Chuyên đề dạy thêm Toán 6 (Sách mới) - Chuyên đề 2: Tính chia hết trong tập hợp số tự nhiên

 CHUYÊN ĐỀ 2. TÍNH CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
 ĐS6.CHỦ ĐỀ 2.4 – ƯỚC VÀ BỘI CỦA SỐ TỰ NHIÊN
 ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT – BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Ước và bội:
 ▪ Nếu có số tự nhiên a chia hết cho b thì ta nói a là bội của b, còn b là ước của a.
 ▪ Tập hợp ước của a là: Ư a , tập hợp các bội của b kí hiệu: B b .
Ví dụ: Ư 30 1;2;3;5;6;10;15;30
 B 2 0;2;4;6;8;...;2k;.....
2. Ước chung và ước chung lớn nhất
 ▪ Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.
 ▪ Số lớn nhất trong các ước chung của a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.
 ▪ Ta kí hiệu: tập hợp các ước chung của a và b là: ƯC a,b , 
 tập hợp các ước chung lớn nhất của a và b kí hiệu: ƯC LN a,b .
 Ví dụ:ƯC 30,48 1;2;3;6 , ƯCLN 30,48 6. 
 Chú ý: ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.
 ▪ Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.
 ▪ Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.
 ▪ Cách tìm ƯCLN:
 Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố
 Bước 2: Chọn ra các thừa số chung
 Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn. mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là 
 ƯCLN phải tìm.
3. Bội chung và bội chung nhỏ nhất
 ▪ Số tự nhiên n được gọi là bội chung của hai số a và b nếu n vừa là bội của a vừa là bội của b.
 ▪ Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của a và b được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b.
 ▪ Ta kí hiệu: tập hợp các bội chung của a và b là: BC a,b , 
 tập hợp các bội chung nhỏ nhất của a và b kí hiệu: BCNN a,b .
 Ví dụ:BC 4,5 0;20;40;60;... ,
 BCNN 4,5 20 .
 Chú ý: Bội chung của nhiều số là bội của bội chung nhỏ nhất của chúng.
 Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số 
đó.
 ▪ Cách tìm BCNN:
 Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố
 Bước 2: Chọn ra các thừa số chung và riêng
 Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn. mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là 
 BCNN phải tìm.
 ▪ Nhận xét:
 BCNN a,1 a
 BCNN a,b,1 BCNN a,b 
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
A. ƯỚC VÀ BỘI, ƯỚC CHUNG - BỘI CHUNG CỦA SỐ TỰ NHIÊN.
Dạng 1. Nhận biết một số là ước (bội) của một số cho trước.
I.Phương pháp giải.
 1 a) Ư 6 1;2;3;6 Ư 10 1;2;5;10
Ư 12 1;2;3;4;6;12 Ư 13 1;13
b) B 4 0;4;8;12;16;... B 7 0;7;14;21;28;...
B 8 0;8;16;24;32;... B 12 0;12;24;36;48;...
Bài 2. Tìm các số tự nhiên x sao cho 
a) x Ư 12 và 2 x 8 b) x B 5 và 20 x 36
c) xM5 và 13 x 78 d) 12Mx và x 4
Lời giải 
a) Ta có Ư 12 1;2;3;4;6;12 Vì x Ư 12 và 2 x 8 nên x 2;3;4;6
b) x B 5 và 20 x 36 Vì x B 5 nên x 0;5;10;15;20;25;30;35;40;...
Mặt khác 20 x 36 x 20;25;30;35
c) xM5 và 13 x 78Vì xM5 nên x B 5 do đó x 0;5;10;15;20;25;30;35;40;...
Mặt khác 13 x 78 x 15;20;25;30;35;40;45;50;55;60;65;70;75
d) 12Mx và x 4 Vì 12Mx nên x Ư 12 1;2;3;4;6;12 và x 4 nên x 6;12
Bài 3. Tìm tập hợp các số tự nhiên vừa là ước của 100vừa là bội của 25 .
Lời giải 
Gọi x là số tự nhiên cần tìm. Ta có Ư 100 1;2 ;4;5;10;20;25;50;100
Vì x B 25 nên xM25
 x 25;50;100
Dạng 3. Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện chia hết.
I.Phương pháp giải.
 Áp dụng tính chất chia hết của một tổng (hiệu) và định nghĩa ước của một số tự nhiên.
II.Bài toán.
Bài 1. Tìm số tự nhiên n sao cho:
a) 3Mn b) 3M(n 1)
c) (n 3)M(n 1) d) (2n 3)M(n 2)
Lời giải 
a) 3Mn n Ư 3 1 ;3
 3 Dạng 5: Bài toán có lời văn.
I.Phương pháp giải.
Bước 1: Phân tích đề bài, chuyển bài toán về tìm ước (bội), ước chung, (bội chung) của các số cho 
trước.
Bước 2: Áp dụng cách tìm ước (bội), ước chung, (bội chung) của các số cho trước.
II.Bài toán.
Bài 1.Có 20 viên bi. Bạn Minh muốn chia đều số viên bi vào các hộp. Tìm số hộp và số viên bi trong 
mỗi hộp? Biết không có hộp nào chứa 1hay 20 viên bi.
Lời giải 
Số hộp và số viên bi trong mỗi hộp phải là ước số của 20 . 
Ta có Ư 20 1;2 ;4;5;10;20  . 
Vì không có hộp nào chứa 1 hay 20 viên bi, nên số viên bi trong mỗi hộp chỉ có thể là 2 ;4;5;10 
tương ứng với số hộp là 10 ;5;4;2
Bài 2. Năm nay Bình 12 tuổi. Tuổi của mẹ Bình là bội số của tuổi Bình. Tìm tuổi của mẹ Bình biết 
tuổi của mẹ lớn hơn 30 và nhỏ hơn 45 .
Lời giải 
Gọi x là số tuổi của mẹ Bình x ;30 x 45 
Tuổi của mẹ Bình là bội số của tuổi Bình nên x B 12 
Mà 30 x 45 nên x 36 thỏa mãn đk. Vậy mẹ Bình 36 tuổi.
Bài 3. Học sinh lớp 6A nhận được phần thưởng của nhà trường và mỗi em nhận được phần thưởng như 
nhau. Cô hiệu trưởng đã chia hết 129quyển vở và 215 bút chì màu. Hỏi số học sinh lớp 6A là bao 
nhiêu?
Lời giải 
Ta thấy số phần thưởng phải là ƯC 129,215 
Có ƯC 129,215 1;43
Vì số học sinh lớp 6A không thể bằng 1 nên số học sinh lớp 6A bằng 43
Bài 4. Tính số học sinh của một trường biết rằng mỗi lần xếp hàng 4 , hàng 5 , hàng 6 , hàng 7 đều 
vừa đủ hàng và số học sinh của trường trong khoàng từ 415 đến 421 .
Lời giải 
Gọi x là số học sinh của trường. x ;415 x 421 
Vì mỗi lần xếp hàng 4 , hàng 5 , hàng 6 , hàng 7 đều vừa đủ hàng nên x chia hết cho 4;5;6;7 . 
Tức là x BC 4;5;6;7 0;420;840;... Mà 415 x 421 nên x 420
Vậy số học sinh của trường là 420 học sinh.
 5 Lấy 18 chia cho 12 ta được 18 1.12 6
 Lấy 12 chia cho 6 ta được 12 2.6 0
 Vậy ta được ƯCLN 174,18 6
b) Ta thực hiện theo các bước:
 Lấy 124 chia cho 16 ta được 124 7.16 12
 Lấy 16 chia cho 12 ta được 16 1.12 4
 Lấy 12 chia cho 4 ta được 12 3.4 0
 Vậy ta được ƯCLN 124,16 4
Dạng 2. Tìm các ước chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước.
I.Phương pháp giải.
 Bước 1. Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số cho trước.
 Bước 2. Tìm các ước của ƯCLN này.
 Bước 3. Chọn trong số đó các ước thỏa mãn điều kiện đã cho.
Lưu ý: nếu không có điều kiện gì của bài toán thì ước chung của hai hay nhiều số là ƯCLN của các số 
đó.
Cách tìm ước chung thông qua ƯCLN
 Bước 1. Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số cho trước.
 Bước 2. Tìm các ước của ƯCLN này.
II.Bài toán.
Bài 1. Tìm các ước chung của 24 và180 thông qua tìm ƯCLN
Lời giải 
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
 24 23.3 , 180 22.32.5
Từ đó ƯCLN 24,180 22.3 12
Mà Ư 12 1;2;3;4;6;12 . 
Vậy ƯC 24,180 1;2;3;4;6;12
Bài 2. Tìm số tự nhiên x thõa mãn 90Mx; 150Mx và 5 x 30 .
Lời giải 
Số tự nhiên x thõa mãn 90Mx; 150Mx nên x ƯCLN 90,150 
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
 90 2.32.5 , 150 2.3.52
 7 2x 1 1 3 5 15
 2y 1 15 5 3 1
 x 0 1 2 7
 y 8 3 2 1
 Vậy x; y 0;8 , 1;3 , 2;2 , 7;1 
Dạng 3. Bài toán có lời văn đưa về tìm ƯCLN
I.Phương pháp giải.
Bước 1: Phân tích đề bài; suy luận để đưa về việc tìm ƯCLN của hai hay nhiều số;
Bước 2: Áp dụng quy tắc 3 bước để tìm ƯCLN đó.
II.Bài toán.
Bài 1. Cô giáo chủ nhiệm muốn chia 24 quyển vở, 48 bút bi và 36 gói bánh thành một số phần thưởng 
như nhau để trao trong dịp sơ kết học kì. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng? Khi 
đó mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, bút bi và gói bánh.
Lời giải 
Gọi a là số phần thưởng để cô giáo chủ nhiệm trao trong dịp sơ kết học kì (a * ; a 24)
Để số phần thưởng là nhiều nhất thì a phải là số lớn nhất sao cho 24Ma; 48Ma;36Ma . 
Tức là a ƯCLN 24,48,36 . 
Ta có 24 23.3 , 48 24.3 , 36 22.32 .
Từ đó ƯCLN 24,48,36 22.3 12 a 12
Vậy có thể chia được nhiều nhất 12 phần thưởng. 
Trong đó có 2 quyển vở, 4 bút bi, 3 gói bánh.
Bài 2. Một hình chữ nhật có chiều dài 150m và chiều rộng 90m được chia thành các hình vuông có 
diện tích bằng nhau. Tính độ dài cạnh hình vuông lớn nhất trong cách chia trên ? (số đo cạnh là số tự 
nhiên với đơn vị là m)
Lời giải 
Để chia hình chữ nhật thành các hình vuông có diện tích bằng nhau thì độ dài mỗi cạnh hình vuông 
phải là ước chung của 150và 90
Do đó độ dài cạnh hình vuông lớn nhất là ƯCLN 90,150 30.
Vậy độ dài cạnh hình vuông lớn nhất là 30m
Dạng 4. Chứng minh hai hay nhiều số là các số nguyên tố cùng nhau.
I.Phương pháp giải.
Bước 1: Gọi d là ƯCLN của các số.
Bước 2: Dựa vào cách tìm ƯCLN và các tính chất chia hết của tổng (hiệu) để chứng minh d 1
II.Bài toán.
 9 C. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
Dạng 1. Tìm bội chung nhỏ nhất của các số cho trước
I.Phương pháp giải.
Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và các thừa số nguyên tố riêng
Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung và riêng, ta chọn lũy thừa với số mũ lớn nhất.
Bước 4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được BCNN cần tìm
II.Bài toán.
Bài 1. Tìm:
a) BCNN 15,18 c) BCNN 33,44,55 
b) BCNN 84,108 d) BCNN 8,18,30 
Lời giải
a) Ta có: 15 3.5 ; 18 2.32 . c) Ta có: 33 3.11; 44 4.11; 55 5.11
 BCNN 33,44,55 3.4.5.11 660
BCNN 15,18 2.32.5 90 .
b) Ta có: 84 22.3.7 ; 108 22.33 d) Ta có: 8 23 , 18 2.32 , 30 2.3.5 .
BCNN 84,108 22.33.7 756 BCNN 8,18,30 23.32.5 240 .
Bài 2. Tìm:
a) BCNN 10,12 c) BCNN 4,14,26 
b) BCNN 24,10 d) BCNN 6,8,10 
Lời giải
a) Ta có: 10 2.5; 12 22.3. c) Ta có: 4 22 ; 14 2.7 ; 26 2.13
BCNN 10,12 23.3.5 60 . BCNN 4,14,26 22.7.13 364
b) Ta có: 24 23.3 ; 10 2.5 d) Ta có: 6 2.3, 8 23 , 10 2.5.
BCNN 24,10 23.3.5 120 BCNN 6,8,10 23.3.5 120 .
Dạng 2. Tìm bội chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước
I.Phương pháp giải.
Bước 1. Tìm BCNN của các số đó
Bước 2. Tìm các bội của BCNN này
Bước 3. Chọn trong các số đó các bội thỏa mãn điều kiện đã cho
II.Bài toán.
Bài 1. Tìm các bội chung của 8 và 10 thông qua BCNN
Lời giải
 11