Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 6: Giải phương trình chứa ẩn trong dấu căn - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chuyên đề 6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN
A. Kiến thức cần nhớ
Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn cĩ nhiều cách giải, sau đây là một số phương pháp thường 
dùng:
 Nâng lên lũy thừa.
 Đặt ẩn phụ.
 Đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 Sử dụng bất đắng thức, đánh giá hai vế của phương trình.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) x 1 2 x 2 x 2 4 x 2 3 
b) 2x 4 6 2x 5 2x 4 2 2x 5 4 
c x 4 x 4 x 4 x 4 5 
 Giải
Tìm cách giải. Ví dụ này bản thân trong câu đều cĩ chứa hằng đẳng thức. Nên chúng ta cĩ thể 
 2
đưa về dạng a b a b . Sau đĩ xét các khoảng để bỏ giá trị tuyệt đối để giải các phương 
trình.
Trình bày lời giải
a) x 2 2 x 2 1 x 2 4 x 2 4 0 x 2 
 2 2
 x 2 1 x 2 2 3
 x 2 1 x 2 2 3 x 2 1 1 x 2
Vì x 2 1 1 x 2 nên:
 x 2 1 0 x 2 1 0 x 2 1 2 x 3 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S x / 2 x 3 
 5 
b) 2x 4 6 2x 5 2x 4 2 2x 5 4 x 
 2 Với điều kiện trên phương trình (1) 3x 1 3 2 x 0 
 3x 1 9 6 2 x 2 x
 3 2 x 5 2x 0
 9 2 x 25 20x 4x2
 x 1
 2
 4x 11x 7 0 7 tm 
 x 
 4
 7 
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;  
 4
Ví dụ 3: Giải phương trình 3 x 1 3 7 x 2 
 Giải
 3
Áp dụng hằng đẳng thức: a b a3 b3 3ab a b , lập phương hai vế của phương trình, ta 
được:
x 1 7 x 33 x 1 7 x .2 8
 3 x 1 7 x 0 x 1 7 x 0 
 x 1
 x 7
Vậy nghiệm của phương trình là S 1;7 
Ví dụ 4: Giải phương trình: x2 4x 5 2 2x 3. 
 Giải
Tìm cách giải. Nhận thấy việc nâng lên lũy thừa để khử dấu căn, ta được phương trình bậc 4, cĩ 
thể giải được bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử, song phức tạp. Bắt đầu từ 2 2x 3, gợi 
ý cho chúng ta thêm phần thích hợp để tạo thành hằng đẳng thức, do đĩ rất tự nhiên ta thêm được 
2x 3 2 2x 3 1. Từ đĩ ta cĩ lời giải sau:
Trình bảy lời giải
 3
TXĐ: x 
 2
x2 4x 5 2 2x 3.
 x2 2x 1 2x 3 2 2x 3 1 0
 2 
 x 1 2 2x 3 1 0 x2 x 1 2 x 1 x2 x 1 x 1 0
 2
 x2 x 1 x 1 0
 x2 x 1 x 1
 x2 x 1 x 1 x2 2x 0
 x x 2 0 x 0; x 2 (thỏa mãn TXĐ).
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0;2. 
Ví dụ 7: Giải phương trình x 6 x 2 1 x2 4x 12 8. 
(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, tỉnh Nam định, năm học 2014-2015)
 Giải
Tìm cách giải. Mới nhìn qua, bài tốn này khá phức tạp. Nâng lên lũy thừa, dùng hằng đẳng thức 
hay đánh giá hai vế đều khơng khả thi. Quan sát và phân tích chúng nhận thấy 
 x 6 x 2 x2 4x 12 và x 6 x 2 8, nên bài tốn cĩ thế giải bằng phương pháp đổi 
biến.
Trình bày lời giải
ĐKXĐ: x 2, đặt x 6 a 0; x 2 b 0 a2 b2 8 phương trình cĩ dạng:
 2 2 a b
 a b 1 ab a b a b 1 ab a b 0 
 1 ab a b 0 
• Với a b, ta cĩ: x 6 x 2. Phương trình vơ nghiệm. 
 a 1
• Với 1 ab a b 0 a 1 b 1 0 
 b 1
 x 6 1 vô nghiệm
 x 2 1 x 3 thỏa mãn 
Phương trình đã cho cĩ nghiệm duy nhất x 3 
Ví dụ 8: Giải các phương trình sau
a) 2x 2 6x 9 16x2 48x 35; 
b) 2x2 1 x2 3x 2 2x2 2x 3 x2 x 2. 
 Giải
Tìm cách giải. Bài tốn rất phức tạp và khĩ tìm được đường lời giải. Bài tốn khơng thể nâng lên 
lũy thừa được, bởi số mũ khá cao. Bài tốn cũng khơng đổi biến được, bởi khơng cĩ nhiều điểm Do đĩ phương trình (*) 2x 4 0 x 2. 
Thử lại, ta thấy x 2 thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2 
Ví dụ 9: Giải phương trình sau 
 17 1
 13x2 6x 10 5x2 13x 17x2 48x 36 36x 8x2 21 
 2 2
 Giải
 17
Xét vế trái T 13x2 6x 10 5x2 13x 17x2 48x 36 
 2
 2 2
 2 2 5 3 2 2
 3x 1 2x 3 2x x x 4x 6 
 2 2 
 2
 2 5 2
 3x 1 2x x 
 2 
 5 5 3
Suy ra vế trái T 3x 1 2x x 3x 1 2x x 6x 1 
 2 2 2
 1
Vế phải P 12x 3 2 4x2 12x 9 
 2 
 1 2 1 3
 12x 3 2 2x 3 12x 3 6x 2 
 2 2 2
 3
Từ (1) và (2) suy ra vế trái 6x vế phải.
 2
 3
Đẳng thức chỉ xảy ra khi x 
 2
 3
Vậy nghiệm của phương trình là x 
 2
C. Bài tập vận dụng
6.1. Giải các phương trình sau:
a) x2 x 2 x 2 0; 
b) x2 2x 1 x2 6x 9 1; 
c) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1; 
d) x 2 x 1 x 2 x 1 2; 
 Hướng dẫn giải – đáp số x 1 4 y 1 3 y 1 4
 2 8 0
 x 3 y 1 2
 2
 2 2
 x 1 4 3 y 1 1 
 0 
 2
 x 4 y 1 
 x 1 0 x 1 x 1
 ; 
 3 2 y 0 y 2
 y 1 1 0 
Vậy phương trình cĩ nghiệm là: x; y 1;0 ; x; y 1;2 
b) áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta cĩ:
 x x2 1 x x2 1
 x2 x x x2 x 1 
 2 2
Đẳng thức chỉ xảy ra khi:
 x x2 1 0
 x2 x 1 x x2 1 0 
 2
 2 2 1 3 (vơ nghiệm)
 x x 1 x x 1 0 x 0
 2 4
Vậy phương trình vơ nghiệm
6.3. Giải các phương trình sau:
a) 7 x x 1 x2 6x 13 ; 
b) x 94 96 x x2 190x 9027 
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) Điều kiện: 4 x 6 
 2
Ta cĩ: 7 x x 1 8 2 7 x x 1 8 7 x x 1 16 
 7 x x 1 4 
 2
Mặt khác x2 6x 13 x 3 4 4 
Suy ra 7 x x 1 x2 6x 13 x 3 (thỏa mãn)
b) Điều kiện: 94 x 96 
 2
Ta cĩ: x 94 96 x 2 2 x 94 96 x 2 x 94 96 x 4 
 x 94 96 x 4 
 2
Mặt khác x2 190x 9025 x 95 4 4 
Suy ra x 94 96 x x2 190x 9027 x 95 (thỏa mãn) Hướng dẫn giải – đáp số
a) ĐKXĐ: x 2. Phương trình viết dưới dạng:
 x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 
 x 1 x 2 x 2 x 1 x 3 x 3 0
 x 2 x 1 1 x 3 x 1 1 0
 x 1 1 x 2 x 3 0
Trường hợp 1. x 1 1 0 x 2. (thỏa mãn)
Trường hợp 2. x 2 x 3 0. Khơng tồn tại x
Vậy nghiệm của phương trình là x 2 
b) ĐKXĐ: x 3. Phương trình viết dưới dạng:
 x 8 x 3 x2 11x 24 1 5 x 8 x 3 
 x2 11x 24 1 x 8 x 3
 x 8. x 3 1 x 8 x 3 
 x 8. x 3 x 8 x 3 1 0
 x 8 1 x 3 1 0
Trường hợp 1. x 8 1 0 x 7. Khơng thuộc tập xác định
Trường hợp 2. x 3 1 0 x 2. Thuộc tập xác định
Vậy nghiệm của phương trình là x 2 
6.6. Giải các phương trình:
a) x2 9x 20 2 3x 10; 
b) x x2 x 1 2 3x 1 x2 x 3 
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) 
x2 9x 20 2 3x 10
 2
 x 6x 9 3x 10 2 3x 10 1 0 
 2 2 10
 x 3 3x 10 1 0 ĐKXĐ : x 
 3
 x 3 0
 x 3(thỏa mãn ĐKXĐ)
 3x 10 1 0
Vậy nghiệm của phương trình là S 3 b) x 3 2 x 2 3x 1 
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) ĐKXĐ: 1 x 1 
đặt 1 x 1 x a 0; ta cĩ a2 2 2 1 x2 . Phương trình đã cho trở thành: a3 8 a 2 
với a 2 thì 1 x 1 x 2 1 x2 1 x2 0 x 0 
vậy phương trình cĩ nghiệm x 0 (thỏa mãn)
b) ĐKXĐ: x 0 
bình phương hai vế của phương trình đã cho được:
x 3 4x 4 x 3. x 4 3x 1 
 4 x2 3x 7x 1
 16 x2 3x 49x2 14x 1 
 33x2 34x 1 0
 x 1
 1
 x 
 33
 1
Đối chiếu điều kiện, ta cĩ nghiệm của phương trình là x 1, x 
 33
6.9. Giải các phương trình:
a) 3 3x 1 3 5 x 3 2x 9 3 4x 3 0. 
 3
b) x3 x 1 x 1 2 2 x x 1 2 
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) Đặt 3 3x 1 a; 3 5 x b; 3 2x 9 c; 
 3
Suy ra a b c 3 4x 3 0 a b c 3 4x 3 a b c 4x 3 1 
Mặt khác a3 b3 c3 3x 1 5 x 2x 9 4x 3 2 
 3
Từ (1) và (2) suy ra a b c a3 b3 c3
a3 b3 c3 3 a b b c c a a3 b3 c3
 a b b c c a 0 
 3 3
 a b 0 a b 0 3x 1 5 x 0 x 3
 3 3 
 b c 0 b c 0 5 x 2x 9 0 x 4
 c a 0 c3 a3 0 2x 9 3x 1 0 8
 x 
 5