Chuyên đề dạy thêm - Học thêm Chuyên đề Bội và ước của một số nguyên Toán 6

 CHỦ ĐỀ 3.4.BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Với a,b Î Z và b ¹ 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = b.qthì ta ta có phép chia hết a : b = q (trong 
đó ta cũng gọi a là số bị chia, b là số chia, q là thương). Khi đó ta nói a chia hết cho b , kí hiệu là 
a Mb .
Khi a Mb ( a,b Î Z , b ¹ 0 ) ta còn gọia là bội của b và b là ướccủa a .
2. Nhận xét
- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
- Các số 1 và - 1 là ước của mọi số nguyên.
3. Tính chất
Có tất cả các tính chất như trong tập ¥ .
-Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a cũng chia hết cho c .
 aMb và bMc Þ aMc
- Nếu a chia hết cho b thì bội của a cũng chia hết cho b .
 aMb Þ kaMb (k Î ¢ )
- Nếu a , b chia hết cho c thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho c .
 aMc, bMc Þ a + b Mc; a - b Mc.
- Nếu a , b chia cho c cùng số dư thì a – b chia hết cho c .
Nhận xét:
- Nếu a chia hết cho b , b chia hết cho a thì a = ± b.
- Nếu a chia hết cho hai số m, n nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.n .
- Nếu an chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p .
- Nếu ab chia hết cho m và b, m nguyên tố chung nhau thì a chia hết cho m .
- Trong n số nguyên liên tiếp có đúng một số chia hết cho n .
II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1. Tìm bội và ước của số nguyên
I. Phương pháp giải
-Tập hợp các bội của số nguyên a có vô số phần tử và bằng {k .a | k Î Z}.
- Tập hợp các ước số của số nguyên a (a ¹ 0) luôn là hữu hạn.
Cách tìm:
 1 Lời giải 
Đáp án: A 
B. TỰ LUẬN
Bài 1.Tìm năm bội của: 3 ; -3.
Lời giải 
Cả 3 và -3 đều có chung các bội dạng 3.m ( m ¢ ), nghĩa là: 0 ; -3 ; 3 ; -6 ; 6 ; -9 ; 9 ;
Chẳng hạn, năm bội của 3 và – 3 là :3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15.
Bài 2. Tìm năm bội của 2 và -2.
Lời giải 
Muốn tìm một bội của 2, (-2) ta nhân 2, (-2) với một số nguyên nào đó. Chẳng hạn:
Năm bội của 2 là : 2 . 1 2; 2 . 1 -2; 2 . 2 4; 2. 2 - 4; 2 . 3 6.
Năm bội của -2 là : 2 ; 2 ; -4 ; 4 ; - 6 .
Tổng quát: Các bội của 2 và -2 có dạng là 2.q với q ¢ : 0 ; -2 ; 2 ; -4 ; 4 ; -6 ; 6 ; -8 ; 8 ; 
Bài 3. Tìm các bội của 7 ; 7.
Lời giải 
B 7 0; 7; 14; 21; 28; 
B 7 0; 7; 14; 21; 28; 
Bài 4. Tìm tất cả các ước của -2, 4, 13, 15, 1
Lời giải 
Các ước của -2 là : -1 , 1 ,-2 , 2.
Cấc ước của 4 là : -1 , 1 , -2 , 2 , -4 , 4.
Các ước của 13 là : -1 , 1 , -13 , 13
Các uớc của 15 là : -1 , 1 , -3 , 3 , -5 , 5 , -15 , 15.
Các ước của 1 là : -1 , 1.
Bài 5.Tìm tất cả các ước của - 3 ; 6 ; 11 ; -1.
Lời giải 
Kí hiệu U(a) là tập hợp các ước của số nguyên a , ta có:
U 3 1 ; 1 ; –3 ; 3 hoặc viết gọn là: U 3 1; 3 ;U 6 1; 2; 3; 6 ; 
U 11 1; 11 ; U -1 = ±1
Bài 6.Tìm tất cả các ước của 36.
Lời giải 
Phân tích 36 ra thừa số nguyên tố: 36 22.32 
Để tìm tất cả các ước của 36 không bị sót, bị trùng, ta có thể làm như sau:
 3 Bài 12. Tìm các chữ số a và b sao cho n a53b vừa là bội của 5, vừa là bội của 6 
Lời giải 
Ta có nM6 nên nM2
Số n a53b chia hết cho cả 2 và 5 nên b = 0 n a530
Ta có nM6 nên nM3 a 5 3 0 M3 hay a 8 M3 , do đó a 1; 4; 7
Vậy n 1530; 4530; 7530 cả 3 số này vừa là bội của 5, vừa là bội của 6
Bài 13.
a) Tìm năm bội của: – 5; 5;
b) Tìm các bội của – 12 , biết rằng chúng nằm trong khoảng từ – 100 đến 24.
Lời giải
a) Các bội số của 5; – 5 đều có dạng 5.k (k Î ¢ ).
Chẳng hạn chọn năm bội số của 5; – 5 là: – 15, – 10, – 5, 0, 5 ( ứng với k lần lượt bằng 
 - 3;- 2;- 1; 0; 1; 2 ).
b) Các bội số của –12 có dạng 12.k (k Î ¢ ). Cần tìm k sao cho: – 100 < 12k < 24.
Tức là: – 9 < k < 2, chọn k Î {- 8;- 7;- 6;- 5;- 4;- 3;- 2;- 1;0;1}.
Vậy các bội của – 12 nằm trong khoảng từ – 100 đến 24 là
 - 96,- 84,- 72,- 60,- 48,- 36,- 24,- 12,0,12.
Bài 14. Tìm tất cả các ước của:
a) – 3 ; b) – 25 ; c) 12.
Lời giải
a) Các ước tự nhiên của 3 là 1, 3.Do đó các ước của – 3 là - 3,- 1, 1, 3.
b) Các ước tự nhiên của 25 là 1, 5, 25.Do đó các ước của 25 là - 25,- 5,- 1, 1, 5, 25.
c) Các ước tự nhiên của 12 là 1, 2, 3, 4, 6, 12.Do đó các ước của 12 là 
- 12,- 6,- 4,- 3,- 2,- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Nhận xét:
Số tự nhiên a phân tích ra thừa số nguyên tố có dạng pn .qm .r k (p, q, r là số nguyên tố) thì số ước tự 
nhiên của a là (n + 1)(m + 1)(k + 1). Khi đó mỗi số nguyên a, – a đều có 2(n + 1)(m + 1)(k + 1) 
ước nguyên.
Số nguyên tố p có 4 ước nguyên là - p,- 1, 1, p.
Bài 15. Tìm số nguyên n để:
a) 5 . n chia hết cho – 2 ; b) 8 chia hết cho n ;
c) 9 chia hết cho n + 1; d) n – 18 chia hết cho 17.
Lời giải a) UCLN(12; 16) = 4 suy ra UC(– 12; 16) = {– 4; – 2; – 1; 2; 4}
b) UCLN(15; 18; 20) = 1 suy ra UC(15; – 18; – 20) = {– 1; 1}
Bài 4. Tìm số nguyên n để:
a) 7 . n chia hết cho 3; b) – 22 chia hết cho n ;
c) – 16 chia hết cho n – 1 ; d) n + 19chia hết cho 18.
HD
a) 7n M3 mà (7; 3) = 1 nên n M3 do đó n = 3k (k Î ¢)
b) - 22 Mn nên n Î { - 22; - 11; - 2; - 1; 1; 2; 11; 22}
c) - 16 M(n - 1) nên (n - 1) Î { - 16; - 8; - 4; - 2; - 1; 1; 2; 4; 8; 16}
Vậy n Î { - 15; - 7; - 3; - 1; 0; 2; 3; 5; 9; 17}
d) (n + 19) M18 nên (n + 1) M18 suy ra n = 18k - 1 (k Î ¢)
Bài 5. Tìm tập hợp BC(15; – 12; – 30).
HD
BCNN(15; 20; 30) = 60
Suy ra BC(15; – 20; – 30) = B(60) = 60k (k Î ¢)
Bài 6. Cho hai tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} và B = {- 2;- 4;- 6}.
a) Viết tập hợp gồm các phần tử có dạng a . b với a Î A, b Î B.
b) Trong các tích trên có bao nhiêu tích chia hết cho 5?
HD
a) C = { ab | a Î A; b Î B} = { - 2; - 4; - 6; - 8; - 10; - 12; - 16; - 18; - 20; - 24; - 30}
( Chú ý: Các phần tử trong tập hợp phải khác nhau đôi một)
b) Trong các tích trên có 3 tích chia hết cho 5 ứng với a = 5 và b Î B
Dạng 2. Vận dụng tính chất chia hết của số nguyên
I. Phương pháp giải
Để chứng minh một biểu thức A chia hết cho số nguyên a;
- Nếu A có dạng tích m .n .p thì cần chỉ ra m (hoặc n, hoặc p) chia hết cho a. Hoặc m chia hết cho 
a1, n chia hết cho a2 , p chia hết cho a3 trong đó a = a1a2a3.
- Nếu A có dạng tổng m + n + p thì cần chỉ ra m, n, p cùng chia hết cho a, hoặc tổng các số dư khi 
chia m, n, p cho a phải chia hết cho a. Do x (x + 1)M(x + 1), nên x 2 + 7M(x + 1) khi và chỉ khi 8M(x + 1).
Suy ra x + 1 Î {- 8;- 4;- 2;- 1; 1; 2; 4; 8}.
Vậy x Î {- 9; - 5; - 3; - 2; 0; 1; 3; 7}.
III. Bài tập có hướng dẫn
Bài 1. Chứng minh rằng: S = 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 chia hết cho (- 39).
HD
S = 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39
= (3 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36) + (37 + 38 + 39)
= 39 + 33.39 + 36.39 = 39.(1 + 33 + 36)M39
Suy ra SM39 nên SM(- 39)
Bài 2. Cho số a = 11...11 (gồm 20 chữ số 1). Hỏi số a có chia hết cho 111 không?
HD
Nhận thấy:a = 111.1017 + 111.1014 + 111.1011 + 111.108 + 111.105 + 111.102 + 11
=111.(1017 + 1014 + 1011 + 108 + 105 + 102) + 11
Suy ra a là tổng của hai số hạng trong đó có 1 số chia hết cho 111, 1 số không chia hết cho 111 nên a
không chia hết cho 111.
Vậy a không chia hết cho 111.
Bài 3. Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng 5a + 2b chia hết cho 17 khi và chỉ khi 
9a + 7b chia hết cho 17.
HD
Xét hiệu 5.(9a + 7b) - 9.(5a + 2b) = 17b
Nhận thấy 17b M17 nên:
Nếu 9a + 7bM17 thì 9.(5a + 2b) M17 , mà (9; 17) = 1 nên 5a + 2b M17
Nếu 5a + 2b M17 thì 5.(9a + 7b) M17 , mà (5; 17) = 1 nên (9a + 7b) M17
Bài 4. Tìm số nguyên x sao cho:
a) 2x – 5 chia hết cho x – 1; b) x + 2là ước số của x 2 + 8.
HD
a) 2x - 5 = 2(x - 1) - 3 nên (2x - 5)M(x - 1) Û 3M(x - 1) do đó (x - 1)Î { - 3;- 1; 1; 3}
Vậy x - 1 Î { - 2; 0; 2; 4} II. Bài toán.
Bài 1.Tìm các số tự nhiên x sao cho 10M x- 1 
Lời giải 
Ta có 10M x- 1 khi đó x- 1 là ước của 10
U 10 = ±1; ± 2; ± 5; ± 10.
Ta có bảng sau:
Suy ra x 0; 2; 3; 6; 11 ( x ¥ )
Bài 2.Tìm x ¢ sao cho :
a) 3x + 2 chia hết cho x – 1 ; b) x2 + 2x – 7 chia hết cho x + 2 .
Lời giải 
a) Ta có: 3x + 2 = 3x – 3 + 5 = 3 x -1 + 5 .
Ta có: 3 x – 1 chia hết cho x – 1 . 
Do đó 3x + 2 chia hết cho x – 1 khi 5 chia hết cho x – 1 , tức là x – 1 là ước của 5. 
Ước của 5 gồm các số ±1, ± 5 . 
Ta có bảng sau:
Suy ra x -4; 0 ; 2 ; 6.
b) x2 + 2x – 7 = x(x + 2) - 7
Ta có: x x + 2 chia hết cho x + 2
Do đó x x + 2 - 7 chia hết cho x + 2 khi 7 chia hết cho x + 2
Do đó x + 2 là ước của 7.
Ước của 7 gồm các số ±1, ± 7 . 
Ta có bảng sau:
Suy ra: x -9; -3 ; - 1 ; 5 .
Bài 3.Tìm các số nguyên x thoả mãn: Lời giải 
Ta có: n + 5 chia hết cho n - 2
 n + 5 = n - 2 + 7 chia hết cho n - 2
Mà n - 2 chia hết cho n - 2
⇒ 7 chia hết cho n - 2
n - 2 thuộc ước của 7
mà U 7 = -7; -1; 1; 7
n - 2 = -7 n = -5
n - 2 = -1 n = 1
n - 2 = 1 n = 3
n - 2 = 7 n = 9
Vậy n -5; 1; 3; 9
Bài 7.Tìm số nguyên dương n sao cho 2n là bội của n -1 .
Lời giải 
2n là bội của n -1 2nM n - 1 
 2n = 2 n - 1 + 2 M n - 1 
Mà n - 1 M n - 1 . Do đó 2M n - 1 
 n - 1 U 2 
U 2 = 1, 2
Mà n - 1 0 nên n - 1 1; 2
 n 2; 3
Bài 8. Có hai số nguyên a , b khác nhau mà chia hết cho b và b chia hết cho a không ?
Lời giải 
a chia hết cho b a = bq1 (q1 ¢,b 0)
b chia hết cho a b = aq2 (q1 ¢,a 0)
 a=bq1 =(aq2 )q1 =a(q2q1) q2q1 =1
 q2 = q1 1 hoặc q2 = q1 1
Vì a b nên q2 = q1 1. Do đó: a = b(-1) = -b
Vậy mọi cặp số nguyên đối nhau và khác 0 đều có tính chất a chia hết cho (-a ) và (-a ) chia hết cho 
a và chỉ những cặp số đó.
Bài 9. Cho hai tập hợp số: A = 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6, B = 21 ; 22 ; 23.
a) Có thể lập được bao nhiêu tổng dạng a + b với a A, b B?
b) Trong các tổng trên có bao nhiêu tổng chia hết cho 2 ?
Lời giải 
Giải
a) Ta lập bảng cộng sau :