Chuyên đề Diện tích hình thoi Toán 8

 DIỆN TÍCH HÌNH THOI 
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích hai 
đường chéo. 
 1
 S ACB. D 
 2
 Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo hoặc bằng 
tích của một cạnh với chiều cao. 
 1
 S AC. B D= AD.BH 
 2
II.MỘT SỐ DẠNG BÀI 
Dạng 1: Tính diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc 
Bài 1: Cho hình thang cân ABCD(AB/ /CD) có AC BD , đường trung bình bằng d. Tính diện 
tích tứ giác có đỉnh là trung điểm các cạnh của hình thang cân đó. 
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AD 12cm;AB 18cm . Các đường phân giác các góc của 
hình chữ nhật cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH . 
a) Chứng minh rằng EFGH là hình vuông. 
b) Tính diện tích hình vuông EFGH . 
Dạng 2: Tính diện tích hình thoi 
Bài 3: Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 2cm và một trong các góc của nó bằng 300 . 
Bài 4: Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng a , góc tù bằng 1500 . 
Bài 5: Cho hình thoi ABCD . Gọi H, K là chân các đường vuông góc kẻ từ A đến CD, BC. Chứng 
minh rằng AHAK . 
Bài 6: Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 17cm, tổng hai đường chéo bằng 46cm. 
Bài 7: Cho hình thang cân ABCD(AB/ /CD) có E, N, G, M lần lượt là trung điểm của AB, BC, 
CD, DA. 
a) Tứ giác MENG là hình gì? 
 2
b) Cho SABCD 800m Tính SMENG ? 
Bài 8: Tùng làm một cái diều có thân là hình tứ giác ABCD. Cho biết AC là trung trực của BD và 
 AC 90cm , BD 60cm . Em hãy tính diện tích thân diều. HƯỚNG DẪN 
Bài 1 
 A B
Do AC BD,AC  BD nên ta chứng mình được 
 E
 EF FG GH HE và EF EH . Do đó EFGH 
là hình vuông. Đường chéo của hình vuông bằng d. H F
 1 2
Do đó, SEFGH d . 
 2 D G C
Bài 2 
 A I B
 E
 H F
 G
 D C
 0 0 K
a) ECD có ECD EDC 45 nên E 90 
 0
Tương tự: H G F 90 
 AHD BFC(gcg) nên HD = FC. Ta lại có ED = EC nên EH = EF. 
Hình chữ nhật EFGH có EH = EF nên là hình vuông. 
b) DIBK là hình bình hành, H và F là trung điểm của ID và BK nên HF = IB. 
Ta lại có IB AB AI AB AD 18 12 6(cm) 
 1 1
Hình vuông có hai đường chéo vuông góc nên S HF2 .6.6 18(cm) 2 
 EFGH 2 2
Bài 3 
 0
Hình thoi ABCD có AB 2cm,B 30 
Kẻ AH BC ta tính được AH 1cm 
 2
Đáp số: 2cm 
Bài 4 Bài 8 A
Chứng minh AC BD 
 D B
 1
 S AC.BD 2700cm 2 
 ABCD 2
 2700cm2
Vậy diện tích thân diều là . C
Bài 9 
Giả sử hình thoi ABCD và hình vuông MNPQ có cùng A
chu vi 4a, suy ra cạnh hình thoi và hình vuông là a. Kẻ 
 BH AD , ta có BH AB a 
 2
 SABCD BH.AB a S MNPQ D B
Vậy hình thoi và hình vuông có cùng chu vi thì hình H
vuông có diện tích lớn hơn. 
 C
Bài 10 
 2
Tương tự bài 9. Ta có SABCD AB 
 1
Mặt khác, S AC.BD 
 ABCD 2
 2
Từ đó suy ra AC.BD 2AB . 
III. PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 
Phiếu 1 
Bài 1: Cho hình thang ABCD AB // CD có AB 5 cm , CD 12 cm , BD 8 cm , AC 15 cm . 
a) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC và cắt CD ở E. Tính DBE . 
b) Tính diện tích hình thang ABCD. 
Bài 2: Một hình chữ nhật có hai cạnh kề dài 8m và 5m. Tính diện tích tứ giác có đỉnh là trung điểm 
các cạnh của hình chữ nhật. 
Bài 3: Tứ giác ABCD có AC BD . Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, 
DA. Biết EG 5 cm , HF 4 cm . Tính diện tích tứ giác EFGH . 
Bài 4: Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng a, góc tù của hình thoi bằng 1500. 
Bài 5: Tính diện tích hình thoi có chu vi bằng 52 cm, một đường chéo bằng 24 cm. 
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC . Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Qua I kẻ 
 IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N. Lấy D đối xứng I qua N. Bài 6: 
a) Chứng minh được ADCI là hình thoi. 
b) Gọi AI BN G G là trọng tâm ABC. 
Ta chứng minh được DK GI, lại có 
 DK GI 1
 DC AI . 
 DC AI 3
 2
c) SADCI 2S ACI S ABC 96cm . 
Bài 7: a) Kẻ BE//AC. Tứ giác ABEC là hình bình hành nên BE = AC = 15cm, CE = AB = 3 cm suy 
ra DE = DC + CE = 14 + 3 =17 (cm) 
Tam giác BDE vuông vì có: 
BD2 + BE2 = DE2 ( Vì 82 + 152 = 172) 
Nên BD BE . Ta lại có BE//AC nên 
b) Hình thang ABCD có hai đường chéo vuông góc nên 
 1 1
 S ACB. D .15.8 60(cm2 ) . 
 ABCD 2 2
Bài 8: Gọi độ dài hai đường chéo là 2x và 2y , ta có 2x 2 y 10 và x2 y 2 4 2 . 
 2
Suy ra 2xy x y – x2 y 2 5 2 16 9 
 1 2
Diện tích hình thoi bằng .2x.2y 2xy 9( cm ) 
 2
Bài 9: 
Gọi độ dài hai đường chéo là 2x và 2y , ta có 2x 2 y 48 xy 12 và 
 2
 2x 2 y 14 x y 7 x y 49 x2 y 2 2 xy x 2 y 2 49 24 25 
Từ đó suy ra Cạnh hình thoi bằng 5. a) Trong những hình thoi có chu vi bằng nhau, tìm hình thoi có diện tích lớn nhất. 
b) Trong các hình thoi có tổng hai đường chéo bằng 12cm, hình nào có diện tích lớn nhất. 
Bài 9: 
Cho hình thoi ABCD có AC 10 cm , BD 6 cm. Gọi EFGH,,, theo thứ tự lần lượt là trung điểm của
 AB,,, BC CD DA . 
a) Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao? 
b) Tính diện tích hình thoi ABCD . 
c) Tính diện tích tứ giác EFGH . 
Bài 10: 
Cho hình thoi ABCD có độ dài hai đường chéo là 10cm và 24cm. Tính: 
a) Diện tích hình thoi ABCD . 
b) Chu vi hình thoi ABCD . 
c) Độ dài đường cao hình thoi. 
 a) Chöùng minh tö ùgiaùc ABDC la øhình thoi.
 tö ùgiaùc ABDC la øhình bình haønh (AM=MD, MB=MC, AD BC M) 
 laïi co ùAM BC tö ùgiaùc ABDC la øhình thoi (dhnb)
 b) Chöùng minh tö ùgiaùc AMCE la øhình chöõ nhaät.
 Xeùt  ADE coù : MK la øñöôøng trung bình (MA = MD, KD = KE)
 1
 MK / / = AE (Ñònh lí) AE / / = MC (KM = KC)
 2
 tö ùgiaùc AECM la øhình bình haønh (dhnb)
 ma øAMC 900 ( AM  BC)
 hbh AECM la øhình chöõ nhaät (dhnb)
 c) chöùng minh I la øtrung ñieåm cuûa BE
 Xeùt  AIE va ø  MIBcoù :
 IAE IMB 900 ( AECM la øhcn)
 AE = BM (= MC)
 AEI IBM (2 goùc so le trong)
 AIE =  MIB(..) g c g
 IB IE (hai caïnh töông öùng)
 ma øI BE I la øtrung ñieåm cuûa BE.
 d) chöùng minh AK, EM, CI ñoàng qui.
Ta coù : AC EM N N la øtrung ñieåm cuûa AC (t / c)
 Xeùt  AMC coù :
 AK la øñöôøng trung tuyeán xuaát phaùt tö øñænh A 
 MN la øñöôøng trung tuyeán xuaát phaùt tö øñænh N
CI la øñöôøng trung tuyeán xuaát phaùt tö øñænh C
 AK, MN, CI ñoàng qui hay AK, ME, CI ñoàng qui (vì N ME)
Bài 4 1 1
 S AC. BD .2 AE .2 BD 2 AE . BD 
 ABCD 2 2
mà AE2 BD 2 AB 2 (Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam 
giác vuông AEB) 
 2
 AE BD 2 AE . BD AB2 
 2
 2AE . BD AE BD AB2 
 2
 46 2
 2AE . BD 17 240 
 2 
 2
Vậy SABCD 240 cm 
Bài 8 
a) Giả sử hình thoi ABCD và hình vuông MNPQ có cùng chu vi là 4a. Vậy cạnh của hình thoi 
và hình vuông là a. Kẻ BH AD , Ta có 
 BH AB a
 2 
 SABCD BH. AB a S MNPQ
Vậy hình thoi và hình vuông có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn hơn. Hay trong các 
hình thoi có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất. 
 1 1 (a b )2
b) Gọi hai đường chéo là a, b. Ta có a+b=12. S ab. 18 cm2 
 ABCD 2 2 4
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=6. Vậy trong các hình thoi có tổng độ dài hai đường chéo 
bằng 12 thì hình thoi có hai đường chéo bằng nhau bằng 6 thì diện tích lớn nhất. Hình thoi đó là 
hình vuông. 
Bài 9 
a) Tứ giác EFGH là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông) 
 1
b) S AC. BD 30 cm2 
 ABCD 2
 2
c) SEFGH EF. FG 15 cm 
Bài 10 
Xét hình thoi ABCD có AC = 24cm, BD=10cm và O là giao 
điểm của AC và BD. 
 1 1
 a) S AC . BD .24.10 120( cm2 ) 
 ABCD 2 2
b) Do O là giao điểm của AC và BD nên 
 1 1
OA AC12 cm ,OB BD 5 cm 
 2 2
Xét tam giác vuông AOB, ta có: 
 AB2 OA 2 OB 2 12 2 5 2 144 25 169
 AB 13( cm )
Chu vi hình thoi ABCD 
 AB BC CD DA4. AB 4.13 52( cm )