Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 14: Hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chuyên đề 14. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
 QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
 A. Một số ví dụ
 Một số hệ phương trình không phải là hệ phương trình bậc nhất, sau một số bước biến đổi thích 
 hợp, chúng ta có thể giải được bằng cách đưa về hệ phương trình bậc nhất hoặc tìm được nghiệm 
 một cách giản đơn. Sau đây là một số ví dụ minh họa:
 x xy y 9
 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình y yz z 4
 z zx x 1
 (Thi HSG Toán lớp 9, TP. Đà Nẵng, Năm 2011 – 2012)
 Giải
 x xy y 9 x xy y 1 10 x 1 y 1 10 (1)
 y yz z 4 y yz z 1 5 y 1 z 1 5 (2)
 z zx x 1 z zx x 1 2 
 z 1 x 1 2 (3)
 Từ phương trình (1), (2), (3) nhân vế với vế, ta được:
 2 2 2 x 1 y 1 y 1 10 (4)
 x 1 y 1 y 1 100 
 x 1 y 1 y 1 10 (5)
• Trường hợp 1. Xét phương trình (4): x 1 y 1 y 1 10
 z 1 1 z 0
 Kết hợp với phương trình (1), (2), (3) ta có: x 1 2 x 1 .
 y 1 5 y 4
 • Trường hợp 2. Xét phương trình (5): x 1 y 1 y 1 10 
 z 1 1 z 2
 Kết hợp với phương trình (1), (2), (3) ta có: x 1 2 x 3.
 y 1 5 y 6
 Vậy tập nghiệm của phương trình là: x; y; z 1;4;0 , 3; 6; 2 .
 Nhận xét. Thông thường bài toán có thể giải bằng phương pháp thế : Từ phương trình (1) và (2) 
 biểu diễn x theo y và z theo y thế vào phương trình (3). Ta thu được phương trình một ẩn (ẩn y). 
 Cách giải đó đúng, nhưng dài, có thể dẫn đến sai lầm. Quan sát kỹ, chúng ta thấy hệ số của ẩn có 
 vai trò như nhau trong mỗi phương trình. Vì vậy ta có thể thêm bớt để phân tích thành nhân tử và 
 có cách giải như trên. 1 7 13
Từ phương trình (2) và (4) ta có: x 2
 x 12 12
 1 3 13
Từ phương trình (3) vầ (4) ta có: y 3
 y 4 12
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x; y; z 0;0;0 ; 2;3;4 .
Nhận xét: Ttrước khi chia hai vế cho ẩn số, chúng ta cần xét trường hợp x y z 0 trước. Tránh 
mất nghiệm của hệ phương trình.
 x y x z 8 (1)
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau: y x y z 16 (2)
 z x z y 32 (3)
 Giải
Từ hệ phương trình, nhân vế với vế ta được:
 x y . x z . y z 4096
 x y . x z . y z 64
 x y . x z . y z 64
Trường hợp 1: Xét x y . x z . y z 64 (4)
 8. y z 64 y z 8 (5)
Kết hợp các phương trình (1), (2), (3) ta có: 16. x z 64 x z 4 (6)
 x y 2 (7)
 32. x y 64 
Từ các phương trình (5), (6), (7) cộng vế với vế ta được:
2. x y z 14 x y z 7
 x 1
Kết hợp các phương trình (5), (6), (7) ta được một nghiệm là: y 3 .
 z 5
Trường hợp 2. Xét x y . x z . y z 64 (8) 
Kết hợp các phương trình (1), (2), (3) ta có:
 8. y z 64 y z 8 (5)
 16. x z 64 x z 4 (6)
 x y 2 (7)
 32. x y 64 
Từ các phương trình (5), (6), (7) cộng vế với vế ta được:
2. x y z 14 x y z 7 Từ (4) và (5) ta có: z 6 12 z 6
 Từ (4) và (6) ta có: x 10 12 x 2
 Từ (4) và (7) ta có: y 8 12 y 4.
 Vậy x; y; z 2;4;6 là nghiệm của hệ phương trình.
• Trường hợp 2. Xét x y z 12 (8). Kết hợp hệ phương trình ta được: 
 x y 12 72 x y 6 (9)
 y z 12 120 y z 10 (10)
 z x 8 (11)
 z x 12 96 
 Từ phương trình (8) và (9) ta được: z 6 12 z 6
 Từ phương trình (8) và (10) ta được: x 10 12 x 2
 Từ phương trình (8) và (11) ta được: y 8 12 y 4.
 Suy ra x; y; z 2; 4; 6 . là nghiệm của hệ phương trình. Vậy tập nghiệm của hệ phương trình 
 là: 
 x; y; z 2;4;6 , 2; 4; 6 
 B. Bài tập vận dụng
 3xy 2. x y 
 14.1. Giải hệ phương trình: 5yz 6 y z 
 4zx 3. z x 
 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, Quảng Ngãi, năm học 2008 – 2009)
 Hướng dẫn giải – đáp số
 • Nhận xét: x y z 0 là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.
 • Xét xyz 0, hệ phương trình viết dưới dạng:
 x y 3 1 1 3
 (1)
 xy 2 x y 2
 y z 5 1 1 5
 (2)
 yz 6 y z 6
 z x 4 1 1 4
 (3)
 zx 3 z x 3
 Từ phương trình (1), (2), (3) cộng vế với vế ta được:
 1 1 1 11 1 1 1 11
 2 (4)
 x y z 3 x y z 6 (Thi học sinh Toán lớp 9, Ninh Bình, năm học 2007 – 2008)
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2
 x3 3x 2 2 y x 2 x 1 2 y
 3 2
Ta có: y 3y 2 4 2z y 2 y 1 2. 2 z 
 3 
 z 3z 2 6 3x z 2 z 2 2 3. 2 x
Nhân từng vế của ba phương trình ta được:
 x 2 . y 2 . z 2 . x 1 2 . y 1 2 . z 1 2 6. x 2 . y 2 . z 2 
 x 2 . y 2 . z 2 . x 1 2 . y 1 2 . z 1 2 6 0
 x 2
 x 2 . y 2 . z 2 0 y 2
 z 2
Với x 2 thế vào phương trình, ta được y 2, z 2.
Tương tự với y 2 hoặc z 2, thay vào phương trình ta đều có x y z 2.
Vậy hệ có nghiệm x; y; z 2;2;2 .
 x y x z 12
14.4. Giải hệ phương trình y x y z 15 (Với x, y, z là các số thực dương)
 z y z x 20
(Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh Bắc Ninh, năm 2012 – 2013)
 Hướng dẫn giải – đáp số
Từ hệ phương trình, nhân vế với vế ta được:
 2 2 2 x y . x z . y z 60
 x y . x z . y z 3600 
 x y . x z . y z 60
Trường hợp 1. Xét x y . x z . y z 60 (4)
Kết hợp các phương trình (1), (2), (3) ta có:
 12. y z 60 y z 5 (5)
 15. x z 60 x z 4 (6)
 x y 3 (7)
 20. x y 60 
Từ các phương trình (5), (6), (7) cộng vế với vế ta được: 
 2. x y z 12 x y z 6 5 4
• Trường hợp 2. Xét x 
 2 5
Phương trình (*) 2 2x 5 5x 4 7 4x 10 5x 4 7 x 1
Từ (1), suy ra: y 4.( 1) 5 1.
 4
• Trường hợp 3. Xét x 
 5
Phương trình (*) 2 2x 5 5x 4 7
 7
 4x 10 5x 4 7 x (thỏa mãn)
 9
 7 17
Từ (1) suy ra y 4 5 .
 9 9
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y là:
 7 13 7 17 
 ; ; 1;1 ; ; .
 3 3 9 9 
 x2 4y2 4xy 1
14.7. Giải hệ phương trình: 
 x y 1
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2
 x 2y 1 x 2y 1 x 2y 1
Hệ phương trình hoặc 
 x y 1 x y 1 x y 1
 x 2y 1 y 0 x 1
• Giải hệ 
 x y 1 x y 1 y 0
 x 2y 1 y 2 x 3
• Giải hệ 
 x y 1 x y 1 y 2
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: x; y 1;0 ; 3;2 .
14.8. Giải hệ phương trình: 
 x y y 8 (1) x 3y 4 0 (1) x 1 y 1 5 (1)
a) b) c) 
 x 4y 6 (2) 3x 2y 2y 4 (2) x 1 4y 4 (2)
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) Từ phương trình (2) ta có: x 4y 6 thay vào phương trình (1) ta được
 4y 6 y y 8 3y 6 y 8
 • Trường hợp 1: Xét y 2, ta được phương trình
 3y 6 y 8 2y 14 y 7 suy ra x 4. 7 6 22