Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 20: Vị trí tương giao giữa parabol và đường thẳng - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chương VỊ TRÍ TƯƠNG GIAOGIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Chuyên đề 20
A.Kiến thức cần 
 Cho Parabol (P): y ax2 a 0 và đường thẳng y bx c có đồ thị là (d) . Khi đó hoành độ 
 giao điểm (P) và (d) là nghiệm của phương trình:ax2 bx c (*)
 • (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
 • (P) không cắt (d) phương trình (*) vô nghiệm
 • (P) tiếp xúc với (d) phương trình (*) có nghiệm kép
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1:Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, Cho Parabol (P) có phương trình y x2 và đường thẳng (d) 
có phương trình y kx 1 (k là tham số) . Tìm k để đường thẳng d cắt Parabol (P) tại hai điểm 
phân biệt M,N sao cho MN 2 10
(Thi học sinh giỏi Toán 9,tỉnh Bắc Ninh, năm học 2012-2013)
 Giải
Tìm cách giải. Để giải quyết dạng toán này , chúng ta cần thực hiện qua các bước sau:
• Bước 1. Tìm điều kiện để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Tức là phương trình 
 x2 kx 1 có hai nghiệm phân biệt.
• Bước 2. Vận dụng hệ thức Vi-ét. Vì M x1; y1 , N x2 ; y2 thuộc (d), biểu diễn y1, y2 theo x1, x2 rồi 
 theo k.
• Bước 3. Vận dụng công thức : M x1; y1 , N x2 ; y2 thì:
 2 2
 MN x2 x1 y2 y1 .Sau đó tìm k
Bước 4. Nhận xét, so sánh k tìm được với bước 1, rồi trả lời
Trình bày lời giải
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M x1; y1 , N x2 ; y2 thì x1; x2 là nghiệm của phương trình : 
x2 kx 1 0
Xét k 2 4 0 với mọi k, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 
Do đó (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
 x1 x2 k
Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
 x1.x2 1
Vì M, N thuộc (d) nên y1 kx1 1; y2 kx2 1 y2 y1 k x2 x1 Ví dụ 3:Trong cùng một hệ tọa độ , cho đường thẳng d : y x 2 và Parabol (P): y x2 . Gọi A 
và B là giao điểm của d và (P) 
 a) Tính độ dài AB
 b) Tìm m để đường thẳng d : y x m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho CD AB
 (Thi học sinh giỏi Toán 9,Tỉnh Thanh Hóa năm 2011-2012)
 Giải
a) Hoành độ của A và B là nghiệm của phương trình :
 2 2
 x x 2 x x 2 0 x1 1;x2 2
 • Với x 1thì y 1 2 1 suy ra A 1; 1 
 • Với x 2 thì y 2 2 4 suy ra B 2; 4 
 2 2
 Độ dài đoạn thẳng AB là : AB 1 2 1 4 3 2 (đvđd)
 b) Điều kiện để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt C và D là : x2 x m có hai 
 1
 nghiệm phân biệt 1 4m 0 m 
 4
 2
 Đặt C x1; y1 ;D x2 ; y2 thì x1;x2 là nghiệm của phương trình : x x m 0
 x1 x2 1
 Theo hệ thức Vi-et ta có : 
 x1x2 m
 Vì C x1; y1 ;D x2 ; y2 thuộc (d) nên y1 x1 m; y2 x2 m
 2 2 2 2 2
 CD AB x2 x1 y2 y1 3 2 x2 x1 x2 x1 18
 2 2
 x2 x1 9 x2 x1 4x1x2 9 1 4m 9 m 2
 Vậy với m 2 thì đường thẳng d : y x m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho CD AB
 1 1
Ví dụ 4:Cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y x 2
 4 2
 a) Vẽ đồ thị của (P) và (d) trên cùng hệ trục Oxy
 b) Gọi A,B là giao điểm của (P) và (d) . Tìm điểm M trên cung A¼OB của (P) 
 Sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất 
 c) Tìm điểm N trên trục Ox sao cho NA NB nhỏ nhất
 Giải
Tìm cách giải
• Để tìm vị trí điểm M sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất , ta có hai hướng suy nghĩ: 1 1
 Khi đó , phương trình d là y x . Tiếp điểm có hoành độ là nghiệm kép của 
 2 4
 1
 phương trình: x2 2x 1 0 x 1 y 
 4
 1 
 Tọa độ tiếp điểm là T 1; 
 4 
 1
 Kẻ MH  AB . Ta có : S AB.MH . Do đó AB không đổi nên S lớn nhất 
 ABM 2 ABM
 1 
 MH lớn nhất M trùng với T M 1; 
 4 
c) Tọa độ giao điểm của A và B của (P) và (d) có hoành độ là nghiệm của phương trình : 
 1 1
 x2 x 2 x2 2x 8 0
 4 2
 Suy ra x1 4;x2 2 y1 4; y2 1
 Do đó A 4;4 ;B 2;1 . Lấy B đối xứng với B 2;1 qua Ox , ta có B 2; 1 khi đó 
 NB NB 
 NA NB NA NB AB 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A, N,B thẳng hàng . Suy ra điểm N cần tìm chính là giao 
 điểm của AB và trục Ox . Gọi phương trình của đường thẳng AB có dạng y mx n . Do 
 A 4;4 và B 2; 1 thuộc đường thẳng nên : 1
(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt 0 1 4m 0 m 
 4
 x1 x2 1
Theo hệ thức Vi-et ta có : 
 x1x2 m
Vì A x1; y1 ;B x2 ; y2 thuộc (d) nên:
y1 x1 m; y2 x2 m; y2 y1 x2 x1
 ABCvuông tại O OA2 OB2 AB2
 2 2 2 2 2 2
 x1 y1 y2 x2 x1 x2 y1 y2 
 x1x2 y1y2 0 x1x2 x1 m x2 m 0
 2 2 m 0
 2x1x2 m x1 x2 m 0 2 m m.1 m 0 
 m 1
Kết hợp với điều kiện thì m 1 thỏa mãn , ta có (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm A,B phân biệt cho 
tam giác OAB là tam giác vuông tại O
C. Bài tập vận dụng
20.1.Cho hàm số y x2 . Tìm các giá trị của m để đường thẳng phương trình y x m cắt đồ thị tại 
 4 4
hai điểm phân biệt A x1; y1 ;B x2 ; y2 thỏa mãn x2 x1 y2 y1 18
(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Bắc Giang năm học 2012-2013)
 Hướng dẫn giải – đáp số
 Vì A x`1; y1 ;B x2 ; y2 thuộc (d) nên:
 y1 x1 m; y2 x2 m; y2 y1 x2 x1
 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d : x2 x m x2 x m 0 2
 2 1 3
 a) Ta có: m m 5 m 4 0
 2 4
 Nên y f x nghịch biến trong khoảng ;0 và đồng biến trong khoảng 0; 
 b) Với m 0 thì f x 5.x2 100 x2 20 với x nguyên nên :
 x 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4
 x2
20.4. Cho đường thẳng d : y mx m 2 (m là tham số) và Parabol P : y 
 2
 a) Tìm m để đường thẳng (d) và Parabol (P) cùng đi qua điểm có hoành độ x 4
 b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm 
 phân biệt
 c) Giả sử x1; y1 và x2 ; y2 là tọa độ các giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) . 
 Chứng minh rằng : y1 y2 2 2 1 . x1 x2 
 Hướng dẫn giải – đáp số
 42
 a) Với x 4 thì y 8 I 4;8 
 2
 Điểm I đó thuộc d 8 4m m 2 m 2
 b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: 
 x2
 mx m 2 0 x2 2mx 2m 4 0
 2
 2
 Có ' m2 2m 4 m 1 3 0 với mọi m, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt . 
 Vì vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
 2
 c) x1;x2 là nghiệm của phương trình : x 2mx 2m 4 0 theo hệ thức Vi-et:
 x1 x2 2m
 2
 Do đó: y1 y2 m x1 x2 2m 4 2m 2m 4
 Nhận thấy : y1 y2 2 2 1 . x1 x2 
 2
 2m2 2m 4 2 2 1 .2m m2 2 2m 2 0 m 2 0
 (luôn đúng với mọi m ) nên suy ra điều phải chứng minh
20.5.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho Parabol P : y x2 và đường thẳng (d) có phương trình 
y mx 1(m là tham số) AD MN 1 m2
 Diện tích hình thang AMND là: S gDN  m 1 (đv.dt)
 1 2 2
 BC MN m2 9
 Diện tích hình thang BCNM là : S gCN  3 m (đv.dt)
 2 2 2
 Suy ra diện tích tam giác AMB là:
 1 m2 m 1 9 m2 3 m 
 S S S S 20 
 AMB 1 2 2 2
 2 2
 SABM 6 2m 4m 8 2 m 1 8
 Vậy diện tích tam giác AMB lớn nhất là 8 (đv.dt) khi m 1
 2 ·
20.7. Cho Parabol P : y x . Trên (P) lấy hai điểm A1;A2 sao cho A1OA2 90 (O là gốc tọa 
độ).Hình chiếu vuông góc của A1;A2 trên trục hoành lần lượt là B1;B2
Chứng minh rằng OB1.OB2 1
(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hưng Yên, năm học 2011-2012)
 Hướng dẫn giải – đáp số
 Đặt A1 x1; y1 ;A2 x2 ; y2 thì B1 x1;0 ;B2 x2 ;0 
 2 2
 Vì A1;A2 P nên y1 x1 ; y2 x2
 · 2 2 2
 A1OA2 90 A1A2 A1O A2O
 2 2 2 2 2 2
 x1 x2 y1 y2 x1 y1 x2 y2
 2 2 x1x2 0
 x1x2 y1y2 0 x1x2 x1 x2 0 x1x2 1 x1x2 0 
 1 x1x2 0