Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 5: Bất đẳng thức Cô-si - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chuyên đề 5. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI
A. Kiến thức cần nhớ
Trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị thì bất đẳng thức Cô-si được ví như viên kim cương 
bởi tính ưu việt trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác cũng như tìm cực trị. Trong chương 
trình THCS chủ yếu là vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Do vậy trong chuyên 
đề này sẽ chỉ nêu ứng dụng trong việc giải các bài toán bằng việc vận dụng bất đẳng thức Cô-si 
cho hai số không âm.
• Bất đẳng thức Cô-si: cho hai số x, y không âm, ta có:
x y x y
 xy hoặc xy 
 2 2
Dấu bằng chỉ xảy ra khi x y. 
Bất đẳng thức Cô-si còn được gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân (AM-
GM).
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, ta có:
4a 3b 5c 2 ab 2 bc 3 ca 
Đẳng thức xảy ra khi nào?
(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Gia Lai)
 Giải
Tìm cách giải. Nhận thấy vế phải xuất hiện ab 2 bc 3 ca, do vậy rất tự nhiên chúng ta nghĩ 
tới việc dùng bất đẳng thức Cô-si. Vấn đề còn lại là tách vế trái thành những hạng tử thích hợp 
nhằm khi vận dụng bất đẳng thức Cô-si thì lần lượt xuất hiện các hạng tử vế phải.
Trình bày lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
a b 2 ab 1 
2b 2c 4 bc 2 
3a 3c 6 ca 3 
Từ ( 1 ), (2) và (3) cộng vế với vế ta được:
4a 3b 5c 2 ab 2 bc 3 ca 
Đẳng thức xảy ra khi a b c. 
Ví dụ 2: Cho S 1.2019 3.2017 5.2015 ... 2019.1. So sánh S với 10102 a2
 4 b 1 
 b 1
 b2
Đằng thức xảy ra khi 4 c 1 a b 2 
 c 1
 c2
 4 a 1 
 a 1
Ví dụ 4: Cho a, b là số thực không âm thỏa mãn a2 b2 2, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
M a 3b a 2b b 3a b 2a . 
 Giải
Tìm cách giải. Giả thiết là điều kiện liên quan các biến với số mũ 2, còn biểu thức M phần biến có 
chứa căn. Nhằm biển đổi từ biểu thức chứa căn tới biểu thức không có căn và có số mũ 2, chúng ta 
 x y x2 y2
cần áp dụng bất đẳng thức Cô-si dạng xy và xy 
 2 2
Trình bày lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
 3b a 2b a 5b
 3b a 2b 1 
 2 2
 3a b 2a 5a b
 3a b 2a 2 
 2 2
 a(a 5b) b(5a b)
Từ (1) và (2) suy ra: M 
 2 2
 2 2 2 2
 a2 b2 10ab a b 5 a b 
 M 3 a2 b2 
 2 2
 M 3 a2 b2 3.2 M 6. 
Đẳng thức xảy ra khi a b 1. 
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là 6 khi a b 1.
 4 5
Ví dụ 5: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 23. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 x y
 6 7
B 8x 18y 
 x y
 Giải 3 3 3 1
• ma ma. 2 3m, xác định m bằng cách cho ma và a 3 suy ra m . Từ đó ta có 
 a a a 3
 62a a
cách tách 21a 
 3 3
 21 21 21 7
• nb 2 nb. 2 21n, xác định n bằng cách cho nb và b 3 suy ra n . Từ đó ta có 
 b b b 3
 2b 7b
cách tách 3b 
 3 3
Trình bày lời giải
 7 21 a 3 2 62
Ta có vế trái b b a
 3 b 3 a 3 3
Áp dụng bất đẳng thức Cô -si, ta có:
7 21 7 21
 b 2 b. 14
3 b 3 b
a 3 a 3
 2 . 2
3 a 3 b
 1 1 2 62
Mà a 3;b 3 nên 21 a 3 b 14 2 .3 .3 80 
 b a 3 3
Dấu bằng xảy ra khi a b 3 
Ví dụ 7: Cho x; y; z là các số dương
 x y z
Chứng minh rằng 2 
 y z z x x y
 Giải
 1 2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: x y z 2 x y z 
 x y z x y z
 x 2x
 1 
 y z x y z
 y 2y
Tương tự ta có: 2 
 x z x y z
 z 2z
 3 
 x y x y z
 x y z
Từ (1), (2) và (3) cộng vế theo vế, ta được 2
 y z z x x y Giải
Tìm cách giải. Quan sát điều kiện của biến x, y, z rất tự nhiên chúng ta thấy cần đổi biến bằng 
 1 1 1
cách đặt a ;b ;c a b c 1. Khi đó bất đẳng thức có dạng 
 x y z
 bc a ac b ab c 1 bc ac ab. Nhận thấy vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức là 
như nhau. Mặt khác bc a là lệch bậc, do vậy sử dụng dụng điều kiện a b c 1 để đưa vô cùng 
bậc (gọi là cân bằng bậc). Sau đó dùng bất đẳng thức Cô-si đê đánh giá đưa về hằng đẳng thức.
Trình bày cách giải
Chia hai vế của bất đẳng thức cho xyz, khi đó bất đẳng thức tương đương với:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 
 yz x xz y yx z yz xz yx
 1 1 1
Đặt a ;b ;c a b c 1. 
 x y z
Khi đó bất đẳng thức có dạng: 
 bc a ac b ab c 1 bc ac ab. 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
bc a bc a a b c bc ab ac a2
 bc 2a bc a2
 2
hay bc a bc a bc a bc a 1 
Tượng tự ta có: 
 ac b ac b 2 
 ba c ba c 3 
Từ (1); (2) và (3) cộng vế với vế ta có:
 bc a ac b ab c 1 bc ac ab.
Hay x yz y zx z xy xyz x y z
Dấu bằng khi x y z 3 
C. Bài tập vận dụng
5.1. Cho a; b; c; d là các số không âm. Chứng minh rằng:
 a8 b8 2c4 4d 2 8abcd 
 Hướng dẫn giải – đáp số
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: Dấu bằng khi a b 
 1 1 1 1
5.4. Cho S ... ... 
 1.2019 2.2018 k 2019 k 1 2019.1
 2019
Hãy so sánh S và 2. 
 2020
 Hướng dẫn giải – đáp số
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với x; y 0 ta có:
 1 2
x y 2 xy 
 xy x y
 1 1 1 1
Từ đó suy ra S ... ... 
 1 2019 2 2018 k 2019 k 1 2019 1
 2019
Hay S 2. . Điều phải chứng minh 
 2020
5.5. Cho a, b, c, d dương. Chứng minh rằng:
 a b c d
 2
 b c d c d a d a b a b c
 Hướng dẫn giải – đáp số
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
a b c d 2 a b c d 
 1 2 a 2a
 1 
 a b c d a b c d b c d a b c d
Tương tự ta có:
 b 2b
 2 
 c d a a b c d
 c 2c
 3 
 d a b a b c d
 d 2d
 4 
 a b c a b c d
Từ các bất đẳng thức (1), (2), (3) và (4) cộng vế với vế, ta được điều phải chứng minh 
 a b c d
 b a c d
Dấu bằng xảy ra khi công lại ta có a b c d 0 
 c a b d
 d a b c
Điều này không xảy ra vì a,b,c,d 0 a 2b c
 2b ca 2 
 2
 a b 2c
 2c ab 3 
 2
Từ (1), (2) và (2) cộng vế với vế, ta được:
Q 2 a b c 2.2 4 
 2
Dấu bằng xảy ra khi a b c 
 3
 2
Vậy giá trị lớn nhất của Q khi a b c 
 3
 25
5.8. Cho các số a, b, c đều lớn hơn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 4
 a b c
Q 
 2 b 5 2 c 5 2 a 5
 Hướng dẫn giải – đáp số
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
 a a
 2 b 5 2 . 2 b 5 2 a 1 
2 b 5 2 b 5
 b b
 2 bc 5 2 2 c 5 2 b 2 
2 c 5 2 c 5
 c c
 2 a 5 2 . 2 a 5 2 c 3 
2 a 5 2 a 5
Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế, ta được:
 a b c
 2 b 2 c 2 a 15 2 a 2 b 2 c
2 b 5 2 c 5 2 a 5
 a b c
 15 Q 15
2 b 5 2 c 5 2 a 5
 a
 2 b 5
 2 b 5
 b
Dấu bằng xảy ra khi 2 c 5 a b c 25 
 2 c 5
 c
 2 a 5
 2 a 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 15 khi a b c 25 
5.9. Cho x; y là các số dương thỏa mãn x y 2. 
 10
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T xy 
 xy