Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 23: Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình không mẫu mực - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chương 
Chuyên đề 23. PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
A. Một số ví dụ
 2 2
 2x 3y xy 12 1 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 2 2 
 6x x y 12 6y y x 2 
(Tuyển sinh lớp 10, chuyên Toán, Đại học Khoa học tự nhiên Hà Nội, năm học 2014-2015)
 Giải
 2 2
 2x 3y xy 12 1 
 2 2 
 6x x y 12 6y y x 2 
 2x2 2xy 3xy 3y2 12 x y . 2x 3y 12
 2 2 
 6x 6y x y y x 12 x y . 6 xy 12
Vì vế phải của mỗi phương trình là số khác 0, nên x y 0 .
 x 3 0
Suy ra 2x 3y 6 xy x 3 y 2 0 
 y 2 0
* Trường hợp 1. Xét x 3 0 x 3 thay vào phương trình (1) ta được:
 2 2
18 3y 3y 12 y y 2 0 
Giải ra ta được y1 1; y2 2 .
* Trường hợp 2. Xét y 2 0 y 2 thay vào phương trình (1) ta được:
 2 2
2x 12 2x 12 x x 12 0 
Giải ra ta được x1 3; x2 4 .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y là: 3; 1 ; 3;2 ; 4;2 .
 x 1 y 1 3 1 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: 
 2 2
 xy x y x 2y 2 
 Giải
Tìm cách giải. Ta nhận thấy nếu bình phương 2 vế phương trình (1) thì thu được kết quả không 
khả quan. Vì vậy ta tập trung vào phân tích phương trình (2) thành nhân tử. Sau đó biểu thị x theo 
y, thế vào phương trình (1) ta được phương trình một ẩn y. Giải phương trình vừa nhận được.
Trình bày lời giải
Điều kiện x 1 ; y 1. x3 2xy2 y. x2 8y2 0
 x3 8y3 x2 y 2xy2 0 x 2y x2 xy 4y2 0
 x 2y 0
 2 2
 x xy 4y 0
* Trường hợp 1. x 2y 0 x 2y thay vào phương trình (2) ta được:
 4y2 8y2 12 y2 1 y 1 . Suy ra x  2 .
* Trường hợp 2. x2 xy 4y2 0 x y 0 thay vào phương trình (2) vô nghiệm. 
Vậy phương trình có nghiệm x; y là: 2;1 ; 2; 1 .
 2 2
 x y xy 1 4y 1 
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình 
 x2 1 x y 2 y 2
(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Bắc Giang, năm học 2013-2014) 
 Giải
Tìm cách giải. Bài toán khá khó phát hiện cách giải. Quan sát kỹ cấu tạo mỗi phương trình, chúng 
ta nhận thấy nếu từ phương trình (1) x2 1 4y y2 xy thế vào phương trình (2) thì hai vế có 
nhân tử y chung, nên có khả năng giải được dễ dàng, đó là cách giải 1. Ngoài ra, phương trình (1) 
có thể làm xuất hiện x2 1 và x y 2 nên ta nghĩ tới đặt ẩn phụ, đó là cách giải 2.
Trình bày lời giải
Cách 1. Từ phương trình (1) suy ra: x2 1 y 4 x y .
Thay thế vào phương trình (2) ta được:
y 4 x y x y 2 y y 4 x y . x y 2 1 0 
* Trường hợp 1. Xét y = 0 thay vào phương trình (1) ta được:
x2 1 0 vô nghiệm.
* Trưởng hợp 2. Xét 4 x y x y 2 1 0
Đặt x y t , ta được: 4 t t 2 1 0 t2 6t 9 0 t 3 .
Suy ra x y 3 x 3 y thay vào phương trình (1) ta được:
 2 2 2
 3 y y 3 y y 1 4y y 7y 10 0 . Giải ra ta được: y1 2; y2 5 .
* Với y = 2 ta được x = 3 – 2 = 1.
* Với y = 5 ta được x = 3 – 5 = -2. 2x x x x 3 4x 3 3x x 3 4x 3 x3 4x 3 0
 1 13 1 13
Giải ra, ta được: x 1; x ; x .
 1 2 2 3 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:
 1 13 1 13 1 13 1 13 
(1;1), ; ; ; .
 2 2 2 2 
Cách 2. Từ phương trình (1) và (2), vế trừ vế ta được:
x y y x 3 4x 3 3 4y 3 0
 3 4x 3 4y 3 
 xy x y 0
 4x 3 4y 3
 12 x y x y 
 xy x y 0
 4x 3 4y 3
 12 
 x y xy 0
 4x 3 4y 3 
 x y 0 x y
Suy ra: 2x x x x 3 4x 3 3x x 3 4x 3 x3 4x 3 0
 1 13 1 13
Giải ra, ta được: x 1; x ; x .
 1 2 2 3 2
 1 13 1 13 1 13 1 13 
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là: 1;1 ; ; ; ; 
 2 2 2 2 
 xz x 4 (1)
 2
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình: 2y 7 xz 3x 14 (2) 
 2 2 2
 x z 35 y   3 
 Giải
Từ phương trình (1) x xz 4 thay vào phương trình (2) ta được: 
2y2 7 xz 3 xz 4 14 y2 2xz 1 
Thay vào phương trình (3) ta được:
 2 2 2 x z 6
x z 35 2xz 1 x z 36 
 x z 6
• Trường hợp 1. Xét x z 6 z 6 x thay vào phương trình (1) ta được: Từ phương trình (1) và (3) vế trừ vế ta được: y2 z2 xy zx 6 y z x y z 6 kết hợp 
 2
với (4): y z .3x 6 y z 
 x
Mặt khác y z 2x .
 1 1
Suy ra: y x ; z x thay vào phương trình (2) ta được:
 x x
 2 2
 1 1 1 1 4 2
 x x x x 4 3x 4x 1 0
 x x x x 
 3 3
Giải ra ta được: x 1; x 1; x ; x 
 1 2 3 3 4 3
• Với x = 1 suy ra: y 1 1 0; z 1 1 2 .
• Với x = - 1 suy ra: y 1 1 2; z 1 1 0 .
 3 3 3 2 3 3 3 4 3
• Với x suy ra: y ; z .
 3 3 3 3 3 3 3
 3 3 3 2 3 3 3 4 3
• Với x suy ra: y ; z .
 3 3 3 3 3 3 3
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y;z là 
 3 2 3 4 3 3 2 3 4 3 
1;0;2 ; 1;2;0 ; ; ; ; ; ; 
 3 3 3 3 3 3 
 x2 2x y 2y x
 2
Ví dụ 9. Giải hệ phương trình y 2y z 2z y
 z2 2z x 2x z
(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Bắc Ninh, năm học 2009-2010)
 Giải
Tìm lời giải: Bài toán này là dạng hoán vị vòng quanh vì vậy chúng ta nên dùng kỹ thuật đánh giá 
ẩn. Vế trái của mỗi phương trình có bóng dáng của hằng đẳng thức nên chúng ta dựa vào đó để 
đánh giá ẩn.
Trình bày lời giải
Điều kiện: x 0;y 0;z 0 Trường hợp 1. Xét x y 0 x y thay vào phương trình (1) ta được:
x2 2x 1 0 x 1 suy ra y 1 
Trường hợp 2. Xét x y 1 0 y 1 x thay vào phương trình (1) ta được:
x2 2 1 x 1 0 x2 2x 1 0 
Giải ra ta được: x1 1 2 y1 1 1 2 2 2 ; 
x2 1 2 y2 1 1 2 2 2
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình x; y là 1;1 ; 1 2;2 2 ; 1 2;2 2 
 8
 2 3x (1)
 3
 y
1.3. Giải hệ phương trình: 
 6
 x3 2 ( 2 )
 y
(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Thanh Hóa, Năm học 2012-2013)
 Hướng dẫn giải – Đáp số
Từ phương trình (1) và (2) cộng vế với vế ta được
 3 8 6 3 8 6 2 2 2x 4 
x 3x 3 x 3 3x 0 x . x 2 3 0 
 y y y y y y y 
 2
 2 2x 4 1 3 2 2
Ta có x 2 3 x 2 3 0 nên x 0 x thay vào phương trình (1) ta 
 y y y y y y
được:
 6 8 3 2 2 y 1 0 y 1
2 3 y 3y 4 0 y 1 . y 2 0 
 y y y 2 0 y 2
 2
- Với y 1 x 2 
 1
 2
- Với y 2 x 1
 2
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình x; y là 2;1 ; 1; 2 
 y x2 (1)
1.4. Giải hệ phương trình: z xy( 2 ) 
 1 1 6
 ( 3 )
 x y z
(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2011-2012)
 Hướng dẫn giải – Đáp số