Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 22: Phương trình vô tỉ - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chuyên đề 22. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
A. Kiến thức cần nhớ
Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn. Để giải phương trình vô tỉ, ta thường 
làm như sau:
+ Đặt điều kiện cho ẩn 
+ Bình phương hai vế khi hai vế đều dương.
+ Đặt ẩn phụ, giải phương trình ẩn mới.
+ Đánh giá hai vế của phương trình.
+ Sau khi tìm được nghiệm cần kiểm tra lại điều kiện của nghiệm, chọn thích hợp.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x2 10x 9 5. 2x2 5x 3 
(Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Quảng Trị năm học 2012 - 2013)
 Giải
Tìm cách giải. Quan sát đề bài, chúng ta nhận thấy bài toán có dạng: a.f x b f x c 0 . Do 
đó nên đặt: f x y . Giải phương trình ẩn y. 
Trình bày lời giải
Đặt 2x2 5x 3 y y 0 , suy ra 2x2 5x 3 y2 .
Phương trình có dạng: 2y2 3 5y 2y2 5y 3 0 .
 3
Giải ra ta được: y 1; y .
 1 2 2
 1
• Với y = 1 thì 2x2 5x 3 1 2x2 5x 3 1 2x2 5x 2 0 x 2; x 
 1 2 2
 3
• Với y thì 
 2
 3 9 3 5 19 5 19
 2x2 5x 3 2x2 5x 3 2x2 5x 0 x ; x 
 2 4 4 3 4 4 4
 1 5 19 5 19 
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S 2; ; ;  
 2 4 4  
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
 2
a) x2 3x 6 x2 3x 7 0 Ví dụ 3. Giải phương trình: x2 x 5 5 
(Thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định, năm học )
 Giải
Tìm cách giải. Quan sát phương trình ta có thể tiếp cận cách giải theo các hướng sau:
- Hướng 1. Quan sát nếu nâng lên lũy thừa để khử căn thì được phương trình bậc bốn, nên nếu có 
nghiệm thì hoàn toàn giải được bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử.
 2 2
 2 1 1 
- Hướng 2. Bài toán có dạng x m x m nên có thể đưa về x x m . Từ đó giải 
 2 2 
tiếp được phương trình đơn giản.
- Hướng 3. Bài toán có dạng x2 m x m nên có thể chuyển về giải hệ phương trình đối xứng, 
bằng cách đặt x m y ta được hệ phương trình:
 x2 m y
 2 
 y m x
Trình bày lời giải
 x 5 0 5 x 5
 x2 5 x 5 
Cách 1. Ta có: có điều kiện 2 
 x 5 0 x 5
Bình phương hai vế ta được: x 4 10x2 25 x 5 
x 4 10x2 x 20 0 x 4 x3 4x2 x3 x2 4x 5x2 5x 20 0 
 x2 x 4 x2 x 5 0 .
 1 17 1 17
Giải phương trình: x2 x 4 0 ta được x ; x 
 1 2 2 2
 1 21 1 21
Giải phương trình: x2 x 5 0 ta được x ; x 
 3 2 4 2
Kết hợp với tập xác định ta được, nghiệm của phương trình là:
 1 21 1 17 
S ;  
 2 2  
 1 1
Cách 2. Xét x2 x 5 5 x2 x x 5 x 5 
 4 4
 1 1
 2 2 x x 5 1 
 1 1 2 2
 x x 5 
 2 2 1 1
 x x 5 2 
 2 2 x = 0, không phải là nghiệm của phương trình nên x 0 . Giải phương trình ẩn t, ta được: 
 6 6 x 1 6 6 x 1
t ;t 
1 x 2 x
 6 6 x 1
• Trường hợp 1. t tx 6 6t x 6 t 6 (loại) vì x 6 0,t 0 . 
 x
 6 6 x 1 6 6
• Trường hợp 2. t tx 6 6t t x 1 , bình phương hai vế ta 
 x 6 x 6 x
 36
được: x 1 với x 6 x3 11x2 24x 0 x2 11x 24 0 , 
 36 12x x2
vì x 0 x1 3 (thỏa mãn), x2 8 (loại)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3 .
 2 2
Cách 2. x2 2x 1 x 1 12 x 1 36 x 1 x 1 6 
 x 1 x 1 6
 x 1 6 x 1
• Trường hợp 1. x 1 x 1 6 x 7 x 1 x2 14x 49 x 1 x2 13x 48 0 vô 
nghiệm.
• Trường hợp 2. x 1 6 x 1 x 1 5 x x 1 25 10x x2 với điều kiện x 5 .
x2 11x 24 0 .
Giải ra ta được x = 3 (thỏa mãn), x = 8 (không thỏa mãn).
Vậv tập nghiệm của phương trình là S 3 .
Ví dụ 5. Giải phương trình: x2 2x 2 2x 1 
(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2009 - 2010) 
 Giải
Tìm cách giải. Quan sát đặc điểm của phương trình, ta thấy có hai hướng suy nghĩ:
• Cách 1. Vì vế phải xuất hiện dạng: 2 f x còn vế trái xuất hiện x2 , nên tìm cách đưa về hằng 
 2 2
đẳng thức: x a f x b . Sau đó giải tiếp.
• Cách 2. Đưa về hệ phương trình đối xứng loại hai.
Trình bày lời giải
 1
Cách 1. x2 2x 2 2x 1 x2 2x 2 2x 1 . Điều kiện x .
 2 Tìm cách giải. Để giải dạng toán này, ta thường có hai cách:
• Cách 1. Chuyển thành hệ phương trình đối xứng loại 1, bằng cách đặt phần chứa căn bằng y.
 2
• Cách 2. Nhận thấy: x2 và 17 x2 có tổng là hằng số, đồng thời trong phương trình xuất hiện 
x 17 x2 , nên chúng ta có thể đặt: x 17 x2 y . Sau đó biểu diễn phần còn lại theo y.
Trình bày lời giải
Cách 1. Đặt y 17 x2 y 0 x2 y2 17 .
 x2 y2 17
Từ đó, ta có hệ phương trình 
 x y xy 9
 u2 2v 17 (1)
Đặt x y u; xy v . Hệ phương trình có dạng 
 u v 9 (2)
Từ phương trình (2) ta có v 9 u thay vào phương trình (1) ta được: 
u2 2 9 u 17 u2 2u 35 0
 Giải ra ta được: u1 5 v1 4 ; u2 7 v2 16 .
 x y 5
• Trường hợp 1. Xét u = 5; v = 4 ta có 
 xy 4
 x, y là nghiệm của phương trình X 2 5X 4 0 (3). Giải hệ phương trình (3) ta được 
X1 1; X2 4  
 x 1 x 4
Suy ra ; 
 y 4 y 1
 x y 7
• Trường hợp 2. Xét u = -7; v = 16 ta có 
 xy 16
 x, y là nghiệm của phương trình X 2 7 X 16 0 (4).
Phương trình này vô nghiệm.
Suy ra hệ phương trình này vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;4 .
Cách 2.
 y2 17
Đặt: y x 17 x2 y2 17 2x 17 x2 x 17 x2 
 2
 y2 17
Phương trình đã cho có dạng: y 9 y2 2y 35 0 .
 2 1
1.3. Giải phương trình 2x x x 2 .
 4
 Hướng dẫn giải – đáp số
 1
Điều kiện x 
 4
 1 1 1 1
2x x x 2 2x x x 2
 4 4 4 4
 2
 1 1 1 1
 2x x 2 2x x 2
 4 2 4 2
 2
 1 3 1 3 3
 x 2x x 2x với điều kiện x 
 4 2 4 2 4
 1 9 5 1 5
 x 6x 4x2 4x2 7 x 0 Giải ra ta được x ; x . 
 4 4 2 2 4
 1
So sánh với điều kiện, ta được x (thỏa mãn)
 2
 1
Vậy nghiệm của phương trình là x .
 2
1.4. Giải phương trình:
a) x3 3x2 2 x 2 x 2 6x ;
b) x 5 x 1 6 .
 Hướng dẫn giải - Đáp số
a/ x3 3x2 2 x 2 x 2 6x x3 3x x 2 2 x 2 x 2 0
Điều kiện x 2 
Đặt x 2 y y 0 phương trình có dạng: x3 3xy2 2y3 0 
 2
 x3 xy2 2xy2 2y3 0 x y x 2y 0 
- Trường hợp 1. Xét x y 0 x y 
 x 2 x x2 x 2 0 với x 0 . Giải ra ta được x = -1 (loại), x = 2 (thỏa mãn).
- Trường hợp 2. Xét x 2y 0 x 2 x 2 0 
 2
 x 2 1 3 x 2 1 3 x 2 2 3