Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 2: Liên hệ phép nhân, phép chia và phép khai phương - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
Chuyên đề 2. LIÊN HỆ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. Kiến thức cần nhớ
1. Với A 0, B 0 thì: A.B A. B và ngược lại A. B A.B
 2
Đặc biệt, khi A 0, ta có: A A2 A.
 A A A A
2. Với A 0, B 0 thì và ngược lại 
 B B B B
3. Bổ sung
 • Với A1, A2 ,..., An 0 thì: A1 . A2 ... An A1.A2...An
 • Với a 0;b 0 thì: a b a b (dấu “=” xảy ra a 0 hoặc b 0 ).
 • Với a b 0 thì: a b a b (dấu “=” xảy ra a b hoặc b 0 ).
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính
a) 8 15. 8 15 ;
 2
b) 6 11 6 11 .
 Giải
a) 8 15. 8 15 64 15 49 7 .
 2
b) 6 11 6 11 6 11 2 6 11 6 11 6 11
 12 2 36 11 22 .
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau: P 2 2 2 . 4 8. 2 2 2 .
 Giải
Tìm cách giải. Quan sát kĩ đề bài, ta thấy có hai biểu thức trong căn có dạng a b và a b 
nên ta dùng tính chất giao hoán và thực hiện phép tính.
Trình bày lời giải
P 2 2 2 . 4 8. 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 . 4 8
P 4 2 2. 4 2 2 2 2 . 2 2. 2
P 4 2. 2 2. 2
 2 3 4 4 3 3 2 3 2 3 
 2 3 2 3 4 .
Suy ra A 2 .
Ví dụ 6: Rút gọn: C 2 2 5 2 2 2 5 2
 Giải
Tìm cách giải. 
 2
Ví dụ này không thể biến đổi để đưa về dạng a 2 b x y .
Do vậy để rút gọn biểu thức dạng C x y x y ta thường tính C 2 sau đó nhận xét dấu 
của C, từ đó tìm được C.
Trình bày lời giải
Xét C 2 2 2 5 2 2 2 5 2 2 2 2 5 2 2 2 5 2 
 2
C 2 4 2 4 2 5 2 4 2 5 1 4 2 5 1 
 2
C 2 6 2 5 5 1 . Vì C 0 nên C 1 5 .
Ví dụ 7: Cho x, y thỏa mãn x 1 x2 y 1 y2 . Chứng minh rằng: x y .
 Giải
Tìm cách giải. Nhận xét giả thiết x, y có vai trò như nhau. Phân tích từ kết luận để có x y , chúng 
ta cần phân tích giả thiết xuất hiện nhân tử x y .
Dễ thấy x2 y2 có chứa nhân tử x y , do vậy phần còn lại để xuất hiện nhân tử x y chúng ta 
 a b
vận dụng a b a b a b từ đó suy ra: a b . Lưu ý rằng mẫu số khác 0. 
 a b
Từ đó chúng ra có lời giải sau:
Trình bày lời giải
Từ đề bài ta có điều kiện: x 1; y 1.
- Trường hợp 1: Xét x 1; y 1 x y .
- Trường hợp 2: Xét ít nhất x hoặc y khác 1. Ta có:
x2 y2 x 1 y 1 0 Từ đề bài suy ra: a b 6; ab 1
 2
Ta có: a2 b2 a b 2ab 4 ;
a3 b3 a b 3 3ab a b 6 6 3.1. 6 3 6
Xét a2 b2 a3 b3 a5 a2b3 a3b2 b5 a5 b5 a2b2 a b 
4.3 6 a5 b5 1 6
Từ đó tính được: a5 b5 11 6
Xét a2 b2 a5 b5 a7 a2b5 a5b2 b7 a7 b7 a2b2 a3 b3 
Suy ra: 4.11 6 a7 b7 1.3 6 a7 b7 41 6
 1 1
 S b7 a7 41 6 .
 a7 b7
Ví dụ 10: Cho b 0; a b . Chứng minh đẳng thức:
 a a2 b a a2 b
 a b 
 2 2
 Giải
 a a2 b a a2 b
Đặt vế phải là: B 
 2 2
Ta có B 0
 2 2
 a 2 a2 b a a b a a b a a2 b
Xét B2 2. . 
 2 2 2 2
 a2 a2 b 
B2 a 2. ; B2 a b
 4
Vì B 0 nên B a b .
Vế phải bằng vế trái. Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 11: Cho các số thực x; y thỏa mãn: x x2 2 y 1 y2 2y 3 2
Chứng minh rằng: x3 y3 3xy 1
 Giải
Đặt y 1 z từ giả thiết ta có: x x2 2 z z2 2 2 * 
Nhân hai vế với x2 2 x ta được B 3 1 . 3 1 3 1 2 .
Vậy B là số tự nhiên.
2.3. Rút gọn biểu thức:
 3 10 20 3 6 12
a) P ;
 5 3
 2 3 6 8 4
b) Q .
 2 3 4
 Hướng dẫn giải – đáp số
 10 3 2 6 3 2 3 2 10 6 
a) Ta có: P 
 5 3 5 3
 3 2 . 2 5 3 
 P 3 2 2 .
 5 3
 2 3 2 2 6 8 2 3 4 1 2 
b) Ta có Q 1 2 .
 2 3 4 2 3 4
2.4. Rút gọn các biểu thức:
 6 2 6 3 2 6 2 6 3 2 
a) C ;
 2
 9 6 2 6
b) D .
 3
 Hướng dẫn giải – đáp số
 1 2 3 2 2 2 3 2 6 1 2 3 2 2 2 3 2 6
a) C 
 2
 2 2
 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 
C 
 2 2
 2 2
C 2 .
 2
 3. 3 2 2 6 3. 2 2 2 1 6
b) D 
 3 3
 2 
 3 2 1 2 
 3 2 1 2 
 1.
 3 3 c) 28 16 3 và 3 2
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2
a) Ta có 5 2 5 1 5 1 5 1 6 1
Vậy 6 20 1 6 .
 2
b) Ta có 17 12 2 = 9 12 2 8 = 3 2 2 
 2
= 3 2 2 = 2 2 2 1= 2 1 2 1.
 2
c) 16 16 3 12 = 4 2 3 = 4 2 3
 2
= 3 2 3 1= 3 1 = 3 1 3 2 .
Vậy 28 16 3 3 2 .
2.8. a) Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn:
 a b 1 b2 1 a2
Chứng minh rằng a2 b2 1.
b) Chứng minh rằng số 20092 20092.20102 20102 là số nguyên dương.
(Tuyển sinh lớp 10, chuyên toán ĐHSP Hà Nội, năm học 2010 – 2011)
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có a 1 a2 b 1 b2 .
Bình phương hai vế không âm, ta được:
a2 2a 1 a2 1 a2 b2 2b 1 b2 1 b2 a 1 a2 b 1 b2 .
Bình phương hai vế không âm, ta được:
a2 1 a2 b2 1 b2 a4 b4 a2 b2 0
 a2 b2 a2 b2 1 0
Do a, b là hai số dương khác nhau nên a2 b2 0
 a2 b2 1 0 hay a2 b2 1. Điều phải chứng minh.
b) Đặt a 2009 , ta có:
 a2 a2 a 1 2 a 1 2 a2 a4 2a3 a2 a 1 2 7 5 7 5
2.11. Rút gọn biểu thức: A 3 2 2 .
 7 2 11
(Tuyển sinh lớp 10, chuyên toán, TP. Hồ Chí Minh, năm học 2010 – 2011)
 Hướng dẫn giải – đáp số
Xét B 7 5 7 5
 B2 7 5 2 7 5 7 5 7 5
 B2 14 2 49 5 14 4 11
Mà B 0 nên B 14 4 11 .
 14 4 11 2
Từ đó suy ra: A 2 1 A 2 2 1 1.
 7 2 11
2.12. Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x 1 y y y 1 x x
Tìm giá trị nhỏ nhất của S x2 3xy 2y2 8y 12 .
 Hướng dẫn giải – đáp số
Tập xác định x 1; y 1.
• Trường hợp 1: Xét x y 1 suy ra:
 P 12 3.1.1 2.12 8.1 12 6 1 
• Trường hợp 2: Xét ít nhất x 1 hoặc y 1. Ta có:
x x y y x 1 y 1 0
 x 1 y 1
 x y . x xy y 0
 x 1 y 1
 x y x y 
 x y . x xy y 0
 x 1 y 1
 x y 
 x y . x xy y 0
 x 1 y 1 
 x y
Mà x 1; y 1 nên x xy y 0
 x 1 y 1
Suy ra x y 0 x y
Ta có: S x2 3x2 2x2 8x 12
 S 2x2 8x 12 S 2. x 2 2 4 0 Q 3 1 6 2 4 2 3 3 1 6 2 3 1 
 Q 3 1 4 2 3 3 1 3 1 2 .
2.14. Rút gọn biểu thức:
 6 2 5 13 48
a) A 
 3 1
 2 3 3 13 48
b) T 
 6 2
 Hướng dẫn giải – đáp số
 6 2 5 12 4 3 1
a) Ta có: A 
 3 1
 2
 6 2 5 2 3 1
 6 2 5 2 3 1
 A 
 3 1 3 1
 2
 6 2 3 2 3 1 6 2 3 1 
 A 
 3 1 3 1
 6 2 3 1 3 2 3 1
 A 
 3 1 3 1
 2
 3 1 3 1
 A 1.
 3 1 3 1
 2
 2 3 3 13 4 3 2 3 3 2 3 1 
b) Ta có T 
 6 2 6 2
 2
 2 3 3 2 3 1 2 3 3 1 2 3 3 1
 T 
 6 2 6 2 2 3 1 
 2. 2 3 4 2 3 3 1
 T 1.
 3 1 3 1 3 1
 2 10 30 2 2 6 2
2.15. Rút gọn biểu thức: A : .
 2 10 2 2 3 1
 Hướng dẫn giải – đáp số