Chuyên đề Dấu của tam thức bậc hai và ứng dụng Đại số Lớp 10

 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG 
 I. Dấu của biểu thức 
 1. Dấu của tam thức bậc 2: f x ax2 bx c, a 0 
 Tính b2 4 ac 
 TH1: 0 thì f x luôn cùng dấu với a, x 
 x 
 f x Cùng dấu với a 
 b
 TH2: 0 thì f x 0 có nghiệm kép x 
 2a
 b 
 và f x luôn cùng dấu với a, x \  
 2a 
 b
 x 2a
 f x cùng dấu với a 0 cùng dấu với a 
 TH3: 0 thì f x 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 (giả sử x1 x 2 ) 
 x x1 x2 
 f x cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a 
Ví dụ: Xét dấu của f x 
 1) f x 2 x2 3 x 4 
 2) f x 4 x2 4 x 1 
 3) f x 2 x2 5 x 2 
 Hướng dẫn giải: 
1) f x 2 x2 3 x 4 
 2
 3 4.2.4 23 0 
 Ta có:  f x 0,  x 
 a 2 0  
2) f x 4 x2 4 x 1 
 1
 f x 0 4 x2 4 x 1 0 x (nghiệm kép) 
 2
 1
 x 2
 f x + 0 + 
 1 
Vậy f x 0 x \  
 2 
3) f x 2 x2 5 x 2 
 1
 f x 0 2 x2 5 x 2 0 x 2  x 
 2
 1 
 x 1 4
 0 1 
 2 3
 3x2 4 x + + 0 - - 0 + 
 2x2 x 1 + 0 - - 0 + + 
 f x + 0 - 0 + 0 - 0 + 
 1 4 
Vậy f x 0 x ;  0;1  ; 
 2 3 
 1 4 
 f x 0 x ;0  1; 
 2 3 
 3x2 x 1 2 x 
Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức f x 
 4x2 x 3
 Hướng dẫn giải: 
 1
 3x2 x 0 x 0  x 
 3
 1
 1 2x 0 x 
 2
 3
 4x2 x 3 0 x 1  x 
 4
 1 1 3
 -1 0 
 x 3 2 4
 3x2 x + + 0 - 0 + + + 
 1 2x + + + + 0 - - 
 4x2 x 3 - 0 + + + + 0 - 
 f x - + 0 - 0 + 0 - + 
 1 1 3 
Vậy f x 0 x 1;0  ;  ; 
 3 2 4 
 1 1 3 
 f x 0 x ; 1  0;  ; 
 3 2 4 
 x2 6 x 9
Ví dụ 3: Xét dấu biểu thức f x 
 4x2 x 1 x 2 4 
 Hướng dẫn giải: 
 x2 6 x 9 0 x 3 (nghiệm kép) 
 4x2 x 1 0 : phương trình vô nghiệm 
 x2 4 0 x 2  x 2 
 3 
 Hướng dẫn giải: 
 x2 9 x 14
Đặt f x 
 x2 5 x 4
 x2 9 x 14 0 x 2  x 7 
 x2 5 x 4 0 x 1  x 4 
Bảng xét dấu: 
 x 1 2 4 7 
 x2 9 x 14 + + 0 - - 0 + 
 x2 5 x 4 + 0 - - 0 + + 
 f x + - 0 + - 0 + 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S ;1  2;4  7; 
 2x 5 1
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 
 x2 6 x 7 x 3
 Hướng dẫn giải: 
 2x 5 1 2 x 5 1
Ta có: 0
 x2 6 x 7x 3 x 2 6 x 7 x 3 
 2
 2x 5 x 3 x 6 x 7 x2 5 x 22
 0 0
 x2 6 x 7 x 3 x 2 6 x 7 x 3 
 x2 5 x 22
 f x 
Đặt x2 6 x 7 x 3 
 x2 5 x 22 0: phương trình vô nghiệm 
 x2 6 x 7 0 x 1  x 7 
 x 3 0 x 3 
Bảng xét dấu: 
 x -1 3 7 
 x2 5 x 22 + + + + 
 x2 6 x 7 + 0 - - 0 + 
 x 3 - - 0 + + 
 f x - + - + 
Vậy tập nghiệm của phương trình: S 1  3;7 
 2
 x 2 x 3 0 (1)
Ví dụ 4: Giải hệ bất phương trình: 
 2
 x 11 x 28 0 (2)
 Hướng dẫn giải: 
Giải bất phương trình (1) 
 5 
 7
 x 5
 f x - 0 + 
 7 
 f x 0,  x ; không thỏa (*) nên ta loại m 4 
 5 
TH2: m 4 0 
 a 0
 f x 0,  x 
 0
 m 4 0
 2 
 m 1 4 m 4 2 m 1 0
 m 4
 2
 7m 38 m 15 0
 m 4
 3
 3 m 
 m  m 5 7
 7
 3
Vậy m thì f x luôn âm. 
 7
 Bài toán có thể hỏi dưới dạng: bất phương trình nghiệm đúng với mọi x, bất phương trình vô 
 nghiệm, hàm số xác định trên R  
 Bất phương trình f x 0 nghiệm đúng x f x 0,  x 
 Bất phương trình f x 0 vô nghiệm f x 0,  x 
 Hàm số y f x có tập xác định là R f x 0,  x 
Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình: m 1 x2 2 m 1 x 3 m 3 0 nghiệm đúng x 
 Hướng dẫn giải: 
Đặt f x m 1 x2 2 m 1 x 3 m 3 
 f x 0 nghiệm đúng x f x 0,  x (*) 
TH1: m 1 0 m 1 f x 4 x 6 
 3
 x 2
 f x - 0 + 
 3 
 f x 0,  x ; không thỏa (*) nên ta loại m 1 
 2 
TH2: m 1 0 
 a 0
 f x 0,  x 
 ' 0
 7 
 0
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 
 P 0
 0
 Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt S 0 
 P 0
 0
 Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt S 0 
 P 0
 a 0
 b 0
 a 0
 Phương trình có nghiệm (khi làm toán ta nên xét 2 trường hợp a 0 và a 0 ) 
 b c 0
 a 0
 0
 a 0
 b 0
 Phương trình vô nghiệm c 0 (khi làm toán ta nên xét 2 trường hợp a 0 và a 0 ) 
 a 0
 0
 b c
 Trong đó: SP ; 
 a a
 Chú ý: Ta có thể thay bằng ' 
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: x2 2 m 1 x 9 m 5 0 có 2 nghiệm âm phân biệt 
 Hướng dẫn giải: 
 2
 ' 0 m 1 1. 9 m 5 0
Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt S 0 2 m 1 0 
 P 0 9m 5 0
 m2 7 m 6 0 m 1  m 6
 m 1 0 m 1 
 9m 5 0 5
 m 
 9
 5
 m 1  m 6 
 9
 9