Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 8: Hàm số bậc nhất và đồ thị - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chuyên đề 8. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bằng công thức dạng y ax b , trong đó a, b là những hằng 
số với a 0 .
Hàm số bậc nhất có tập xác định là ¡ .
2. Tính chất
Tính đồng biến, nghịch biến:
Với a 0 , hàm số đồng biến trên ¡ .
Với a 0 , hàm số nghịch biến trên ¡ .
Đồ thị
- Đồ thị của hàm số y ax b a 0 là một đường thẳng gọi là đường thẳng y ax b . Nó có hệ 
số góc bằng a và có đặc điểm:
- Không song song và không trùng với các trục tọa độ;
 a 
- Cắt trục hoành tại điểm A ;0 và cắt trục tung tại điểm B 0;b .
 b 
Quan hệ giữa 2 đường thẳng
Cho hai đường thẳng d : y ax b; d : y a x b , ta có:
+ d song song với d a a và b b ;
+ d trùng với d a a và b b ;
+ d vuông góc với d a.a 1;
+ d cắt d a a .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho hàm số y 2m 1 x 5 (m là tham số).
a) Xác định các giá trị của m để hàm số trên là hàm số bậc nhất.
b) Tìm các giá trị của m để hàm số trên là hàm số đồng biến.
 Giải
 1
a) Hàm số y 2m 1 x 5 là hàm số bậc nhất 2m 1 0 m .
 2 b) Tìm m và n để d song song d .
 Giải
 1 3m n 3 m 0
a) d trùng d khi và chỉ khi 
 n 4 n 4
 1 3m n 3 n 4 3m
b) d song song d khi và chỉ khi 
 n 4 n 4
Nhận xét :
Đối với bài toán trên, chúng ta cần xác định rõ yêu cầu của đề là tìm điều kiện để 2 đường trùng 
nhau hoặc song song chứ không yêu cầu chúng phải là hàm bậc nhất. Vì vậy, nếu đặt điều kiện 
1 3m 0 hoặc n 3 0 thì lời giải sẽ không đúng.
Ví dụ 4. Cho ba hàm số : y x 2 có đồ thị là d1
 y x 2 có đồ thị là d2
 y 2x 2 có đồ thị là d3
a) Vẽ đồ thị của ba hàm số đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Cho biết d1 cắt d2 tại A, d1 cắt d3 tại B, d2 cắt d3 tại C. Tính diện tích tam giác ABC.
 Giải
a) Xem hình 1.
b) Từ câu a, ta có: A 2;0 ,B 0;2 ,C 4; 6 .
d2 có phương trình y x 2 . Ngoài cách giải như trên, chúng ta có cũng thể viết phương trình đường thẳng bằng cách đi tìm 2 
yếu tố, đó là: Một điểm M x0 ; y0 thuộc đường thẳng và hệ số góc k của nó. Khi đó phương trình 
của đường thẳng là: y k x x0 y0 .
Áp dụng vào phần a, đường thẳng đi qua điểm C 4;1 và song song với đường thẳng 
y 2x 5 nên từ đó suy ra đường thẳng cần tìm có hệ số góc k 2 đồng thời đi qua C 4;1 .
Như vậy ta có: Phương trình cần tìm là: y 2 x 4 1 y 2x 7 .
Với phần c, ta cũng có thể giải bằng cách đi tìm 2 điểm trên đường thẳng. Sau đó làm tương tự 
phần a.
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : y k 1 x n k 1 và hai điểm A 0;2 và 
B 1;0 (với k,n là các tham số).
1. Tìm các giá trị của k và n để :
a) Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.
b) Đường thẳng d song song với đường thẳng : y x 2 k
2. Cho n 2 . Tìm k để đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam giác OAC gấp 
 hai lần diện tích tam giác OAB.
 Giải
1.
a) Đường thẳng d đi qua điểm A 0;2 n 2 . 
Đường thẳng d đi qua điểm B 1;0 .
 0 k 1 2 k 3
Vậy với k 3;n 2 thì d đi qua hai điểm A và B.
b) Đường thẳng d song song với đường thẳng 
 : y x 2 k .
 k 1 1 k 2
 2 k n n 0
Vậy với k 2 và n 0 thì đường thẳng d song song với đường thẳng .
2. Với n 2 , đường thẳng d : y k 1 x 2 cắt Ox k-1 0 k 1 (thỏa mãn). m 1 m 1 m 1
Với y 0 x B ;0 OB .
 m m m
Do điểm O cách đường thẳng d một đoạn bằng 2 nên đường thẳng d không đi qua O 
 0 m 1 hay m 1. 
Kẻ OH  d . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
 1 1 1 1 m2 m2 1 m2 2m 1
 OH 2 
OH 2 OA2 OB2 m 1 2 m 1 2 m2 2m 1 m2 1
Mà theo giả thiết có OH 2 .
 m2 2m 1
 2 m2 2m 1 0 m 1 (thoả mãn).
 m2 1
c) Vì OH OM (OM không đổi do O và M cố định).
Dấu " " xảy ra khi M  H d  OM .
Gọi y ax b là đường thẳng đi qua hai điểm O, M suy ra 0 b và 1 a b .
Từ đó ta có a 1;b 0 . Như vậy ta được y x là đường thẳng đi qua hai điểm O và M, đường 
 thẳng này có hệ số góc k1 1.
Mà d y mx m 1 nên hệ số góc của đường thẳng d là k2 m .
Do d vuông góc với OM suy ra k1.k2 1 1.m 1 m 1 (thoả mãn).
Nhận xét :
Với phần a, chúng ta có thể tóm tắt y tưởng giải như sau:
Bài toán: Tìm điểm cố định của đường thẳng có phương trình: y ax b (trong đó a,b là các biểu 
thức phụ thuộc vào tham số m).
Cách giải:
Bước 1: Gọi điểm cố định cần tìm là M x0 ; y0 y0 ax0 b (1) đúng với mọi m.
Bước 2: Biến đổi (1) về phương trình ẩn m:
P.m Q 0 đúng với mọi m (với P, Q là biểu thức không phụ thuộc vào m).
Bước 3: Sử dụng tính chất:
 P 0
Phương trình ẩn m là: P.m Q 0 đúng với mọi m 
 Q 0
Từ đó tìm được x; y là toạ độ của điểm cố định. 1
 x 
 3x 1 0 3
 x y 4 0 13
 y 
 3
 1 13 
Vậy M ; là điểm cố định cần tìm.
 3 3 
Nhân xét:
Cách giải trên dựa vào tính chất:
Phương trình ax2 bx c 0 nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi a=b=c=0.
Ví dụ 10. Cho ba điểm A 0;2 , B 3; 1 ,C 2;4 . Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
 Giải
Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Phương trình của d có dạng là y ax b (1).
 2 b a 1
Do toạ độ của A, B thoả mãn (1) nên ta có hệ: 
 1 3a b b 2
 d : y x 2 .
Lại có:ĐiểmC 2;4 thoả mãn phương trình d : y x 2 C d .Từ đó suy ra A, B, C thẳng hàng.
III. Bài tập vận dụng
8.1. Cho 2 đường thẳng d : y m 2 x 3 m 2 và d : y m2 x 1 m 0 .
a) Tìm m để d Pd . 
b) Tìm m để d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho B¼AO 60 .
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2
 m 2 m 2 m 1
a) d Pd m m 2 0 .
 3 1 m 2
 3 3
b) A ;0 ; B 0;3 OA ;OB 3.
 m 2 m 2
 OB
Do B¼AO 60 nên tan B¼AO 3 m 2 3 m 2 3 .
 OA
 1
8.2. Cho đường thẳng d có phương trình y 2m 1 x 2 ( với m ), d cắt Ox tại A, cắt Oy tại 
 2
B. Tìm m sao cho:
a) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d bằng 2 ; a) Chứng minh tam giác MAC vuông tại M.
b) Tính diện tích tam giác MAC.
 Hướng dẫn giải – đáp số
 1
a) Hệ số góc của hai đường lần lượt là 2; .
 2
 1 
Mà tích của chúng là 2. 1 nên ta có d1  d2 .
 2 
Từ đó ta có tam giác MAC vuông tại M. 
 6 8 
b) Tìm được M ; .
 5 5 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên trục hoành.
 8 1 16
Từ đó có MH ; AC 4 S MH.AC .
 5 MAC 2 5
8.5. Cho ba đường thẳng:
 2
d1 : y x 2;d2 : y 2x 1;d3 : y m 1 x m
a) Tìm giá trị của m để d3 Pd2 ;
b) Tính các giá trị của m để ba đường thẳng trên cắt nhau tại một điểm.
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2
a) Đường thẳng d3 : y m 1 x m và đường thẳng d2 : y 2x 1 song song khi và chỉ khi
 2 2 m 1
 m 1 2 m 1 
 m 1 m 1
 m 1 m 1 
 m 1
Vậy m 1 thỏa mãn yêu cầu của đề bài.
b) Tìm được A 1;3 là giao điểm của d1 và d2 .
Khi đó 3 đường d1,d2 và d3 đồng quy khi và chỉ khi:
 2 2
A d3 3 m m 1 m m 2 0 m 1 hoặc m 2 .
8.6. Cho hàm số y m 2 x m 1.
a) Tìm điều kiện của m để hàm số nghịch biến trên tập số thực.
b) Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
c) Tìm m để đồ thị của các hàm số y x 2, y 2x 1 và y m 2 x m 1 đồng quy. m x0 2 5x0 y0 10 0 đúng với mọi m.
 x0 2 0 x0 2
 5x0 y0 10 0 y0 20
Như vậy ta có điểm cố định cần tìm là M 2; 20 .
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d:
 y m 5 x 2m 10
Khi đó độ dài đoạn thẳng OH là khoảng cách từ O tới đường thẳng d. Ta có:
OH OM (với OM không đổi do O và M cố định).
Dấu " " xảy ra khi H  M d  OM .
Gọi y ax b là đường thẳng đi qua hai điểm O, M suy ra 0 b và 20 2a b . Từ đó ta có 
a 10;b 0 . Như vậy ta được y 10x là đường thẳng đi qua hai điểm O và M, đường thẳng này 
có hệ số góc k1 10 .
Mà d: y m 5 x 2m 10 nên hệ số góc của đường thẳng d là k2 m 5 .
Do d vuông góc với OM
 51
Suy ra k .k 1 10 m 5 1 10m 50 1 m (thỏa mãn)
 1 2 10
 51
Vậy m 
 10
8.8. Cho hàm số y m 2 x m 3 .
a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
b) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
c) Tìm m để các đồ thị của các hàm số y x 2; y 2x 1 và y m 2 x m 3 đồng quy.
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) Hàm số y m 2 x m 3 nghịch biến khi và chỉ khi m 2 0 m 2.
b) Đồ thị của hàm số y m 2 x m 3 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 tức là điểm 
A 3;0 thuộc đồ thị của hàm số: y m 2 x m 3
 3
 0 3 m 2 m 3 4m 3 0 m 
 4