Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 9: Ứng dụng của hàm bậc nhất để chứng minh bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chuyên đề 9.
 ỨNG DỤNG CỦA HÀM BẬC NHẤT
 ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
A. Kiến thức cần nhớ
Cho hàm số bậc nhất f x ax b , với x1 x2 . Ta có:
 f x1 0
1) f x 0,x : x1 x x2 
 f x2 0
 x x1 x x2
Đẳng thức xảy ra khi hoặc 
 f x1 0 f x2 0
 f x1 0
2) f x 0,x : x1 x x2 
 f x2 0
 x x1 x x2
Đẳng thức xảy ra khi hoặc .
 f x1 0 f x2 0
Ý nghĩa hình học:
Một đoạn thẳng nằm phía trên trục hoành khi và chỉ khi hai điểm đầu mút của nó nằm phía trên 
trục hoành.
Một đoạn thẳng nằm phía dưới trục hoành khi và chỉ khi hai điểm đầu mút của nó nằm phía dưới 
trục hoành.
Nhận xét:
Nếu hệ số a 0 thì f x b (hàm hằng). Khi đó các tính chất trên cũng đúng do đồ thị của hàm 
hằng cũng là một đường thẳng. Các tính chất khác của hàm hằng chúng tôi sẽ trình bày ở chương 
III của cuốn sách này. 
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho 0 x, y, z 2 .Chứng minh rằng 2 x y z xy yz zx 4 . 
 Giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương:
2 x y z xy yz zx 4 x 2 y z 2 y z yz 4 0
Coi x là biến số và y, z là tham số, đặt f x x 2 y z 2 y z yz 4
Xét hàm f x với 0 x 2 .Ta có:
f 0 2 y z yz 4 2 y z 2 0 1 x 2
 yz 
 4
 2 2
 1 x 1 1 1 
Dấu bằng xảy ra khi f x x 0
 4 2 3 6 
 y z
 1
 x 1
 3 x y z 
 3
 y z
Nhận xét:
Với cách làm tương tự ta có thể giải được bài tổng quát sau:
 9
Cho hằng số m và x, y, z là các số thực không âm thõa mãn: x y z 1
 4
 m 9
Khi đó ta luôn có 0 mxyz xy yz zx 
 27
Ví dụ 3: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a b c 1
 4a 4b 4c 
Chứng minh rằng 1 1 1 25
 b c c a a b 
 Giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
3a 1 3b 1 3c 1
 . . 25
1 a 1 b 1 c
 27abc 9 ab bc ca 4 25 ab bc ca 25abc
 52abc 16 ab bc ca 4 0
 ab 52c 16 16c 1 c 4 0 * 
Do tính đối xứng với các biến a, b, c nên không mất tính tổng quát, giả sử a b c
 1
Do a b c 1 nên c 
 3
 a b 2 1 c 2
Với t ab,0 t ab 
 4 4
Đặt f t t 52c 16 16c 1 c 4 VT * .
Ta lại có:
f 0 16c2 16c 4 4 2c 1 2 0. P 4 x3 y3 z3 15xyz 1
 4 x y 3 12xy x y 4z3 15xyz 1
 4 1 z 3 12xy 1 z 4z3 15xyz 1
 xy 27z 12 3 4z2 4z 1 
Đặt t xy , coi z là biến ta được hàm số: P f t t 27z 12 3 4z2 4z 1 
 x y 2 1 z 2
Lại có 0 t xy 
 4 4
 2
f 0 4 2z 1 0 với mọi z.
 2
 1 z 2
f 27z3 18z2 3z 3z 9z2 6z 1 3z 3z 1 0 với mọi số dương z.
 4 
Từ đó suy ra P 0
 1
Đẳng thức xảy ra khi x y z 
 3
Nhận xét:
P 4 x3 y3 z3 15xyz 1
 4 x3 y3 z3 3xyz 27xyz 1
 4 x y z x2 y2 z2 xy yz zx 27xyz 1
 4 x2 y2 z2 xy yz zx 27xyz 1
 4 x y z 2 3 xy yz zx 27xyz 1
 27xyz 12 xy yz zx 3
Đến đây, ta thấy bài toán trên chỉ là hệ quả của bài toán sau:
 9
Cho hằng số m và x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn: x y z 1 . Khi đó ta có
 4
 m 9
0 mxyz xy yz zx 
 27
C. Bài tập vận dụng
9.1. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a b c 3
Chứng minh rằng a2 b2 c2 abc 4
 Hướng dẫn giải – đáp số 9 1
VT * xy yz zx xyz 
 4 4
 9 1
 xy 1 z z x y 
 4 4
 9 1
 xy 1 z z 1 z 
 4 4
Do vai trò x, y, z như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử 
 1 4 9 9
z y z z z z 1 0 hay 1 z 0
 3 9 4 4
Xét hàm số bậc nhất biến t là :
 2 2
 9 2 1 x y 1 z 
 f t t 1 z z z , với t xy và 0 t xy 
 4 4 4 4
 2
 2 1 1 1
Ta có: f 0 z z z 0 với mọi z 
 4 2 3
 2 2 2
 1 z 1 z 9 1 9z3 6z2 z z 3z 1 
f 1 z z2 z 0
 4 4 4 4 16 16
Từ hai điều trên ta có * đúng
 1
Đẳng thức xảy ra khi x y z 
 3
9.3. Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x y z 1
 1
Chứng minh rằng: x3 y3 z3 6xyz 
 3
 Hướng dẫn giải – đáp số
Do vai trò x, y, z như nhau, ta giả sử x y z
 1
 z 
Mà x y z 1 3
 x y 1 z
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
3x3 3y3 3z3 18xyz 1 0 * 
Xét biểu thức:
VT * 3 x3 y3 z3 18xyz 1
 3
 3 x y 9xy x y 3x3 18xyz 1
 3
 3 1 z 9xy 1 z 3x3 18xyz 1