại H ta cú 
 2
 2 2 2 3 3 3 2 2 3 3
HC CB HB 3 ;OC CH  3 
 2 2 3 3 2
 2 2 2 2
Trong tam giỏc vuụng SOC vuụng tại O ta cú SO SC OC 4 ( 3) 13 
Vậy chiều cao của hỡnh chúp là 13cm 
2. Dạng toỏn chứng minh 
Bài 10: Cho hỡnh chúp tam giỏc đều A. BCD . Gọi H là trung điểm CD . Chứng minh: 
a) CD vuụng gúc với mặt phẳng AHB 
b) AC BD 
Lời giải 
a) Hỡnh chúp ABCD.   là hỡnh chúp tam giỏc đều nờn tam giỏc 
CBD là tam giỏc đều cỏc tam ACB , ACD , ADB là cỏc tam 
giỏc cõn tại A . H là trung điểm CD suy ra 
HB CD;AH  CD 
Vậy CD vuụng gúc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt 
phẳng AHB nờn CD mp(AHB) 
b) Gọi E là trung điểm BD ta cú AE BD; CE  BD