Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 16: Phương trình bậc hai và công thức nghiệm - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chương 4. HÀM SỐ Y AX 2 A 0 
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 
Chuyên đề 16. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 VÀ CÔNG THỨC NGHIỆM
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa.
 Phương trình bậc hai có một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: 
 ax2 bx c 0 trong đó x : ẩn số.
 a,b,c a 0 : là hệ số 
2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
 Xét phương trình ax2 bx c 0 a 0 và biệt thức b2 4ac
  Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
 b b 
 x ; x 
 1 2a 2 2a
 b
  Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép: x x 
 1 2 2a
  Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm
 Chú ý: Nếu phương trình ax2 bx c 0 a 0 có a và c trái dấu tức là ac 0 thì 
 b2 4ac 0 . Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.
3. Công thức nghiệm thu gọn
 Đối với phương trình ax2 bx c 0 a 0 và b 2b , b 2 ac
  Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
 b b 
 x ; x 
 1 a 2 a
 b 
  Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép: x x 
 1 2 a
  Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm 
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hai số thực a;b không âm thỏa mãn 18a 4b. 2013. Chứng minh rằng phương trình 
 sau luôn có nghiệm: 18ax2 4bx 671 9a 0
 (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Nam, Năm học 2012 – 2013)  Tìm x0 hoặc tìm m (có bài biểu thị x0 theo m ) 
  Thử lại với m tìm được, rồi kết luận 
 Trình bày cách giải 
 2
 x0 mx0 4 0
 m
 Gọi là nghiệm chung của hai phương trình, ta có: 2
 x0 4x0 m 0
 Suy ra m 4 x0 4 m 0 m 4 x0 1 0
  Với m 4 . Hai phương trình có dạng x2 4x 4 0 x 2 
 Vậy hai phương trình có nghiệm chung là x 2 
  Với x0 1 thay vào phương trình (1) hoặc (2) ta được m 5 . Với m 5 thì phương trình (1) 
 là x2 5x 4 0 có nghiệm x 1; x 4 , thì phương trình (2) là x2 4x 5 0 có nghiệm 
 x 1; x 5 . Do đó hai phương trình có nghiệm chung là x 1. Vậy với m 4; 5 thì hai 
 phương trình có ít nhất một nghiệm chung 
Ví dụ 4: Giải phương trình x3 ax2 bx 1 0 , biết rằng a;b là các số hữu tỉ và 1 2 là một 
 nghiệm của phương trình
 (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Tĩnh, năm học 2010 – 2011) 
 Giải
 Tìm cách giải. Những dạng toán trên ta cần xác định a và b trước. Khi thay x 1 2 vào 
 phương trình, ta lưu ý rằng a,b là các số hữu tỉ nên vận dụng tính chất: Nếu x, y,p là các số 
 hữu tỉ mà x p y 0 , trong đó p không phải là bình phương của số hữu tỉ thì x y 0
 Trình bày cách giải
 Ta có: x 1 2 là một nghiệm của phương trình nên:
 3 2
 1 2 a 1 2 b 1 2 1 0
 2a b 5 2 3a b 8 0
 2a b 5 0 a 3
 Vì a;b là số hữu tỉ nên 
 3a b 8 0 b 1
 Thay vào phương trình, tra được:
 x 1 0
 x3 3x2 x 1 0 x 1 x2 2x 1 0
 2
 x 2x 1 0
 Giải ra, ta được tập nghiệm của phương trình là: S 1;1 2;1 2 16.2. Cho a,b,c,d là các số thực a2 b2 1. Chứng minh rằng phương trình: 
 a2 b2 1 x2 2 ac bd 1 x c2 d 2 1 0 luôn có hai nghiệm.
 (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2004 – 2005) 
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2
 Xét ac bd 1 a2 b2 1 c2 d 2 1 (*)
 + Do a2 b2 1 a2 b2 1 0
 Nếu c2 d 2 1 c2 d 2 1 0 0
 Nếu c2 d 2 1. Đặt u 1 a2 b2 ;v 1 c2 d 2
 (Điều kiện 0 u 1;0 v 1)
 2
 Xét 4 2 2ac 2bd 4uv
 2
 a2 b2 u p2 d 2 v 2ac 2bd 4uv
 2
 a c 2 b d 2 u v 4uv u v 2 4uv u v 2 0
 0. Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm 
 5 3
16.3. Cho phương trình ax2 bx 1 0 với a;b là các số hữu tỉ. Tìm a;b biết x là 
 5 3
 nghiệm của phương trình 
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2
 5 3 5 3 
 Ta có: x 4 15 là nghiệm của phương trình nên:
 5 3 5 3
 2
 a 4 15 b 4 15 c 0 31a 4b 1 8a b 15 0
 31a 4b 1 0 a 1
 Do a và b là các số hữu tỷ nên: 
 8a b 0 b 8
16.4. Với giá trị nào của b thì hai phương trình 2011x2 bx 1102 0 (1) và 1102x2 bx 2011 0 
 (2) có nghiệm chung.
 (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Tiền Giang, năm học 2009 – 2010) 
 Hướng dẫn giải – đáp số
 Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình đã cho, ta có:
 2 2
 2011x0 bx0 1102 0 1102x0 bx0 2011 0
 2 2
 1102x0 bx0 2011 0 909x0 909 Vậy với a 6 thì hai phương trình có nghiệm chung là x 2 
16.6. Cho hai phương trình x2 mx n 0 và x2 2x n 0 . Chứng minh rằng với mọi giá trị của 
 m và n , ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
 (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hứng Yên, năm học 2009 – 2010)
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2 2
  Phương trình x mx n 0 có 1 m 4n
 2
  Phương trình x 2x n 0 có 2 4n 4
 2
 Suy ra: 1 2 m 4 0 với mọi m,n . Do đó trong hai số 1 , 2 luôn có ít nhất một không 
 âm. Hay nói cách khác trong hai phương trình đã cho luôn có ít nhất một phương trình có 
 nghiệm 
 c 0
16.7. Chứng minh rằng với điều kiện 2
 a c ab bc 2ac
 thì phương trình: ax2 bx c 0 luôn có nghiệm
 (Thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định, năm học 2007 – 2008)
 Hướng dẫn giải – đáp số
 Xét các trường hợp sau: 
 c
  Nếu a 0;b 0 thì phương trình luôn có nghiệm duy nhất x 
 b
 2
  Nếu a 0;b 0 thì c 0 vô lí
 2 2
  Nếu a 0 từ a c ab bc 2ac 2ac a c b a c 
 2 2 2
 Xét b2 4ac b2 2 a c 2b a c a c b a c 0
 Vậy 0 , phương trình luôn có hai nghiệm
 Tóm lại, phương trình luôn có nghiệm 
16.8. Cho phương trình ẩn x tham số m : x2 2 m 1 x m2 2m 3 0 . Xác định m để phương 
 trình có hai ngiệm x1; x2 sao cho:
 2008 x2 x1 2013 
 (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh An Giang, năm học 2009 – 2010)
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2
 Ta có: m 1 m2 2m 3 4
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 m 3; x2 m 1