Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 19: Giải toán bằng cách lập phương trình - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chuyờn đề 19. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRèNH
A. Kiến thức cần nhớ
Bước 1. Lập phương trỡnh.
 • Chọn ẩn số và đặt điều kiện thớch hợp của ẩn.
 • Biểu diễn cỏc đại lượng chưa biết theo ẩn số và cỏc đại lượng đó biết.
 • Lập phương trỡnh biểu thị mối quan hệ giữa cỏc đại lượng.
Bước 2. Giải phương trỡnh núi trờn.
Bước 3.Trả lời: Kiểm tra xem trong cỏc nghiệm của phương trỡnh, nghiệm nào thớch hợp 
với bài toỏn và trả lời.
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1. Một nhúm thợ đặt kế hoạch sản xuất 2400 sản phẩm trong thời gian dự định. 
Trong 5 ngày đầu họ thực hiện đỳng mức đề ra, nhưng vỡ muốn hoàn thành sớm 5 ngày 
nờn trong những ngày cũn lại họ phải làm vượt mức mỗi ngày 20 sản phẩm. Hỏi theo kế 
hoạch mỗi ngày họ cần sản xuất bao nhiờu sản phẩm?
 Giải
Tỡm cỏch giải. Để giải dạng toỏn này, chỳng ta nờn nhớ:
 khối lượngcông việc khối lượngcông việc
Năng suất = Thời gian = 
 thời gian năngsuất
Sau gọi ẩn là năng suất, chỳng ta biểu diễn thời gian dự định và thời gian thực tế theo ẩn 
số và cỏc số đó biết. Phương trỡnh lập được là phương trỡnh về thời gian.
Trỡnh bày lời giải
Gọi số sản phẩm theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất là x (sản phẩm / ngày, x Z*) 
Suy ra trong 5 ngày đầu họ làm được 5 x (sản phẩm), thời gian làm số sản phẩm cũn lại 
 2400 5x
là ngày
 x 20
 2400
Thời gian làm theo kế hoạch là ngày
 x
Theo đề bài nhúm thợ hoàn thành sớm 5 ngày so với dự định, ta cú phương trỡnh
 2400 5x 2400
5 5 x2 40x 9600 0 
 x 20 x
Giải ra ta được x1 80 (thỏa món điều kiện), x2 120 (loại)
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất 80 sản phẩm. Giải ra ta được x1 4,5 (thỏa món điều kiện), x2 0,6 (khụng thỏa món điều kiện)
Vậy nếu chảy riờng thỡ vũi thứ nhất chảy đầy bể hết 4,5h
và vũi thứ hai chảy đầy bể hết 4,5 1,5 3h 
Vớ dụ 4. Một mảnh vườn hỡnh chữ nhật cú diện tớch là 720m2, nếu tăng chiều dài thờm 6m 
và giảm chiều rộng đi 4m thỡ diện tớch mảnh vườn khụng đổi. Tỡm kớch thước mảnh 
vườn.
 Giải
Gọi chiều dài của mảnh vườn là x m x 0 
 720
Chiều rộng của mảnh vườn là m 
 x
Chiều dài của mảnh vườn khi tăng thờm 6m là x 6 m 
 720
Chiều rộng mảnh vườn khi giảm đi 4m là 4 m 
 x
Theo đề bài, diện tớch mảnh vườn khụng đổi, ta cú phương trỡnh:
 720 2
 4 x 6 720 4x 24x 4320 0 
 x 
Giải ra, ta được x1 30 (thỏa món), x2 36 (khụng thỏa món)
 720
Vậy chiều dài của mảnh vườn là 30 m, chiều rộng của mảnh vườn là 24m 
 30
Vớ dụ 5. Một phũng họp chứa 300 chỗ ngồi được chia thành cỏc dóy cú số ghế bằng nhau. 
Nếu thờm hai chỗ vào mỗi dóy ghế và bớt đi 3 dóy ghế thỡ trong phũng bớt đi 11 chỗ 
ngồi. Hỏi phũng họp lỳc đầu cú bao nhiờu dóy ghế, mỗi dóy cú bao nhiờu ghế?
 Giải
Tỡm cỏch giải. Dạng toỏn này chỳng ta lưu ý: số ghế trong phũng = số dóy x số ghế trong 
một dóy. Lời giải tương tự như dạng bài toỏn về hỡnh chữ nhật biết diện tớch và sự thay 
đổi kớch thước của nú.
Trỡnh bày lời giải
Gọi số dóy ghế của phũng họp lỳc đầu là x (x N, x dóy)
 300
Và số ghế mỗi dóy là (ghế)
 x
Số dóy ghế lỳc sau là x 3 dóy
 300
Số ghế ở mỗi dóy lỳc sau là 2 (ghế)
 x 20 1 
 y x 1 
 x 6 
Từ (1) và (2) ta cú hệ phương trỡnh: 
 20 7 
 y 40 2 
 x 6 
 20 1 20 7 2
Từ (1) và (2) ta cú: 40 x 7x 160 4800 0 
 x 6 x 6 
 1
Giải ra ta được x 40 (thỏa món), x 17 (khụng thỏa món) y 60 
 1 2 7
Vậy vận tốc của ụ tụ XA là 40 km/h, vận tốc của ụ tụ XB là 60 km/h.
C. Bài tập vận dụng
19.1. Hai vũi nước cựng chảy vào một bể thỡ đầy sau 7h12 phỳt. Nếu mỗi vũi chảy riờng 
mà đầy bể thỡ tổng thời gian là 30 giờ. Hỏi mỗi vũi chảy riờng thỡ đầy bể trong thời gian 
bao lõu?
 Hướng dẫn giải – đỏp số
Gọi thời gian vũi thứ nhất chảy riờng đầy bể là x giờ 0 x 30 
Thời gian vũi thứ hai chảy riờng đầy bể là 30 x giờ
 1
Trong 1 giờ vũi thứ nhất chảy được (bể)
 x
 1
Trong 1 giờ vũi thứ hai chảy được (bể)
 30 x
 1
Theo đề bài, hai vũi cựng chảy mà đầy bể sau 7h12 phỳt ( 7 giờ). Ta cú phương trỡnh:
 5
 1 1 1 2
7 1 x 30x 216 0 
 5 x 30 x 
Giải ra ta được cú x1 12; x2 18 (thỏa món) 
Vậy nếu vũi thứ nhất chảy riờng là 12(giờ) thỡ vũi hai chảy riờng đầy bể là 30 12 18 
(giờ) và ngược lại
19.2. Một tổ dự định sản xuất 720 sản phẩm theo năng suất dự định. Nếu sản xuất tăng 
10 sản phẩm mỗi ngày sẽ nhanh hơn giảm năng suất 20 sản phẩm mỗi ngày là 4 ngày. 
Tớnh năng suất dự kiến.
 Hướng dẫn giải – đỏp số
Gọi năng suất dự kiến là x ( x N*, x sản phẩm)
 720
Nếu năng suất mỗi ngày tăng thờm 10 sản phẩm thỡ thời gian hết là ngày
 x 10 1 1 1
Theo đầu bài, ta cú phương trỡnh 
 x x 6 4
 2
 x 2x 24 0 
 x1 6 (thỏa món), x2 4 (khụng thỏa món)
Vậy nếu làm riờng thỡ đội 1 hoàn thành cụng việc trong 6h và đội 2 hoàn thành cụng việc 
trong 6 + 6=12h.
19.5. Hai xe mỏy khởi hành cựng một lỳc từ hai tỉnh A và B cỏch nhau 90km, đi ngược 
chiều nhau và gặp nhau sau 1,2 giờ (Xe thứ nhất khởi hành từ A xe thứ hai khởi hành từ 
B). Tỡm vận tốc của mỗi xe. Biết rằng thời gian để xe thứ nhất đi hết quóng đường AB ớt 
hơn thời gian để xe thứ hai đi hết quóng đường AB là 1 giờ.
 Hướng dẫn giải – đỏp số
Gọi vận tốc xe đi từ A và xe đi từ B lần lượt là x; y km / h, x, y 0 
 90
Thời gian xe 1 đi hết quóng đường AB là h 
 x
 90
Thời gian xe 2 đi hết quóng đường AB là h 
 y
 1,2x 1,2y 90 x y 75
Theo đề bài, ta cú hệ phương trỡnh 90 90 90 90 
 1 1
 y x 75 x x
 x 150 x 45
Giải ra ta được (khụng thỏa món) (thỏa món)
 y 225 y 30
Vậy vận tốc xe đi từ A, xe đi từ B là 45 km/h, 30 km/h.
19.6. Một xuồng mỏy xuụi dũng sụng 30km và ngược dũng 28km hết một thời gian bằng 
thời gian mà xuồng đi 59,5km trờn mặt hồ yờn lặng. Tớnh vận tốc của xuồng khi đi trờn 
hồ, biết rằng vận tốc của nước chảy trờn sụng là 3km/h.
 Hướng dẫn giải – đỏp số
Gọi vận tốc của xuồng trờn mặt hồ là x (km/h, x > 0)
Vận tốc xuồng đi xuụi dũng là x 3 km/h.
Vận tốc xuồng đi ngược dũng là x 3 km/h.
 30 28 59,5
Theo đề bài, ta cú phương trỡnh 
 x 3 x 3 x
 2 2
 1,5x 6x 535,5 0 x 4x 357 0 
 x1 17 (thỏa món), x2 21 (khụng thỏa món) Giải ra ta được x1 18 (thỏa món), x2 15 (khụng thỏa món)
 360
Vậy số dóy ghế là 18 dóy và mỗi dóy cú 20 ghế
 18
19.9. Một ụ tụ dự định đi từ A đến B cỏch nhau 120km trong một thời gian quy định. Sau 
khi đi được 1 giờ ụ tụ bị chắn đường bởi xe hơi trong 10 phỳt. Do đú để đến B đỳng hẹn, 
xe phải tăng vận tốc thờm 6km/h. Tớnh vận tốc lỳc đầu của ụ tụ.
 Hướng dẫn giải – đỏp số
 1
Đổi 10 phỳt = giờ
 6
Gọi vận tốc ban đầu của ụ tụ là x ( x km, x > 0)
 120
Thời gian dự định là (giờ)
 x
 120 x
Thời gian đi quóng đường lỳc sau là (giờ)
 x 6
 120 x 1 120
Theo đầu bài ta cú phương trỡnh 1 x2 42x 4320 0 
 x 6 6 x
Giải ra ta được x1 48 (thỏa món), x2 90 (khụng thỏa món)
Vậy vận tốc ban đầu của ụ tụ là 48 km/h.
19.10. Một người đi xe mỏy từ A đến B cỏch nhau 120km với vận tốc và thời gian dự 
 1
định. Sau khi đi được quóng đường AB với vận tốc đú người ta tăng vận tốc thờm 
 3
10km/h trờn quóng đường cũn lại. Tỡm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bỏnh trờn 
đường biết người đú đến B sớm hơn dự định 24 phỳt.
 Hướng dẫn giải – đỏp số
Đổi 24 phỳt = 0,4 giờ
Gọi vận tốc dự định là x (km/h, x > 0)
 120
Thũi gian dự định đi từ A đến B là (giờ)
 x
 40
Thời gian xe đi quóng đường đầu tiờn là (giờ)
 x
 80
Thời gian xe đi quóng đường cũn lại là (giờ)
 x 10
Theo đề bài, người đú đến B sớm hơn dự định 24 phỳt, ta cú phương trỡnh: 
120 80 40 80 80
 0,4 0,4 x2 10x 2000 0 
 x x 10 x x x 10