Chuyên đề Dấu của tam thức bậc hai - Đại số 10

ĐẠI SỐ 10. CHƯƠNG IV. 
BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
 BÀI 5. DẤU TAM THỨC BẬC HAI 
 I KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. TAM THỨC BẬC HAI 
Định nghĩa: Tam thức bậc hai ( đối với x ) là biểu thức có dạng f() x ax2 bx c , trong đó 
abc,, là những số thực cho trước với a 0. 
2. ĐỊNH LÝ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI: 
Cho tam thức bậc hai f() x ax2 bx c ( ) 
+ 0 a . f ( x ) 0 ,  xR. 
 b
+ 0 a . f ( x ) 0 , x . Tức a. f ( x ) 0 ,  xR. 
 2a
+ 0: Gọi x1, x 2 x 1 x 2 là các nghiệm của fx() ta có a. f x 0,  x x12 ; x và 
a. f x 0,  x ; x12  x ; . 
Nhận xét: 
 a 0
+ f( x ) 0,  x R . 
 0
 a 0
+ f( x ) 0,  x R . 
 0
 a 0
+ f( x ) 0,  x R . 
 0
 a 0
+ f( x ) 0,  x R . 
 0
 II CÁC DẠNG BÀI TẬP 
 = 
1. DẠNG 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC 
 Tác giả: Đặng Thanh; Fb: Đặng Thanh 
a. Phương pháp 
+ Nếu biểu thức fx là tam thức bậc hai thì ta sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai để xét 
dấu của biểu thức đó. 
+ Nếu biểu thức fx là tích, thương các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai thì ta thực hiện theo 
các bước sau: 
Bước 1: Tìm những giá trị của x mà fx 0 hoặc fx không xác định. 
Bước 2: Lập bảng xét dấu của fx . 
Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu và kết luận. 
b. Một số ví dụ 
 5
Vậy: fx 0 khi x ;1 . 
 3
 5
 fx 0 khi x ; hoặc x 1; . 
 3
 5
 fx 0 khi x ; x 1. 
 3
 Ví dụ 3 
 Lập bảng xét dấu của các biểu thức sau: 
 a. b. 
 Lời giải 
a. f x 3 x 5 x22 4 2 x x 3 
 5
Ta có: 3xx 5 0 
 3
 xx2 4 0 2 
 x 1
 2
 2xx 3 0 3 
 x 
 2
Bảng xét dấu: 
 3xx2 2 5
b. fx 
 xx 42 2 
 x 1
Ta có: 3xx2 2 5 0 5 
 x 
 3
 xx 4 2 0 4 
 2 xx 0 2 
Vậy: gx 0 khi x 1;3  7; . 
 gx 0 khi x ; 1  3;7 . 
 gx không xác định khi x 1; x 3; x 7 . 
 Ví dụ 5 
 Xét dấu của các biểu thức sau: 
 x 5 xx32 32
 a. b. 
 x32 33 x x x4 2 x 3 4 x 2 2 x 3
 Lời giải 
 xx 55 
a. Đặt Fx 
 x32 33 x x xx 31 2 
Ta có: xx 5 0 5 
 xx 3 0 3 
 xx2 11 
Bảng xét dấu: 
Vậy: Fx 0 khi x 5; 1  1;3 . 
 Fx 0 khi x ; 5  1;1  3; . 
 Fx 0 khi x 5. 
 Fx không xác định khi x 1 ; x 3. 
 x22 2 x 2 x 2 x 2
b. Đặt Gx 
 x4 2 x 3 4 x 2 2 x 3 x 1 2 x2 4 x 3 
Ta có: x2 2 x 2 0 x 1 3 
 f( x ) 0,  x ( ;1)  (5; ) và f( x ) 0,  x (1;5) . 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: ;1  5; . 
   
c. Tam thức f( x ) 2 x2 7 x 9 có 23 0, hệ số a 20 nên ta có f( x ) 0,  x . 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là . 
d. Tam thức f( x ) x2 6 x 9 có 0, hệ số a 10 nên ta có f( x ) 0,  x \ 3 và 
 f( x ) 0 x 3 . 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 3 .
  
 Ví dụ 7 
 Giải các hệ bất phương trình sau : a. b. 
 Lời giải 
 2
a. Giải bất phương trình 7xx 3 5 0 ta được tập nghiệm T1 . 
 2
Giải bất phương trình 24 2xx 0 ta được tập nghiệm T2 ; 6  4; . 
Vậy tập nghiệm của hệ đã cho là TTT 12  ; 6  4; . 
 2 1
b. Giải bất phương trình 2xx 3 1 0 ta được tập nghiệm T1 ;  1; . 
 2 
Giải bất phương trình xx2 60ta được tập nghiệm T 3;2 . 
 2 
 1
Vậy tập nghiệm của hệ đã cho là TTT 12  3;  1;2 . 
 2 
 Ví dụ 8 
 Giải các bất phương trình sau : a. b. 
 Lời giải 
 11 x 
 2 11 x 
 42 01 x 
a. Ta có xx 5 4 0 x 2 x 2 . 
 2 
 x 4 
 x 2 x 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ; 2  1;1  2; .
 2
b. Ta có x4 4 x 3 x 2 6 x 2 0 x22 2 x 3 x 2 x 2 0 1 xx2 2 2
 x 12
 2
 xx 2 1 0 1 3 x 1 2
 2 x 12 
 xx 2 2 0 1 2 x 1 3
 1 3 x 1 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 1 3 ;1 2  1 2 ;1 3 .
Bước 4: Từ bảng xét dấu đưa ra kết luận. 
b. Một số ví dụ 
 Ví dụ 11 
 Giải các bất phuơng trình sau: 
 a. b. 
 Lời giải 
a. Đặt f( x ) x22 3 x 2 x 7 x 12 
 x 1
 xx2 3 2 0 x 2
Ta có fx( ) 0 . 
 2
 xx 7 12 0 x 3
 x 4
Do đó ta có bảng xét dấu : 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ;1  2;3  4; . 
 2xx 1 2 
b. Đặt fx() 
 xx2 43
 1
 2x 1 0 x 
Ta có fx( ) 0 2 
 20 x 
 x 2
 fx() không xác định khi xx2 4 3 0 xx 1; 3 
 Do đó ta có bảng xét dấu : 
 1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ;1  2;3 
 2
 xx 2 2 2  2 2 2 2 10 x 2 2 2
 . 
 2 10 x 2 10 2 2 2 x 2 10
Vậy tập nghiệm của (1) là 2 10;2 22  2 22;2 10 . 
 Ví dụ 14 
 Giải bất phuơng trình sau: (1) 
 Lời giải 
 2 x 1
 2xx 5 3 0 
Điều kiện: 3 . 
 2x2 5x 3 0 x 
 2
+ Xét thấy x 0 là một nghiệm của (1) (a) 
 61
+ Xét x 0 chia cả tử và mẫu hai vế của (1) cho x ta được: . 
 33
 2xx 5 2 5 
 xx
 3
 Đặt tx 2 với t 5, ta được: 
 x
 6 1 6 1 5t 35 75 t 
 00 2 
 t 5 t 5 t 5 t 5 t 25 t 5
 2x22 3 2 x 7 x 3 1
 70 30 xx  
 3 xx 2
 7 2x 5 
 22 
 x 2x 3 2 x 5 x 3 3
Tức 50 xx  10 . 
 3 xx 2
 25x 
 x 2x22 3 2 x 5 x 3 3
 5001 xx  
 xx 2
 3 1 3 
Tập nghiệm của (1) trong trường hợp này là 3;  1;  0;1  ; (b) 
 2 2 2 
 3 1 3 
Từ (a) và (b) ta có tập nghiệm của (1) là 3;  1;  0;1  ; . 
 2 2 2 
 Ví dụ 15 
 Xác định tất cả các tham số m sao cho . 
 Lời giải 
Nhận thấy 2x2 3 x 2 0,  x . 
 x2 5 x m
Do đó 17 có tập nghiệm là 
 2xx2 3 2