Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 4: Căn bậc ba, căn bậc N - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chuyên đề 4. CĂN BẬC BA, CĂN BẬC n
A. Kiến thức cần nhớ
1. Căn bậc ba
a) Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a, kí hiệu 3 a, là số x sao cho x3 a 
 3
 Cho a ¡ , 3 a x x3 3 a a 
 Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba. 
 Nếu a 0 thì 3 a 0 
 Nếu a 0 thì 3 a 0 
 Nếu a 0 thì 3 a 0 
b) Tính chất
 a 0 3 a 3 b 
 3 ab 3 a.3 b
 a 3 a
 3 b 0 
 b 3 b
c) Các phép biến đổi căn bậc ba
 A 3 B 3 A3B 
 3 A3B A 3 B
 A 1
 3 3 AB2 B 0 
 B B
 1 3 A2  3 AB 3 B2
 A  B 
 3 A 3 B A B
2. Căn bậc n
a) Định nghĩa: Cho a ¡ và n ¥ ;n 2. Căn bậc n của a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng a.
 Trường hợp n lẻ n 2k 1; k ¥ 
Mỗi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất: 2k 1 a x x2k 1 a 
Nếu a 0 thì 2k 1 a 0 
Nếu a 0 thì 2k 1 a 0 
Nếu a 0 thì 2k 1 a 0 
 Trường hợp 11 chẵn n 2k; k ¥ 3 64 37 3 27 3 
Ví dụ 2: Rút gọn A 3 26 15 3 3 26 15 3 
 Giải
 3
Tìm cách giải. Để rút gọn biểu thức có dạng 3 a b c ta viết biểu thức dưới dạng: 3 x y , ta 
chú ý tới hằng đẳng thức:
 3
 x y x x 3xy 3y2 x y3
Do vậy ta xác định x và y thông qua 3xy y3 a; x 3y2 b, nhưng lưu ý x c chẳng hạn 
3 26 15 3 ta chọn x và y theo 3xy y3 26; x 3y2 15 và x 3 suy ra: y 2. 
Trình bày lời giải:
Ta có: A 3 8 12 3 18 3 3 3 8 12 3 18 3 3 
 3 3
A 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 4 
 84 84
Ví dụ 3: Rút gọn B 3 1 3 1 
 9 9
 Giải
 3
Tìm cách giải. Bài này thú vị và khó hơn ví dụ trước, không thể đưa về dạng 3 x y . Do đó, 
để tính giá trị biểu thức có dạng B 3 a b 3 a b chúng ta nghĩ tới việc lập phương hai vế và 
 3
sử dụng hằng đẳng thức x y x3 y3 3xy x y sau đó phân tích đa thức thành nhân tử rồi 
tìm B.
Trình bày lời giải
 3
Áp dụng hằng đẳng thức a b a3 b3 3ab a b ta có:
 3 84 84 84 84 
B 1 1 3.3 1 1 .B
 3 3 9 9 
 84
B3 2 3B.3 1 2 B
 81
B3 B 2 0 B 1 B2 B 2 0 mà B2 B 2 0 
Suy ra B 1. 
 2020
Ví dụ 4: Hãy tính giá trị biểu thức: Q 3x3 x2 1 , biết: 1
Ta có Q 10 38 12 10 .5 3 2 2 5
 4 
 1 2
Q 10 3 2 2 5 .5 3 2 2 5
 4 
 1 1
Q 5 3 2 2 5 .5 3 2 2 5 5 3 2 2 5 3 2 2 5
 2 2 
 1
Q 5 18 20 5 1 1
 2
 2 1
 2 1 
 4 4 4 2 1 2 2 2
Ví dụ 6: Tính giá trị biếu thức: T 
 4 4 
 1 2 2 1 2
 Giải
Tìm cách giải. Bài toán này có nhiều yếu tố giống nhau, do vậy chúng ta có thể đặt biến mới nhằm 
đưa về bài toán đơn giản hơn. Với cách suy luận ấy chúng ta đặt 4 2 a (căn nhỏ nhất) thì 
a4 2; 4 4 a2 2. Từ đó chúng ta có lời giải sau: 
Trình bày lời giải
Đặt 4 2 a thì a4 2; 4 4 a2 2.
 2 1
 2 1 
 a2 a 1 a2 a2 a4
Khi đó T 2 
 1 a a 1 a
 2
 1 a2 a2 1 1 1
 T a 0
 2 2 2 2 
 a a 1 a a a
Vậy T 0 
C. Bài tập vận dụng
 x 1 x 8 3 x 1 1 1 
4.1. Cho biểu thức P : 
 3 x 1 10 x x 3 x 1 1 x 1 
a) Rút gọn biếu thức P.
 3 2 2 3 2 2
b) Tính giá trị của P khi x 4 4 
 3 2 2 3 2 2
 (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2011-2012)
 Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt x 1 a biểu thức P có dạng: b2 b2 a3
x3 b 3 .x
 4 4 27 
x3 b ax x3 ax b 0
Vậy C 0 
 1
4.3. Hãy tính giá trị của biểu thức: P x3 3x 2 với x 3 2 1 
 3 2 1
 Hướng dẫn giải – đáp số
 1
Ta có x 3 2 1 3 2 1 3 2 1
 3 2 1
Xét x3 2 1 2 1 3.3 2 1 2 1 .x 
x3 2 3x x3 3x 2 0 
Vậy P 0 
 2020
4.4. Hãy tính giá trị của biểu thức: T 3x3 8x 2 , biết
 3 17 5 38
 x . 5 2 
 5 14 6 5
 Hướng dẫn giải – đáp số
 3 5 5 30 12 5 8
Ta có x . 5 2 
 5 9 6 5 5
 3
 3
 5 2 5 2
x . 5 2 . 5 2 
 2 5 3 5
 5 3 5 
 5 4 1
x 
 3 3
 2020
 1 1 2020
Suy ra T 3. 8. 2 1 1 
 27 9 
4.5. Cho x, y thỏa mãn x 3 y y2 1 3 y y2 1. Tính giá trị của biểu thức: 
 A x4 x3 y 3x2 xy 2y2 1
 Hướng dẫn giải – đáp số
Xét x3 y y2 1 y y2 1 3.3 y y2 1 y y2 1 .x 
x3 2y 3.3 y2 y2 1.x
x3 2y 3x x3 3x 2y 0 * a3 110 3.3 3025 3024.a a3 3a 110 0 
 a3 125 3a 15 0
 a 5 a2 5a 25 3 a 5 0 
 a 5 a2 5a 22 0
 2
 2 5 63
Nhận xét: a 5a 22 a 0 nên a 5 0 a 5 
 2 4
 53 3.5 2 112 7
Từ đó suy ra P 
 53 4.52 5.5 2 48 3
4.9. Rút gọn biểu thức: T 4 7 48 4 28 16 3 .4 7 48 5 2 6 
 Hướng dẫn giải – đáp số
 4 4
Ta có T 4 4 3 3 4 4 4 4 3 3 . 4 4 3 3 3 2 6 2
 2 2 2 2
T 4 2 3 4 4 2 3 .4 2 3 3 2 
T 2 3 2 2 3 . 2 3 3 2
 2
T 2 3 2 2 3 2 3 3 2 
T 2 3 2 3 2 2
 10 1 2 3 1 
 M . : 
4.10. Tính giá trị của biểu thức: 3 3 3 
 9 6 4 4 2 3 2 1 
 Hướng dẫn giải – đáp số
 3 3
 10 3 2 1 2 2 1 
Ta có M . . 
 3 3 3 3 3
 3 2 9 6 4 3 2 3 1 3 1 
 3 3
 10 3 2 1 2 2 1 
M . . 
 3 2 3 1 3 1 
 2 1
M 2 3 3 3 2 . 
 3 1
M 3 3 3 2
4.11. Trục căn thức ở mẫu:
 1 15
a) b) 
 3 16 3 12 3 9 4 2 4 4 4 8 4 16
 Hướng dẫn giải – đáp số 1 a 1
Suy ra Q 1 a 1 : 
 2 2
 a 1 a 1
Q : 1 
 2 2
 1 1 1
4.14. Chứng minh rằng nếu ax3 by3 cz3 và 1 thì:
 x y z
 3 ax2 by2 cz2 3 a 3 b 3 c
 Hướng dẫn giải – đáp số
 k k k
Đặt ax3 by2 cz3 k, suy ra a ;b ;c , 
 x3 y3 z3
 2 2 2 k 2 k 2 k 2
Xét 3 ax by cz 3 x y z 
 x3 y3 z3
 k k k 1 1 1 3
 3 3 k k 1 
 x y z x y z 
 3 3 3 k k k
Xét a b c 3 3 3 
 x3 y3 z3
 3 3 3
 k k k 3 1 1 1 3
 k k 2 
 x y z x y z 
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh 
4.15. Chứng minh rằng nếu: x2 3 x4 y2 y2 3 x2 y4 a thì:
 3 x2 3 y2 3 a2
 Hướng dẫn giải – đáp số
Từ x2 3 x4 y2 y2 3 x2 y4 a , bình phương 2 vế, ta có:
x2 3 x4 y2 y2 3 x2 y4 2 x2 3 x4 y2 y2 3 x2 y4 a2
 x2 3 x4 y2 y2 3 x2 y4 2 x2 y2 3 x4 y8 3 x8 y4 x2 y2 a2
 x2 3 x4 y2 y2 3 x2 y4 2 3 x8 y4 2x2 y2 3 x4 y8 a2
 2
 x2 3 x4 y2 y2 3 x2 y4 2 3 x4 y2 3 x2 y4 a2
 x2 3 x4 y2 y2 3 x2 y4 2 3 x4 y2 3 x2 y4 a2 
 x2 33 x4 y2 33 x2 y4 y2 a2
 3
 3 x2 3 y2 a2 3 x2 3 y2 3 a2