Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 3: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
Chuyên đề 3. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN – BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A. Kiến thức cần nhớ
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn A2 B A B B 0 .
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
 A. B A2 B (với A 0; B 0 )
 A. B A2.B ( với A 0; B 0 )
3. Khử mẫu ở biểu thức chứa căn
 A AB 1
 AB (với AB 0; B 0)
 B B2 B
4. Trục căn thức ở mẫu
 M M A M M A  B 
 A 0 ; A 0; B 0; A B 
 A A A B A B
5. Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai
Bước 1. Dùng các phép biến đổi đơn giản để đưa các căn thức bậc hai phức tạp thành căn thức bậc 
hai đơn giản.
Bước 2. Thực hiện phép tính theo thứ tự đã biết.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:
a) 4 3; 3 5; 5 2; 2 5 ;
 1
b) 15; 2 6; 6 ; 3 2 .
 3
 Giải
Tìm cách giải. Để sắp xếp các căn thức không đồng dạng, chúng ta đưa các thừa số vào trong dấu 
căn. Sau đó so sánh biểu thức trong căn.
Trình bày lời giải
a) Đưa các thừa số vào trong dấu căn, ta được:
 4 3 48 ; 3 5 45 ;
 5 2 50 ; 2 5 20
Mà 20 45 48 50 . A 2 5 6 5 12 5 5 5 11 5 .
 5 1 1 3 5 5 1 1 3 5 4 3 5
 B . 3 2 .
b) Ta có: 2 
 1 3 5 3 5
 5 15 5 1 3 5 5 15 5 1 3 5 3 5
 B . 2 .
 2 3 1 3 5
 2 15 6 3 5
 B . .
 2 3 1 3 5
 10 3. 6 3 2 6 3 3 2.3. 2 3 1 
 B 2
 15 2 3 1 3 2 3 1 3. 2 3 1 
 3 5 3 5
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: R 
 2 3 5 2 3 5
 Giải
Tìm cách giải. Nhận xét thấy rằng, mẫu thức chứa biểu thức căn “chồng chất”. Do vậy trước khi 
thực hiện rút gọn, chúng ta nên khai căn “chồng chất” trước đã. Quan sát thấy, để biến đổi căn 
“chồng chất” này, chúng ta chỉ cần làm xuất hiện 2 5 .
Do vậy chúng ta có hai hướng biến đổi nhằm xuất hiện yêu cầu đó:
Cách 1. Mỗi phân thức nhân cả tử và mẫu với 2 .
 1
Cách 2. Nhân hai vế với .
 2
Trình bày lời giải
Cách 1. Mỗi phân thức nhân cả tử và mẫu với 2 , ta được:
 3 2 10 3 2 10
R 
 2 6 2 5 2 6 2 5
 3 2 10 3 2 10
R 
 2 5 1 2 5 1 
 3 2 10 3 2 10
R 
 3 5 3 5
 3 2 10 3 5 3 2 10 3 5 
R 
 3 5 3 5 
 9 2 3 10 3 10 5 2 9 2 3 10 3 10 5 2
R 
 9 5 x 9
b) A 6 6 x 9 6 x 2 
 x 2
7 x 21 x 9 (thỏa mãn điều kiện). Vậy để A 6 thì x 9 .
Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức:
 a 2 2 a 2 a 7 3 a 2 1 1 
 P . : .
 3 3 a 2 11 a a 3 a 2 2 a 2 
 Giải
Tìm cách giải. Bài toán có nhiều thành phần giống nhau, chúng ta nên đổi biến bằng cách đặt 
 a 2 x . Sau đó rút gọn biểu thức với biến x.
Trình bày lời giải
Đặt a 2 x , biểu thức có dạng: 
 x 2 x x2 2 7 3x 1 1
P . : 2 
 3 3 x 2 x 3x x
 11 x 2 
 x 2 x x2 9 3x 1 x 3 
P 2 :
 3 3 x 9 x x x 3 
 x 2 x 3 x x2 9 2x 4
P . :
 3 3 x 3 x x x 3 
 x 2 3x 9 x x 3 
P . .
 3 3 x 3 x 2 x 2 
 x 2 .3 x 3 .x x 3 
P 
 3 3 x . 3 x 2 x 2 
 x a 2
P . Vậy P .
 2 2
Ví dụ 7: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz 100 .
Tính giá trị của biểu thức:
 x y 10 z
 A 
 xy x 10 yz y 1 xz 10 z 10
 Giải
Tìm cách giải. Quan sát giả thiết và kết luận, chúng ta nhận thấy giữa số 100 và số 10 có liên quan 
tới nhau: 10 100 xyz . Do vậy, suy luận tự nhiên chúng ta thay 10 ở biểu thức bằng xyz và 
biến đổi tiếp. Tìm cách giải. Thoáng nhìn qua bài toán cũng có quy luật như ví dụ trên. Song thực hiện tương tự 
ngay thì không thành công bởi chúng không khử liên tiếp được. Vẫn định hướng đó, chúng ta 
nghĩ tới kĩ thuật làm trội để sau khi trục căn thức có thể khử liên tiếp được. Do vậy, chúng ta có 
hai cách giải sau:
Trình bày lời giải
 1 1 1 1
Cách 1. Đặt A ... 
 1 3 5 7 9 11 97 99
 1 1 1 1
và B ... 
 3 5 7 9 11 13 99 101
• Ta có: A B 2A A B
 1 1 1 1 1
• Xét A B ... 
 1 3 3 5 5 7 7 11 99 101
 3 1 5 3 7 5 9 7 101 99
 A B ... 
 3 1 5 3 7 5 9 7 101 99
 101 1 100 1 9
 A B .
 2 2 2
 9 9
Mà 2A A B 2A A . Điều phải chứng minh.
 2 4
 1 1 1 1
Cách 2. Ta có: A ...
 1 5 5 9 9 11 97 101
 5 1 9 5 11 9 101 97
 A ... 
 5 1 9 5 11 9 101 97
 101 1 100 1 9
A . Điều phải chứng minh.
 4 4 4
C. Bài tập vận dụng
3.1. Trục căn thức ở mẫu:
 1 15
a) ; b) ;
 2 5 2 2 10 10 20 40 5 80
 2 10
c) .
 2 5 7
 Hướng dẫn giải – đáp số
 1 1
a) Ta có: 
 2 5 2 2 5 2 5 1 2 3 2 10 3 2 10
P 
 2 5 5 1 2 5 5 1
 3 2 10 3 2 10
P 
 3 5 1 3 5 1
 3 2 10 3 5 1 3 2 10 3 5 1 
P 
 3 5 1 3 5 1 
 9 10 3 2 15 2 10 9 10 3 2 15 2 10
P 
 45 1
 24 2 6 2
P .
 44 11
3.4. Thực hiện phép tính:
 1 3 2 2 3 2 2
a) A 175 2 2 ; b) B .
 8 7 17 12 2 17 12 2
 Hướng dẫn giải – đáp số
 8 7
a) A 5 7 2 2 8 7 5 7 2 2 .
 8 7
A 4 7
 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
b) B 2 2
 9 12 2 8 9 12 2 8 3 2 2 3 2 2 
 1 1 1 1
 B 2 2
 3 2 2 3 2 2 2 1 2 1 
 1 1
 B 
 2 1 2 1
 2 1 2 1 
 B 2 .
 2 1
 2 3 1 2 3 3 3 1
3.5. Rút gọn biểu thức: B .
 2 6 2 6 2 6 2 6 2
 Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: 
 2 3 1 2 6 2 3 . 6 3 2 6 3 2 6 2
B . 
 4 6 2.6 4 6 2 15 3 5 5 5 5 10 2 5 5 5
 A 
 20 20 10
 3 5 3 5 3 5 3 5 5 5 
Ta có: B 
 4 2 3 5 4 5 1 5 5 25 5
 15 3 5 5 5 5 10 2 5 5 5
 B .
 20 20 10
 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1
Suy ra: A B ; A.B .
 10 10 5 10.10 5
 3
 3 3 3 5 1 5 4 5
Ta có: A B A B 3AB A B 3. . .
 5 5 5 25
 13 17
3.8. Xác định a, b biết: a 7 b 11 .
 3 7 11 4 7 2 11
 Hướng dẫn giải – đáp số
 13 3 7 11 17. 4 7 2 11 
Xét vế trái: 
 9.7 11 16.7 4.11
 13 3 7 11 17 4 7 2 11 
 52 4.17
 3 7 11 4 7 2 11 7 3
 . 7 . 11 .
 4 4 4 4
 7 3
Đồng nhất hai vế ta được: a ;b .
 4 4
 1 x 1 x
3.9. Cho 2 . Với x 1; x 0.
 1 x 1 x
 x 1
Chứng minh rằng 12 2 17 .
 x 1
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2
 1 x 1 x 1 x 2 1 x2 1 x
 Ta có: 2 2
 1 x 1 x 2x
ĐKXĐ: x 0
 2 2 1 x2
 2 1 1 x2 2.x
 2x
 1 x2 2.x 1.
Bình phương hai vế, ta được: 1 x2 2x2 2 2.x 1 3x2 2 2x 0 .