Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 21: Hệ phương trình bậc cao - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO 
Chuyên đề 21
A. Một số ví dụ
 x2 xy y2 1
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 2 2
 x xy 2y 4
(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên , Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm học 2014-2015)
 Giải
 y2 1
• x 0
 Xét ta có hệ 2 hệ vô nghiệm
 y 2
 x2 1
• y 0
 Xét ta có hệ 2 hệ vô nghiệm
 x 4
• Vậy x; y khác 0 đặt x ty;t 0
 2 2 2 2 2 2
 t y ty y 1 y t t 1 1
Ta có hệ (*)
 t2 y2 ty2 2y2 4 2 2
 y t t 2 4
Vì mỗi vế hệ (*) khác 0 ta chia 2 vế hệ (*) cho nhau ta được :
t2 t 1 1
 4t2 4t 4 t2 t 2 3t2 5t 2 0
t2 t 2 4
 t 1
 t 1 3t 2 0 2
 t 
 3
 y2 1
 t 1 x y x; y 1;1 ; 1; 1
 Với thay vào hệ (*) ta được : 2 giải ra ta có nghiệm 
 4y 4
 2 2
 Với t x y thay vào hệ (*) ta được:
 3 3
 4 2 7
 y2 y2 y2 1 y2 1
 9 3 9
 4 2 28
 y2 y2 2y2 4 y2 4
 9 3 9
 2 7 7 2 7 7 
Giải ra ta có nghiệm x; y ; ; ; 
 9 3 9 3  
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là :
 2 7 7 2 7 7 
 x; y 1;1 ; 1; 1 ; ; ; ; 
 9 3 9 3  Để giải hệ phương trình dạng này, chúng ta thường đặt ẩn phụ x y u;xy v . Sau đó giải hệ 
phương trình này.
 3 2
 x 1 2 x x y 1 
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình : 
 3 2
 y 1 2 y y x 2 
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Tiền Giang , năm học 2011-2012)
 Giải
Từ phương trình (1) và (2) vế trừ vế ta được:
x3 y3 2 x2 y2 4 x y x y x2 xy y2 2 x y 4 0
Ta có : x2 xy y2 2 x y 4 0
 3 x y 2 x y 2
 2 x y 4 0
 4
 3 x y 2 x y 2 8 x y 16 0
 2 x y 2 8 x y 8 x y 2 x y 2 8 0
 2 x y 2 2 x y 2 x y 2 8 0
Phương trình vô nghiệm , nên x y 0 , thay vào phương trình (1) ta được:
x3 1 2x2 x3 2x2 1 0 x 1 x2 x 1 0
• Trường hợp 1: x 1 0 x 1
 1 5 1 5
• Trường hợp 2: x 1 0 x 1 Giải ra ta được x ;x 
 1 2 2 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là :
 1 5 1 5 1 5 1 5 
 x; y 1;1 ; ; ; ; 
 2 2 2 2  
Nhận xét . Hệ phương trình trên là hệ phương trình đối xứng loại hai . Hệ phương trình đối xứng 
loại hai là hệ phương trình nếu đổi vai trò của ẩn cho nhau thì phương trình này thành phương 
trình kia và ngược lại . Để giải hệ phương trình dạng này, chúng ta lấy vế trừ vế rồi phân tích đa 
thức thành nhân tử phương trình vừa nhận được .
 x2 xy 2y2 0
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình 2
 xy 3y x 3
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9 , tình Hải Dương , năm học 2011-2012)
 Giải 2 2 2 2
 x y 2x 2y 11 x 2x y 2y 11
 x2 y2 2x2 y 2xy2 4xy 24 2 2
 x 2x y 2y 24
 2 2 u v 11
Đặt : x 2x u, y 2y v . Hệ phương trình có dạng : . Suy ra u,v là nghiệm của 
 uv 24
phương trình: X2 11X 24 0
Giải phương trình , ta được : X1 3,X2 8
 u 3 u 8
Suy ra : ; 
 v 8 v 3
 2
 u 3 x2 2x 3 x 1 4 x 1 2
Trườn hợp 1. Xét 
 v 8 2 2 y 1 3
 y 2y 8 y 1 9 
Suy ra nghiệm của phương trình : x; y 1;2 , 1; 4 , 3;2 , 3; 4 
 2
 u 8 x2 2x 8 x 1 9 x 1 3
Trường hợp 2 . Xét 
 v 3 2 2 y 1 2
 y 2y 3 y 1 4 
Suy ra nghiệm của phương trình : x; y 2;1 , 2; 3 , 4;1 , 4; 3 
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là :
 x; y 1;2 , 1; 4 , 3;2 , 3; 4 , 2;1 , 2; 3 , 4;1 , 4; 3 
 y2 3x x2 8y 5
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình : 
 x x 3 y y 8 13
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9 , tỉnh Nam Định , năm học 2011-2012)
 Giải
 2 2
 y2 3x x2 8y 5 y 3x x 8y 5
 2 2
 x x 3 y y 8 13 y 3x x 8y 13
Đặt y2 3x u; x2 8y v u 0;v 0 
 u v 5 v 5 u
Hệ phương trình có dạng 2 2 2 2
 u v 13 u 5 u 13
 v 5 u u 2 u 3
 ;
 2 
 u 5u 6 0 v 3 v 2
 2 2
 u 2 y 3x 2 y 3x 4 1 
• Trường hợp 1. Xét ta có 
 v 3 2 x2 8y 9 2
 x 8y 3 1 1 u v 4 0 u v 4
 Đặt u x ;v y hệ phương trình có dạng 
 x y u.v 4 0 uv 4
 Suy ra u, v là nghiệm của phương trình X2 4X 4 0
 Giải ra ta được X1 X2 2
 1
 x 2
 x x2 2x 1 0 x 1
 Suy ra u v 2 . Do đó 
 1 2 y 1
 y 2 y 2y 1 0 
 y
 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 1; 1 
 B. Bài tập vận dụng
 x2 3xy y2 1
 21.1. Giải hệ phương trình : 2 2
 3x xy 3y 13
 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9 , tỉnh Nghệ An , năm học 2012-2013)
 Hướng dẫn giải – đáp số
 y2 1
 • x 0
 Xét ta có hệ 2 hệ vô nghiệm
 3y 13
 x2 1
 • y 0
 Xét ta có hệ 2 hệ vô nghiệm 
 3x 13
• Vậy x; y khác 0 đặt x ty;t 0
 2 2 2 2 2 2
 t y 3ty y 1 y t 3t 1 1
 Ta có hệ (*)
 3t2 y2 ty2 3y2 13 2 2
 y 3t t 3 13
 Vì mỗi vế hệ (*) khác 0 ta chia vế hệ (*) cho nhau ta được :
 t2 3t 1 1
 13t2 39t 13 3t2 t 3 2t2 5t 2 0
 3t2 t 3 13
 t 2
 t 2 2t 1 0 1
 t 
 2
 y2 1
 • t 2 x 2y
 Với thay vào hệ (*) ta được : 2
 13y 13
 Giải ra ta có nghiệm x; y 2;1 ; 2; 1 
 1 1
 • Với t x y thay vào hệ (*) ta được :
 2 2 5 2y 2 2y2 2y 5 2y 5 y2 3y 2 0
Giải ra ta được y1 1; y2 2
• Với y 1 ta được x 5 2.1 3
• Với y 2 ta được x 5 2.2 1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y 3;1 ; 1;2 
 x2 y2 2xy 1
21.4. Giải hệ phương trình 3 3
 x y 2xy 3
 Hướng dẫn giải – đáp số
 x2 y2 2xy 1 x y 1 x y 1
 3 3 3 3 hoặc 3 3
 x y 2xy 3 x y 1xy 3 x y 2xy 3
 x y 1 1 
•
 Trường hợp 1: Giải hệ phương trình 3 3
 x y 2xy 3 2 
Từ phương trình (1) ta có x y 1 thay vào phương trình (2) ta được :
 y 1 3 y3 2y y 1 3 y2 y 2 0
Giải ra ta được y1 1 x1 2; y2 2 x2 1
 x y 1 3 
•
 Trường hợp 2 : Giải hệ phương trình 3 3
 x y 2xy 3 4 
Từ phương trình (3) ta có x y 1 thay vào phương trình (4) ta được 
 3
 y 1 y3 2y y 1 3 5y2 4 0 phương trình vô nghiệm 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y 1;2 ; 2; 1 
 3 85
 4xy 4 x2 y2 
 2
 x y 3
21.5. Giải hệ phương trình : 
 1 13
 2x 
 x y 3
(Thi học sinh giỏi , Tỉnh Thái Bình , năm học 2009-2010)
 Hướng dẫn giải – đáp số
 3 85 2 2 3 85
 4xy 4 x2 y2 3 x y x y 
 2 2
 x y 3 x y 3
 1 13 1 13
 2x x y x y 
 x y 3 x y 3
Đặt x y u;x y v hệ phương trình có dạng