Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 15: Hệ phương trình chứa tham số - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chuyên đề 15. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
A. Kiến thức cần nhớ
Trong quá trình giải hệ phương trình chứa tham số, để thỏa mãn điều kiện nào đó về nghiệm số 
của hệ phương trình, chúng ta cần nhớ một số kiến thức sau:
1. Phương trình ax b 0 (1) 
 • Phương trình (1) có nghiệm duy nhất a 0.
 • Phương trình (1) vô nghiệm a 0, b 0.
 • Phương trình (1) vô số nghiệm a , b 0.
 ax by c
2. Đối với hệ phương trình: 
 a x b y c 
 a b c
Với điều kiện a ,b ,c khác 0. Cần lưu ý đến tỉ số , và để rút ra kết luận về số nghiệm của 
 a b c 
hệ phương trình. Cụ thể là:
 a b
 • Nếu thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
 a b 
 a b c
 • Nếu thì hệ phương trình có vô nghiệm.
 a b c 
 a b c
 • Nếu thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
 a b c 
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình hai ẩn x và y sau đây theo tham số m.
 mx 2y m 1 (1)
 2x my 3 (2)
(Thi học sinh giỏi toán 9, TP Hồ Chí Minh năm học 1991 – 1992. Vòng 1)
 Giải
Tìm cách giải. Giải và biện luận hệ phương trình là xét tất cả các trường hợp theo giá trị của tham 
số m và kết quả bài toán ứng với giá trị đó. Bài toán thường có nhiều cách giải. Trong bài này nên 
dùng phương pháp thế đưa về phương trình một ẩn. Chẳng hạn từ phương trình (1) biểu thị y 
theo x, thế vào phương trình (2) ta được phương trình một ẩn (ẩn x), số nghiệm của hệ phương 
trình phụ thuộc vào phương trình này.
Trình bày lời giải. x 2y 5 x 3
Hệ phương trình là nghiệm của hệ phương trình.
 2x y 7 y 1
b) Tìm cách giải. Bước đầu chúng ta tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
bằng phương pháp thế hoặc tỉ số các hệ số (trong câu này dùng phương pháp thế). Sau đó thay 
nghiệm vào x2 y2 4 ta được bất phương trình chứa m. Giải bất phương trình ẩn m xong, ta kết 
hợp với điều kiện đề bài rồi kết luận.
Trình bày lời giải. Từ phương trình (2) y 2x m 5
Thế vào phương trình (1):
 m 1 x m 2x m 5 3m 1 m 1 x m 1 2
Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất m 1 x m 1 y m 3 
x2 y2 m2 2m 1 m2 6m 9 8m 8 4
 8m 12 m 1,5.
Vậy m 1,5 và m 1 thì x2 y2 4
Ví dụ 3: Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau vô nghiệm:
 x 2my 1
 3m 1 x my 1
 Giải
 a b c
Tìm cách giải. Với điều kiện a ,b ,c khác 0. Cần lưu ý đến tỉ số ; và để rút ra kết luận về hệ 
 a b c 
 a b c
phương trình vô nghiệm. Cụ thể là: Nếu thì hệ phương trình vô nghiệm. Tuy nhiên 
 a b c 
trước khi xét tỉ số, chúng ta cần xác định các trường hợp riêng a 0, b 0, c 0.
Trình bày lời giải
 x 1
• Xét m 0 hệ phương trình có dạng: hệ phương trình vô nghiệm.
 x 1
 2
 x y 1
 1 3
• Xét m , hệ phương trình có dạng: hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
 3 1
 y 1
 3
 1 1 2m
• Xét m 0; . Hệ phương trình vô nghiệm 1
 3 3m 1 m
 1 1
 2 1 6m 2 m .
 3m 1 6 n 1 2 n n 1
Với n 2, từ phương trình (*) ta có: x .
 2 n 2 n n 2
 1 n 1 1 n2 2n n 2 n2 n
Khi đó y n 1 n. .
 2 n 2 2 n 2
 2n 1
 y 
 n 2
 n 1 3
 x 1 
 n 2 n 2
Nghiệm duy nhất là .
 2n 1 3
 y 2 
 n 2 n 2
x, y nguyên n 2 Ư(3)
Mà Ư(3) 1;3; 1; 3 nên n 2 1;3; 1; 3
 n 1;1; 3; 5.
C. Bài tập vận dụng
 m 1 x m 1 y m 37
15.1. Cho hệ phương trình (m là tham số)
 x 2y 3m 1
a) Với m nào thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Tìm m nguyên để hệ phương trình có nghiệm nguyên x; y nguyên và x y bé nhất.
(Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh An Giang, năm học 2011 – 2012)
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) Từ phương trình (2) ta có: x 3m 1 2y, thế vào phương trình (1) ta có:
 m 1 3m 1 2y m 1 y m 37 m 1 y m2 m 12 (*)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất phương trình (*) có nghiệm duy nhất 
 m 1 0 m 1. 
 m2 m 12 12
b) Với m 1, từ phương trình (*) ta có: y m 
 m 1 m 1
 12 24
Suy ra: x 3m 1 2 m m 1 
 m 1 m 1
 24
 x m 1 
 m 1
 là nghiệm của hệ phương trình.
 12
 y m 
 m 1
x, y Z mà m Z m 1 Ư(12) . Suy ra: 2 2 1 2 8 8
b) Nếu m 6 thì P x 2y 1 3x 6y 1 10x 20y 2 
 10 5 5
 2 2
Nếu m 6 thì P x 2y 1 3x my 1 0.
 m 2 4
Giá trị nhỏ nhất của P là 0 khi x ; y .
 6 m m 6
 x my 2 (1)
15.4. Cho hệ phương trình 
 mx y 2 (2)
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m.
b) Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất x; y với x; y là các số nguyên.
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) Từ phương trình (1) ta có: x 2 my, thay vào phương trình (2) ta được:
m 2 my y 2 2m m2 y y 2
 y m2 1 2 2m y m 1 m 1 2 1 m 
Xét m 1 0y 0 phương trình vô số nghiệm hệ phương trình vô số nghiệm, nghiệm tổng 
 x y 2
quát của hệ phương trình là: 
 y R
m 1 0y 4 phương trình vô nghiệm hệ phương trình vô nghiệm
 2 2
m 1 y m 1 2 y ; x .
 m 1 m 1
Kết luận:
• Với m 1 thì hệ phương trình vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ phương trình là: 
 x y 2
 y R
• m 1 thì hệ phương trình vô nghiệm.
 2
 x 
 m 1
• m 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất là .
 2
 y 
 m 1
b) Ta có x, y Z m 1 Ư(2) và m 1
 m 0; 2; 3 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y thỏa mãn x; y Z .
 a 1 x 2y 1
15.5. Cho phương trình (I)
 3x ay 1 d) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho S x2 y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
e) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất x; y thì điểm M x; y luôn nằm trên một đường 
thẳng cố định.
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) Từ phương trình dưới x 4 my
Thế vào phương trình trên: m 4 my 4y 10 m
 m 2 m 2 y 5 m 2 (*)
 2x 4y 8 x 4 2y
• Xét m 2, hệ phương trình có dạng: 
 x 2y 4 y R
• Xét m 2, phương trình (*) có dạng: 0y 20 vô nghiệm 
 hệ phương trình vô nghiệm.
 5 8 m
• Xét m 2; 2 từ (*) suy ra: y x .
 m 2 m 2
Kết luận:
 x 4 2y
• Với m 2, hệ phương trình có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát là: 
 y R
• Với m 2, hệ phương trình vô nghiệm.
 8 m
 x 
 m 2
• Với m 2; 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất: .
 5
 y 
 m 2
b) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì m 2; 2
 8 m
 0
 x 0 m 2 m 2 0
 2 m 8
 y 0 5 8 m 0
 0 
 m 2
Vậy 2 m 8 thì hệ phương trình có hai nghiệm dương.
c) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì m 2; 2 và nghiệm duy nhất là:
 8 m 10
 x 1
 m 2 m 2
 5
 y 
 m 2
Để hệ phương trình có nghiệm nguyên dương m 2 Ư(5) và m 2 0, , suy ra: