Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 24: Thực tế đại số - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chuyên đề Bài Toán Thực Tế - ĐẠI SỐ
Chương I
 CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ
 CHƯƠNG TRÌNH ĐÁNH GIÁ HỌC SINH QUỐC TẾ PISA
A. VÍ DỤ MINH HỌA ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ
 PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Bắt đầu từ một vấn đề thực tế
 Diễn đạt lại nội dung vấn đề được đặt ra theo các khái niệm toán học và xác định các 
kiến thức toán học có liên quan.
 Chuyển bài toán thực tế thành bài toán đại diện trung thực cho hoàn cảnh thực tế 
thông qua quá trình đặt giả thuyết, tổng quát, hình thức hóa.
 Giải quyết bài toán bằng phương pháp toán học.
 Làm cho lời giải có ý nghĩa của hoàn cảnh thực tiễn bao gồm xác định những hạn chế 
của lời giải.
Có thể minh họa phương pháp giải như hình vẽ
 5
Lời giải thực tế Lời giải toán học
 5
 4
 1,2,3
 Vấn đề thực tế Vấn đề toán học
 Thế giới hiện thực Thế giới toán học
Ví dụ 1 (Ván trượt)
Eric là một người rất thích môn trượt ván. Anh ấy đến một cửa hàng có tên là SKATER để 
xem giá cả của các loại ván trượt.
Ở cửa hàng này bạn có thể mua ván trượt hoàn chỉnh hoặc có thể mua các bộ phận rời của 
nó: thân ván, một bộ phận 4 bánh xe, 2 trục, 1 bộ các chi tiết đi kèm (vòng bi, miếng đệm cao 
su, bu-lông và các đai ốc) và tự lắp cho mình một cái ván trượt. Sau đây là bảng giá của cửa 
hàng (Hình vẽ).
 Bảng giá của cửa hàng
 Các mặt hàng Gía (zed)
 Ván trượt hoàn chỉnh 82 hoặc 84
 Thân ván 40, 60 hoặc 65
 Một bộ 4 bánh xe 14 hoặc 36
 Một bộ gồm 2 trục 16
 Một bộ các chi tiết 10 hoặc 20
 (vòng bi, miếng đệm cao 
 su, bu-lông, đai ốc)
Câu hỏi
 Chuyên đề Bài Toán Thực Tế - ĐẠI SỐ
 40 14 16 10
 60 14 16 10
 65 14 16 10
 40 36 16 10
 60 36 16 10
 65 36 16 20
 40 14 16 20
 60 14 16 20
 65 14 16 20
 40 36 16 20
 60 36 16 20
 65 36 16 20
Và tính tổng của chúng để tìm ra phương án phù hợp là (65,14,16,20) .
Tuy nhiên cách này mất nhiều thời gian vậy có cách nào đỡ tốn thời gian hơn không? Giáo 
viên có thể gợi ý học sinh tính số tiền nhiều nhất phải bỏ ra và tìm các phương án giảm giá 
thành.
Cách 2:
Có thể thấy rằng ván trượt tốt nhất có giá: 65 + 36 + 16 + 20 = 137 là quá nhiều so với số tiền 
ta có nên cần lựa chọn phương án khác. Cần giảm giá thành xuống ít nhất 17 zeds. Có 
những khả năng sau để có thể giảm giá thành:
Thân ván: Có thể giảm 5 hoặc 25 zeds
Một bộ trục 4 bánh xe: có thể giảm 22 zeds
Trục: không giảm được gì
Các chi tiết: giảm 10 zeds
Danh sách trên làm ta thấy được phương pháp rõ ràng đó là giảm lượng tiền mua bánh xe 
thì tổng số tiền mua sẽ là 115 zeds và là phương án tối ưu nhất.
So sánh hai cách làm ta thấy điều phải liệt kê khả năng xảy ra nhưng cách giải quyết sau 
ngắn gọn, giúp ta tìm thấy được ngay lời giải tối ưu và đây cũng là một cách làm có thể áp 
dụng trong nhiều tình huống khác trong thực tế cuộc sống. Như vậy khi giải quyết một bài 
toán cần suy nghĩ đến tất cả những giải pháp có thể, đánh giá để tìm được giải pháp tối ưu 
nhất về một ý nghĩa nào đó (tiết kiệm thời gian, tiền bạc, công sức,..)
Qua các bước trên ta thấy rằng phương án tốt nhất tìm được là (65,14,16,20 .) Tuy nhiên bài 
toán trên cũng cho thấy một thực tế rằng giữa lý thuyết và thực tế có những khác biệt nhất 
định. Cụ thể là ở ví dụ này với lập luận thích hợp, một trong những giải pháp đưa ra ở trên 
(40, 36,16,20) có thể được coi là “tốt hơn” ví dụ học sinh có thể lập luận rằng đối với một chiếc 
ván trượt có bộ bánh xe chất lượng tốt là vấn đề quan trọng hơn cả.
Ví dụ 2 (Nhịp tim)
Vì lý do sức khỏe, người ta nên hạn chế những nỗ lực của họ, ví dụ như trong thể thao nhịp tim không 
vượt quá tần số nhất định. Trong nhiều năm qua mối quan hệ giữa tỷ lệ khuyến cáo giữa nhịp tim tối 
đa và độ tuổi của một người được mô tả bởi công thức sau:
 Chuyên đề Bài Toán Thực Tế - ĐẠI SỐ
 Câu 5 sẽ được giải quyết dễ dàng nếu học sinh biểu diễn đồ thị của hai hàm số trên 
cùng hệ trục tọa độ (Hình vẽ).
Kết hợp với câu 2 ta thấy, khi x > 40 ta có đồ thị hàm f (x) = 220- x nằm phía dưới đồ thị 
hàm g(x) = 208 - 0, 7x và khi x < 40 thì đồ thị hàm f (x) = 220- x nằm phía trên đồ thị hàm 
g(x) = 208 - 0, 7x . Điều đó có nghĩa là ở độ tuổi trên 40 thì nhịp tim được khuyến cáo ở công 
thức mới cao hơn công thức ban đầu và thấp hơn công thức ban đầu với lứa tuổi dưới 40.
 Đồ thị biểu diễn nhịp tim theo công thức cũ và mới
Bài toán trên minh họa cho những lợi ích của toán học trong việc giải quyết những vấn đề có 
liên quan đến chất lượng cuộc sống của con người. Học sinh phải kết hợp nhiều kỹ năng đã 
học: kỹ năng xây dựng hàm số, kỹ năng rút gọn biểu thức, kỹ năng vẽ và đọc hiểu ý nghĩa 
thực tế của đồ thị...
Ví dụ 3 (Gía sách)
Để làm được một giá sách người thợ mộc cần các bộ phận sau: 4 tấm gỗ dài, 6 tấm gỗ ngắn, 1 2cái 
kẹp nhỏ, 2 cái kẹp lớn và 14 cái ốc vít. Người thợ mộc đang có 26 tấm gỗ dài, 33 tấm gỗ ngắn, 200 
kẹp nhỏ, 20 kẹp lớn, 510 cái ốc vít. Người thợ mộc có thể làm được nhiều nhất là bao nhiêu cái giá 
sách?
Ta có những phân tích sau đối với bài toán:
 Chuyên đề Bài Toán Thực Tế - ĐẠI SỐ
Susan có rất nhiều những hình khối lập phương nhỏ như thế. Bạn ấy sử dụng keo để gắn các hình khối 
với nhau để được những hình khối khác. Bạn ấy đã gắn 8 khối lập phương để được một khối như hình 
2. Hình 2
Câu hỏi 1
Susan cần bao nhiêu khối lập phương nhỏ để làm được một khối như trong hình 3?
 Hình 3
Câu hỏi 2
Susan cần bao nhiêu khối lập phương nhỏ để làm được một khối như trong hình 4?
 Hình 4
Câu hỏi 3
Susan nhận ra rằng bạn ấy đã sử dụng nhiều các khối lập phương nhỏ hơn mức cần thiết để làm được 
hình khối như trong hình 2. Bạn ấy thấy có thể dán các khối nhỏ để được một khối trông giống như 
hình 2 nhưng rỗng bên trong. Em có biết số lượng tối thiểu các khối lập phương nhỏ mà bạn ấy cần để 
làm được hình khối như hình 2 nhưng rỗng bên trong là bao nhiêu không?
Câu hỏi 4
Bây giờ Susan muốn làm một hình khối trông giống như một hình khối đặc có độ dài là 6 khối lập 
phương nhỏ, chiều rộng là 5 khối lập phương nhỏ và chiều cao là khối4 lập phương nhỏ. Bạn ấy 
muốn dùng ít nhất các khối lập phương nhỏ bằng cách để lỗ rỗng lớn nhất có thể ở bên trong hình khối 
này. Số tối thiểu các khối lâp phương nhỏ mà Susan cần dùng để làm hình khối như trên là bao nhiêu?
Bài toán trên gồm một loại câu hỏi khai thác những kiến thức về thể tích của hình hộp chữ 
nhật tuy nhiên các kiến thức toán học không được đưa ra một cách tường minh mà ẩn giấu 
dưới một loạt tình huống xảy ra trong thực tế mà học sinh có thể quan sát được. Để giải 
quyết được bài tập học sinh cần phải hiểu được những kiến thức toán học ẩn dấu bên trong 
tình huống đưa ra là gì. Nếu chưa thể hiểu ngay được thực chất yêu cầu thì với câu 1 một 
cách tự nhiên là học sinh sẽ tìm cách để đếm các khối lập phương nhỏ. Ở hình 1 có 2 lớp khối 
lập phương mỗi lớp có 2x3 6 khối lập phương nhỏ. Vậy tổng số khối lập phương sẽ là 
6x2 12 khối. Ở hình 2 với cách tính tương tự ta cũng tính được số khối lập phương cần 
thiết sẽ là 27 khối. GV có thể đưa ra câu hỏi: Vậy để tính được số khối lập phương cần thiết 
cho một khối hình hộp chữ nhật bất kì ta có thể làm thế nào? Dựa trên việc so sánh cách làm 
 Chuyên đề Bài Toán Thực Tế - ĐẠI SỐ
Mark (từ Sydney, Australia) và Hans (từ Berlin, Đức) thường xuyên trao đổi với nhau bằng cách sử 
dụng “Chat” trên Internet. Để có thể trò chuyện, họ phải đăng nhập cùng một lúc vào mạng. Để tìm 
thời điểm thích hợp, Mark tìm ở bảng múi giờ quốc tế (Hình vẽ) và thấy như sau:
 Bảng múi giờ quốc tế
 Greenwich 12 Nửa đêm Berlin 1:00 AM Sydney 10:00 AM
Câu hỏi 1
Khi ở Sydney là 7 giờ chiều thì ở Berlin là mấy giờ?
Câu hỏi 2
Mark và Hans không thể liên lạc với nhau vào khoảng thời gian từ 9 giờ sang đến 4 giờ 30 phút buổi 
chiều (giờ địa phương) vì họ phải đi học. Ngoài ra, từ 11 giờ tối đến 7:00 sáng (giờ địa phương) họ 
cũng thể trò chuyện vì đó là giờ đi ngủ.
Khi nào là thời gian thuận lợi nhất để Mark và Hans có thể trò chuyện với nhau? Hãy viết giờ địa 
phương vào bảng dưới đây:
 Địa điểm Thời gian
 Sydney
 Berlin
Bài toán 3
Bạn Lan nói với bạn Tuấn rằng: “Trái đất xoay quanh mặt trời và cách mặt trời 15 0triệu km. Nếu 
khoảng cách này tăng thêm một kilomet thì thời gian mà trái đất quay quanh mặt trời cũng chỉ mất 
 1
thêm chưa đầy giây thôi”. Bạn Lan nói có đúng không nếu ta coi quỹ đạo khi trái đất xoay quanh 
 5
mặt trời là hình tròn?
 Hình mô phỏng quỹ đạo của trái đất
Bài toán 4
Cước phí bưu điện của Zealand dựa vào trọng lượng của các mặt hàng (tính theo gam), được cho ở 
bảng dưới đây:
 Bảng cước phí bưu điện của Zealand
 Chuyên đề Bài Toán Thực Tế - ĐẠI SỐ
Bài toán 1 (Tỉ giá)
Câu hỏi 1
Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời đóng.
Đáp án: .3000x4,2 = 12600(ZAR)
Câ hỏi 2
Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời đóng.
Đáp án: 975SGD .
Câu hỏi 3
Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời mở.
Đáp án: Có thể có nhiều cách lập luận như
- Có lợi vì cô ấy nhận 4,2ZAR cho 1SGD nhưng chỉ phải trả 4ZAR cho 1SGD .
- Có, bởi tỷ giá hối đoái thấp hơn, Mei -Ling sẽ nhận được nhiều đô la Singapore hơn 
với số tiền đang có.
- Có, bởi vì mỗi SGD rẻ hơn được 0,2ZAR .
- Có, bởi vì khi bạn chia cho 4,2 kết quả sẽ nhỏ hơn so với khi bạn chia cho 4 .
- Có, có lợi cho mình bởi nếu nó không xuống thì cô ấy sẽ nhận ít hơn khoảng 50SGD .
Nhận xét
Hai câu hỏi đầu tiên của bài tập thuộc về năng lực tái hiện. Cả hai đều yêu cầu học sinh liên kết các 
thông tin cung cấp theo yêu cầu tính toán tuy nhiên câu 2 khó hơn vì nó yêu cầu đảo ngược suy nghĩ. 
Câu 3 có mức độ khó cao hơn yêu cầu học sinh trước hết là xác định các dữ kiện toán học có liên quan, 
so sánh cả hai câu trả lời, kết luận và đồng thời giải thích kết luận đưa ra. Ở kì đánh giá 2003 có 
79, 7% học sinh thuộc khối OECD trả lời đúng câu hỏi 3.
 Bài toán 2
 Câu hỏi 1
 Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời đóng.
 Đáp án: 10 giờ sáng.
 Câu hỏi 2
 Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời ngắn.
 Đáp án: Học sinh sẽ trả lời đúng nếu đưa ra được bất kì thời gian nào phù hợp với điều 
kiện đã cho và chênh lệch về thời gian là 9 giờ. Đáp án có thể được lấy từ một trong những 
khoảng thời gian sau đây:
 Sydney: 4:30 PM – 6:0 PM; Berlin: 7:30 PM – 9:00 AM.
 Sydney: 7:00 AM – 8:00 AM; Berlin: 10:00 PM – 11:00 PM.
 Nhận xét
 Mặc dù các dữ kiện đưa ra ít và có vẻ đơn giản nhưng đây là một câu hỏi khá phức tạp. Học sinh 
cần hiểu được rằng thời gian ngủ và thời gian ở trường hạn chế thời gian thích hợp hai người có thể 
trò chuyện với nhau. Đầu tiên cần phải xác định thời gian rỗi của mỗi người theo giờ địa phương sau 
đó so sánh để tìm được thời gian mà cả hai có thể thực hiện chúng cùng một lúc. Theo báo cáo của 
PISA năm 2003, chỉ có 2học9% sinh các nước trong khối OECD trả lời thành công câu hỏi này.