Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chuyên đề 18. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình trùng phương
• Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax4 bx2 c 0 a 0 1 
• Để giải phương trình trùng phương, ta đặt ẩn phụ.
Đặt x2 t 0, đưa về phương trình at 2 bt c 0 2 
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như sau:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình;
Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức;
Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được;
Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác 
định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
3. Phương trình tích
• Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0
• Giải phương trình tích
4. Một số dạng khác của phương trình thường gặp
- Phương trình bậc bốn dạng x a x b x c x d m với a b c d 
- Phương trình đối xứng bậc bốn có dạng: ax4 bx3 cx2 bx a 0 a 0 
 2
 4 3 2 e d 
- Phương trình hồi quy có dạng ax bx cx dx e 0 a 0 trong đó 
 a b 
 4 4
- Phương trình bậc bốn dạng x a x b c 
- Phương trình phân thức hữu tỉ. Trong phần này chúng ta xét một số dạng sau:
 mx nx
• p 
 ax2 bx d ax2 cx d
 ax2 mx c ax2 px c
• d 
 ax2 nx c ax2 qx c
 ax2 mx c px
• d 
 ax2 nx c ax2 qx c
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình x4 3x3 2x2 6x 4 0 x4 4x2 4 3x3 6x 2x2 0
 2
 x2 2 3x x2 2 2x2 0
 2
 x2 2 x x2 2 2x x2 2 2x2 0
 x2 2 x2 2 x 2x x2 2 x 0 
 x2 x 2 x2 2x 2 0
 x2 x 2 0 1 
 2
 x 2x 2 0 2 
 2
• Giải phương trình (1): x x 2 0 ta được x1 1; x2 2 
 2
• Giải phương trình (2): x 2x 2 0 ta được x3 1 3; x4 1 3 
Vậy tập nghiệm của phương trình là s 1; 2; 1 3; 1 3 
Ví dụ 2: Giải phương trình x2 3x 2 x2 15x 56 8 0 
(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2008 - 2009)
 Giải
Tìm cách giải. Khi khai triển, bài toán này có dạng phương trình bậc 4, nên cách giải 
chung là phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên vế trái có hai ngoặc chứa ẩn, có thể 
phân tích trực tiếp thành nhân tử. Sau khi phân tích xong ta thấy phương trình có dạng 
phương trình bậc bốn dạng:
 x a x b x c x d m với a b c d 
Vì vậy ta có lời giải thứ hai cho dạng toán này như sau:
 2 2
• Bước 1. Viết phương trình dưới dạng: x a b x ab x c d x cd m 
• Bước 2. Đặt x2 a b x ab y . Giải phương trình ẩn y
Trình bày lời giải
Cách 1:
 x2 3x 2 x2 15x 56 8 0
 x4 12x3 13x2 138x 120 0
 x4 6x3 15x2 6x3 36x2 90x 8x2 48x 120 0 
 x2 x2 6x 15 6x x2 6x 15 8 x2 6x 15 0
 x2 6x 15 x2 6x 8 0
 2
• Giải phương trình x 6x 15 0 ta được x1 3 2 6; x2 3 2 6 Trường hợp 1 Xét t x 0 3x2 2 x 0 vô nghiệm
Trường hợp 2.
Xét 2t 11x 0 2 3x2 2 11x 0 6x2 11x 4 0 
 1 4
Giải ra ta được x ; x 
 1 2 2 3
 1 4
Vậy tập nghiệm của phương trinh là: s ;  
 2 3
Cách 2. Xét x 0 không phải là nghiệm của phương trình, nên ta chia cả tử và mẫu của 
 2 13
mỗi phân thức cho x ta được 6 
 2 2
 3x 5 3x 1 
 x x
 2 2 13
Đặt 3x 2 t phương trình có dạng 6 
 x t 3 t 3
 7
Quy đồng, khử mẫu và thu gọn ta được: 6t 2 15t 21 0 Giải ra ta được t 1;t 
 1 2 2
 2
* Trường hợp 1. Xét t 1 suy ra 3x 2 1 3x2 x 2 0 vô nghiệm
 x
 7 2 7
* Trường hợp 2. Xét t suy ra 3x 2 6x2 11x 4 0 
 2 x 2
 1 4
Giải ta ta được x ; x 
 1 2 2 3
 1 4
Vậy tập nghiệm của phương trình là: s ;  
 2 3
 x2 3x 3 x2 6x 3 53
Ví dụ 4: Giải phương trình 
 x2 4x 3 x2 5x 3 12
(Thi học sinh giỏi, Tinh Trà Vinh, năm học 2009 - 2010)
 Giải
Tìm cách giải. Cũng như các ví dụ trên, nếu quy đồng ta được phương trình bậc 4, nên 
cũng phân tích đa thức thành nhân tử và giải được. Song trong ví dụ này, Bài toán có 
 ax2 mx c ax2 px c
dạng d Cách giải thông thường cho dạng toán này là:
 ax2 nx c ax2 qx c
- Bước 1. Xét x 0 hai vế không bằng nhau nên x 0 không phải là nghiệm của phương 
trình.
- Bước 2. Xét x 0 chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x . Sau đó đặt ẩn phụ, giải 
phương trình chứa ẩn ở mẫu thức vừa tìm được. • Cách 2. Đặt x2 a b x ab y , ta được phương trình hai ẩn. Phân tích đa thức thành 
nhân tử phương trình vừa tìm được.
Trình bày lời giải
Cách 1
 x 2 x 1 x 8 x 4 4x2 x 2 x 4 x 1 x 8 4x2
 x2 6x 8 x2 9x 8 4x2
Nhận xét. x 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế của phương 
 2 8 8 
trình cho x ta được: x 6 x 9 4 
 x x 
 8
Đặt x 6 y phương trình có dạng y y 3 4 y2 3y 4 0 
 x
Giải ra ta được y 1; y 4 
 8
Trường hợp 1. Xét y 1 ta có x 6 1 x2 5x 8 0 
 x
Phương trình vô nghiệm.
 8
Trường hợp 2. Xét y 4 ta có x 6 4 x2 10x 8 0 
 x
Giải ra ta được x1 5 17; x2 5 17 
Vậy tập nghiệm của phương trình là s 5 17;5 17 
Cách 2
 x 2 x 1 x 8 x 4 4x2 x 2 x 4 x 1 x 8 4x2
 x2 6x 8 x2 9x 8 4x2
Đặt x2 6x 8 y phương trình có dạng y y 3x 4x2 
 4x2 3xy y2 0 x y 4x y 0 
- Trường hợp 1. x y 0 x x2 6x 8 0 x2 5x 8 0 
Phương trình vô nghiệm.
- Trường hợp 2. 4x y 0 4x x2 6x 8 0 x2 10x 8 0 
Giải ra ta được x1 5 17; x2 5 17 
Vậy tập nghiệm của phương trình là s 5 17;5 17 
 3
 x 3 3
Ví dụ 6. Giải phương trình x 3 16 
 x 2 5 3 5 3
Giải ra ta được x ; x thỏa mãn
 1 2 2 2
 5 3 5 3 
Vậv tập nghiệm của phương trình là S 0; ;  
 2 2  
C. Bài tập vận dụng
 x2 48 x 4 
18.1. Giải phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ 2 10 
 3 x 3 x 
(Thỉ học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Vĩnh Long, năm học 2009 - 2010).
 Hướng dẫn giải – đáp số
 x 4 x2 8 16
Đặt t t 2 
 3 x 9 3 x2
 x2 48 x2 48
3t 2 8 3t 2 8 
 3 x2 3 x2
Khi đó phương trình trở thành 3t 2 8 10t 3t 2 10t 8 0 
 4
Giải ra ta được t 2;t 
 1 2 3
 x 4
• Với t 2 ta được 2 x2 6x 12 0 
 3 x
Giải ra ta được x1 3 21; x2 3 21 
 4 x 4 4
• Với t ta được x2 4x 12 0 
 3 3 x 3
Giải ra ta được x3 2; x4 6 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 3 21;3 21; 2;6 
 2
18.2. Giải phương trình 2 8x 7 4x 3 x 1 7 
Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, TP Hồ Chí Minh, năm học 2008 - 2009
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2
Ta có: 2 8x 7 4x 3 x 1 7 2 64x2 112x 49 4x2 7x 3 7 
Đặt y 4x2 7x 3 thì 64x2 112x 49 16y 1 
Phương trình đã cho có dạng 2 16y 1 y 7 32y2 2y 7 0 
 7 1
Giải ra ta được y ; y 
 1 16 2 2
 7 7
• Với y ta được 4x2 7x 3 64x2 112x 41 0 
 16 16 1 1
x2 3m 1 x 3m 2 3m 1 0
 x x2
 2 1 1 
 x 2 3m 1 x 3m 2 0 1 
 x x 
 1
Đặt x y điều kiện y 2 hoặc y 2 tức là y 2 
 x
Khi đó phương trình có dạng y2 2 3m 1 y 3m 2 0 y2 3m 1 y 3m 0 2 
Giải ra ta được y1 1; y2 3m 
Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn
 2 2
 y 2 3m 2 m hoặc m 
 3 3
 2
Vậy với m thì phương trình đã cho vô nghiệm 
 3
 4x2 16 3 5 7
18.5. Giải phương trình 
 x2 6 x2 1 x2 3 x2 5
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2007 - 2008)
 Hướng dẫn giải – đáp số
4x2 16 3 5 7
 x2 6 x2 1 x2 3 x2 5
 4x2 16 3 5 7 
 2 3 1 2 1 2 1 2 0
 x 6 x 1 x 3 x 5 
 x2 2 x2 2 x2 2 x2 2
 0
 x2 6 x2 1 x2 3 x2 5
 2 1 1 1 1 
 x 2 2 2 2 2 0
 x 6 x 1 x 3 x 5 
 1 1 1 1
Vì 0 nên x2 2 0 x 2 
 x2 6 x2 1 x2 3 x2 5
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 2; 2 
18.6. Giải phương trình x2 x 2 x2 2x 2 2x2 
 Hướng dẫn giải – đáp số
Nhận xét. x 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế cho x2 ta được:
 2 2 
 x 1 x 2 2
 x x 
 2
Đặt x 1 y phương trình có dạng y.( y 1) 2
 x