Chuyên đề Diện tích tam giác Toán 8

 DIỆN TÍCH TAM GIÁC 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
* Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao tương ứng
* Lưu ý:
 1
 S a.. h 
 2
- Nếu hai tam giác có một cạnh bằng nhau thì tỉ số diện tích hai tam giác đó bằng tỉ số các chiều cao
tương ứng. 
- Nếu hai tam giác có một đường cao bằng nhau thì tỉ số diện tích hai tam giác đó bằng tỉ số các cạnh
tương ứng. 
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Tính toán, chứng minh về diện tích tam giác 
Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác. 
1. Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM. Chứng minh SAMB = SAMC.
2. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng tâm G. Chứng minh:
a) SAGP = SPGB = SBGM = SMGC = SCGN = SNGA;
b) Các tam giác GAB, GBC và GCA có diện tích bằng nhau.
3. a) Tính diện tích của một tam giác cân có cạnh bên là a và cạnh đáy là b.
b) Tính diện tích của tam giác đều có cạnh là a.
4. Cho tam giác ABC có đáy BC = 60 cm, chiều cao tương ứng 40 cm. Gọi D, E theo thứ tự là trung
điểm của AB, AC. Tính diện tích tứ giác BDEC. 
Dạng 2. Tính độ dài đoạn thẳng bằng cách sử dụng công thức tính diện tích tam giác 
 1 2S 2S
Phương pháp giải: Từ công thức S a. h , suy ra a và h . 
 2 h a
5. Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy BC = 60 cm, đường cao AH = 40 cm. Tính đường cao
tương ứng với cạnh bên. HƯỚNG DẪN 
1. 
 Kẻ đường cao AH 
 1
Ta có: SAMB = BM.AH 
 2
 1
SAMC = CM.AH
 2
Mà BM = CM (gt) 
 SAMB = SAMC (ĐPCM) 
2. 
a) Tam giác AGP và PGB có chung đường cao hạ từ đỉnh G và AP =
PB nên SAGP = SPGB 
Tương tự, ta có: SBGM = SMGC và SCGN = SNGA. 
Vì G là trọng tâm ABC AG = 2GM. 
 1
 SBGM = SABG SBGM = SAGP = SPGB. 
 2
Chứng minh tương tự, ta suy ra được: 
SAGP = SPGB = SBGM = SMGC = SCGN = SNGA 
 1
b) Sử dụng kết quả câu a) ta có diện tích mỗi tam giác bằng SABC, 
 6
từ đó suy ra ĐPCM. 
3. 
a) Kẻ đường cao AH.
 b
 BH = HC = . 
 2
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông AHB, tính được 
 4a2 b 2
 AH 
 2
 1
Vậy S b. 4 a2 b 2
 ABC 4
 a
b) Ta có: BK = KC =
 2 8. 
 1
 S HD. BC
 BHC 2
 1
và S AD. BC
 ABC 2
 S HD
 BHC (1) 
 SABC AD
Chứng minh tương tự, ta có: 
 S HE S HF
 AHC và AHB (2) 
 SABC BE SABC CF
 HD HE HF
Từ (1) và (2), suy ra được 1 (ĐPCM) 
 AD BE CF
9. Vẽ AH  BC, MK  BC
 1
 SSSS 
 MBC MAB MAC2 ABC
 1
 MK AH
 2
Vì M không nằm ngoài tam giác nên M nằm trên đoạn thẳng EF//BC 
 1
và cách BC một khoảng AH. 
 2
10. 
Vẽ MH  BC, BK  AC. 
SAMNB = 3SMNC
 SABC = 4SMNC 
 S AC 3
Ta có: ABC 
 SBMC MC 2
 S BC 6 S 9
 BMC ABC 
 SMNC NC NC SMNC NC
Mà SABC = 4SCMN NC = 2,25 
11. 
 1
Ta có: S AH. BC
 ABC 2
Mà AH AB 
 1
 S AB. BC 6. 
 ABC 2 Bài 8: Tính diện tích một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 26m, hiệu hai cạnh góc vuông bằng 
14m. 
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A, BC 15 cm , đường cao AH 10 cm . Tính đường cao ứng với 
cạnh bên. 
Bài 10: Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD, AB 10 cm, AC 15 cm . Tính diện tích 
hình vuông có đường chéo là AD. 
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB a , AC b , đường cao AH. Ở phía ngoài tam giác 
vẽ các hình vuông ABDE, ACFG, BCIK. 
a) Tính diện tích tam giác DBC.
b) Chứng minh rằng AK DC .
c) Đường thẳng AH cắt KI ở M. Tính diện tích các tứ giác BHMK,, CHMI BCIK .
Bài 12: Tam giác ABC có AB 10 cm ,AC 17cm,BC 21cm. 
a) Gọi AH là đường vuông góc kẻ từ A đến DC. Tính HC2 HB 2 và HC HB .
b) Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 13: Cho điểm M nằm trong ABC. Các tia AM,, BM CM lần lượt cắt cạnh đối diện tại 
 MD ME MF
 DEF,,. Chứng minh 1
 AD BE CF
 HƯỚNG DẪN 
Bài 1: Chu vi hình chữ nhật và chu vi hình tam giác cùng bằng 16m. 
Diện tích hình chữ nhật và diện tích hình tam giác cùng bằng 12m2 
Bài 2: EFGH là hình chữ nhật, có EF 8cm,EH 5cm.
 2
Diện tích hình chữ nhật EFGH bằng 40cm .
 1 1 1 2
Bài 3: a) ABCD là hình chữ nhật nên S .S = . AB . A D= .12.6,8 40,8cm .
 BCD 2ABCD 2 2 Bài 6: Kẻ DH BC.Ta có HBD ABD (cạnh huyền BD chung, góc nhọn BB1  2 )nên
DH AD 3 cm và BH AB.
Áp dụng định lý Py-ta-go vào DHCvuông, ta có 
HC2 DC2 DH 2 5 2 3 2 4 2 , nên HC 4 cm .Đặt
AB BH x.
Áp dụng định lý Py –ta-go vào ABCvuông, ta có BC2 AB 2 AC 2 nên
(x 4)2 x 2 8 2 x 6.
 1 1 2
Diện tích ABC bằng AB. AC 6.8 24cm .
 2 2
Bài 7: Gọi một kích thước của hình chữ nhật là x(m), kích thước kia là 50 x(m)
Diện tích hình chữ nhật bằng: 
S x(50 x ) x2 50 x ( x 25)2 625 625.
 2
Giá trị lớn nhất của S bằng 625 tại x 25.Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật bằng 625 m ,
khi đó hình chữ nhật là hình vuông có cạnh 25m. 
Bài 8: Gọi a, b là cách cạnh góc vuông. Ta có a b 14 và a2 b 2 26 2 676 1 
Từ a b 14 suy ra (a b )2 14 2 , tức là a2 b 2 2 ab 196 2 
Từ 1 và 2 suy ra 2ab 676 196 480.
 ab 480 2
Diện tích tam giác vuông bằng 120m .
 2 4
 A
Bài 9: Tam giác ABC cân tại A. Đường cao AH nên 
 K
 BH HC BC : 2 15: 2 7,5 cm 
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông AHC ta có 
 2 2 2 2 2 B C
 AC AH HC 10 7,5 H
 156.25 12,52 ; suy ra AC 12,5 cm. Bài 12: 
a) Đặt HC x, HB y . Ta có: A
 2 2 2 2 2 2 17
 x y AC AH AB AH 10
 y x
 AC2 AB 2 17 2 10 2 189 B C
 H 21
 x2 y 2 189
Do đó: x y 9 . 
 x y 21
b) Biết tổng x y và hiệu x y ta tính được y 6 cm , từ đó AH 8 cm .
 2
Đáp số: SABC 84 cm . 
 S MD
Bài 13: Ta có: BMD ( BMD và BAD có chung đường cao kẻ từ B)
 SBAD AD
 S MD
Và CMD ( CMD và CAD có chung đường cao kẻ từ C) 
 SCAD AD
 MD S SSSS 
Suy ra: BMD CMD BMD CMD MBC
 AD SBAD S CAD S BAD S CAD S ABC
 SSME MF
Chứng minh tương tự: MAC ; MAB 
 SBAC BE SCAB CF
 MD ME MF SSSS 
Suy ra: MBC MAC MAB ABC 1 (đpcm)
 AD BE CF SABC SABC