Chuyên đề Dãy số - Đại số Lớp 11

 CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ 
 A LÝ THUYẾT. 
1. Định nghĩa 
a) Dãy số vô hạn 
 * 
Mỗi hàm số un xác định trên tập số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy 
 u : * 
 số). Kí hiệu: . 
 n u n 
Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u1, u 2 , u 3 , ., un , Trong đó un u n là số hạng thứ 
 n và gọi nó là số hạng tổng quát, u1 là số hạng đầu của dãy số un . 
b) Dãy số hữu hạn 
 *
Mỗi hàm số un xác định trên tập Mm 1, 2, 3,..., , với m được gọi là một dãy số hữu hạn. 
Dạng khai triển của nó là: u1, u 2 , u 3 , ., um , trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối. 
2. Cách cho một dãy số 
a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát 
 *
 Khi đó un f n , trong đó f là một hàm số xác định trên . Đây là cách khá thông dụng 
(giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cũng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể 
tính ngay được un . 
b) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả 
 Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, 
thường thì không tìm ngay được un với n tuỳ ý. 
c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp) 
+) Cho số hạng thứ nhất (hoặc một vài số hạng đầu). 
+) Với n 2, cho một công thức tính un nếu biết un 1 (hoặc một vài số hạng đứng trước đó). 
 ua1 u12 a, u b
Chẳng hạn, các công thức có thể là: hoặc . 
 unn f u 1 ,2 n un f u n 12, u n , n 3
3) Dãy số tăng, dãy số giảm 
 *
+ Dãy số un được gọi là dãy số tăng nếu unn 1 u,  n 
 *
+ Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu unn 1 u,  n 
*Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số un : 
4. Dãy số bị chặn 
 *
+) Dãy số un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho: un M,  n . 
 *
+) Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho: un m,  n . 
1 | Ví dụ 3 
 Cho dãy số với . Chứng minh rằng . 
 Lời giải 
 2 10 1 2 ... 10 55
Ta có: u1. u 2 ..... u 10 3.3 .....3 3 3 u55 . 
 Ví dụ 4 
 Cho dãy số với . Hỏi dãy số có bao nhiêu số hạng là số nguyên? 
 Lời giải 
 5
Ta có: u 2 . 
 n n 2
 5
u là số nguyên khi là số nguyên. 
 n n 2
 n 3
 n 21 
 n 1
Khi đó . 
 n 25 n 7
 n 3
Vì n * nên có 3 giá trị của n thỏa mãn. 
Vậy dãy số có số hạng là số nguyên. 
 Ví dụ 5 
 Cho dãy số có số hạng tổng quát Tính . 
 Lời giải 
 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1
Ta có: u ... 1 ... 
 n 
 2 1.3 3.5 2nn 1 . 2 1 2 3 3 5 2nn 1 2 1
 11 n
un 1 . 
 2 2n 1 21n 
 2019
Vậy u . 
 2019 4039
3 | Ví dụ 9 
 Cho dãy số : . Hãy chỉ ra một hệ thức truy hồi xác định dãy số đã cho. 
 Lời giải 
+ Ta có u1 3, u2 1, u3 1, u4 3 , u5 5, 
+ Ta có uu21 2, uu32 2 , uu43 2 , uu54 2 , 
 u1 3
+ Ta có hệ thức truy hồi xác định dãy số đã cho là: với n 1 
 uunn 1 2
 Ví dụ 10 
 Cho dãy số : . Hỏi dãy số đã cho có bao nhiêu số hạng nhỏ hơn . 
 Lời giải 
+ Ta có u1 1, u 2 1, u 3 2, u 4 3, u 5 5, u 6 8, nên hệ thức truy hồi xác định dãy số đã cho là: 
 uu12 1, 1
 với n 2 . 
 un 11 u n u n
+ Khi đó ta có u7 13, u 8 21, u 9 34, u 10 55 50. 
+ Ta thấy dãy số trên tăng dần, nên có tất cả 9 số hạng của dãy nhỏ hơn 50. 
 Ví dụ 11 
 Cho dãy số xác định bởi với . Tính giá trị biểu thức 
 . 
 Lời giải 
+ Ta có u1 2 
 uu21 2.2 
 uu32 2.3 
 ...................................................... 
 unn 12 u 2. n 1 
 unn u 1 2. n . 
 n 1
+ Cộng hai vế của tất cả các đẳng thức trên ta được u 2223... n 22. n 2 
 n 2
 2 n22 n 2 n n n n 1 . 
5 | Nếu unn 1 u 0,  n * thì un là dãy số giảm. 
 un 1
Cách 2: Khi unn 0,  * thì có thể so sánh với 1. 
 un
 u
 Nếu n 1 1, n * thì là dãy số tăng; 
 un
 u
 Nếu n 1 1, n * thì là dãy số giảm. 
 un
Cách 3: Nếu dãy số được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể dự đoán và sử dụng 
 phương pháp chứng minh quy nạp để chỉ ra uunn 1 (hoặc uunn 1 ). 
2. Các ví dụ. 
 Ví dụ 1 
 Chứng minh dãy số là dãy số tăng, biết: 
 Lời giải 
Ta có: u2n u u 2 n1 2 n 2 n 0 nên dãy số ()u là dãy số tăng. 
 n n1 n n 
 Ví dụ 2 
 Chứng minh dãy số là dãy số tăng, biết: 
 Lời giải 
 n221 1 1 1 n n 1
 Ta có: u n u u 10 nên dãy đã cho 
 nn n n1 n n1 n nn 1
 tăng. 
 Ví dụ 3 
 Chứng minh dãy số là dãy số tăng, biết: 
 Lời giải 
Ta có: 
 2121273274n n n22 n n n 7
u u0; n N * 
 nn1 nn43 n4 n 3 n 4 n 3
Vậy: un là dãy số tăng. 
 Ví dụ 4 
 Chứng minh dãy số là dãy số giảm, biết: 
 Lời giải 
7 | n 12
b) u 1 
 n nn 11
 2 2 1 1 1
Ta có unn 1 u1 1  0 n * 
 n 2 n 1 n 1 n 2 ( n 1)( n 2)
Vậy là dãy số tăng. 
 nn
c) un ( 1) 2 1 
Ta có u1 3, u 2 5, u 3 9 , từ đó suy ra dãy số un là dãy không tăng không giảm. 
 3n
d) u . Dễ thấy u 0,  n N 
 n 2n 1 n
 nn 2
 un 3 2 2
Xét tỉ số: nn 11. 1. uunn 1 . 
 un 1 2 3 3
Vậy un là một dãy số tăng. 
 Ví dụ 8 
 Xét tính tăng giảm của dãy số biết . 
 Lời giải 
 4nn22 4 1
 2 1
Ta có: un 2 n 4 n 1 
 2n 4 n22 1 2 n 4 n 1
 2
Ta có:  n * thì 2 n 1 4 n 1 1 2 n 4 n2 1 
 11
 2 nn 1 4 1 22 1 2nn 4 1
 unn 1 u 0,  n N * . 
Vậy un là một dãy số giảm. 
 Ví dụ 9 
 Cho hai dãy số với và với . Xét tính tăng giảm của 
 dãy số và . 
 Lời giải 
 n 1! 
a) Nhận xét: xx 0,  * . 
 n 2n
 xn 1 n 2
Ta có: 1, nx * n là dãy số tăng. 
 xn 2
 22
b) Ta có: yn 1 y n 1 sin n 1 sin n 2 0,  n * y n là dãy số tăng. 
9 | 4
Nên: u tăng unn 1 u 0;  n N * 4 5 a 0 a . 
 n 5
 Tác giả: Nguyễn Huệ; Fb: Nguyễn Huệ 
 Tác giả: Trường Sơn; Fb: Trường Sơn 
III. DẠNG 3: TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ 
1. Phương pháp. 
Để xét tính bị chặn của dãy số un ta có thể sử dụng các cách sau: 
Cách 1: Chứng minh dãy số là dãy tăng. Khi đó dãy số bị chặn dưới bởi u1 
 Chứng minh dãy số là dãy giảm. Khi đó dãy số bị chặn trên bởi 
Cách 2: Dự đoán dãy số bị chặn dưới bởi m , bị chặn trên bởi M . Bằng qui nạp chứng minh dự 
 đoán trên là đúng. 
2. Các ví dụ. 
 Ví dụ 1 
 Xét tính bị chặn của dãy số , biết: 
 ()un
 Lời giải 
 n 1 11
Ta có: u 1 sin sin 1 nên dãy số là dãy bị chặn. 
 n nn 
 Ví dụ 2 
 Chứng tỏ dãy số : bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên. 
 Lời giải 
 n2 11
Ta có : unn 2 .Do đó ()un bị chặn dưới bởi 2. 
 nn 
Khi n càng lớn thì un càng lớn. Do đó không bị chặn trên. 
 Ví dụ 3 
 Xét tính bị chặn của dãy số : 
 Lời giải 
 2121273274n n n22 n n n 7
Ta có: u u 0;  n N * 
 nn 1 n 4 n 3 n 4 n 3 n 4 n 3 
Vậy: un là dãy số tăng. 
 2nn 1 2( 3) 7 7
Ta có u 22 , 
 n n 3 n 3 n 3
11 |