Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 12: Giải toán bằng cách lập hệ phương trình - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chương 3. HỆ HAI PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
Chuyờn đề 12 GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRèNH
A. Kiến thức cần nhớ 
Cỏc bước giải toỏn bằng cỏch lập hệ phương trỡnh: 
Bước 1: Lập hệ phương trỡnh:
- Chọn cỏc ẩn số và đặt điều kiện thớch hợp cho cỏc ẩn số. 
- Biểu diễn cỏc đại lượng chưa biết theo cỏc ẩn số và cỏc đại lượng đó biết. 
- Từ đú lập hệ phương trỡnh biểu thị sự tương quan giữa cỏc đại lượng
Bước 2. Giải hệ phương trỡnh 
Bước 3. Kiểm tra xem trong cỏc nghiệm của hệ phương trỡnh, nghiệm nào thỏa món điều 
kiện của ẩn, nghiệm nào khụng thỏa món, rồi trả lời.
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1: Một ca nụ chạy trờn sụng trong 7 giờ, xuụi dũng 108 km và ngược dũng 63 km. 
Một lần khỏc, ca nụ đú cũng chạy trong 7 giờ, xuụi dũng 81 km và ngược dũng 84 km. 
Tớnh vận tốc riờng của ca nụ và vận tốc dũng nước. (biết vận tốc riờng của ca nụ và vận tốc 
dũng nước khụng đổi)
 Giải
Tỡm cỏch giải. Bài toỏn này là bài toỏn chuyển động trong dũng chảy. Bạn cần nhớ rằng: 
● Vận tốc xuụi dũng = vận tốc riờng + vận tốc dũng nước 
● Vận tốc ngược dũng = vận tốc riờng – vận tốc dũng nước 
Sau đú viết thời gian xuụi dũng, thời gian ngược dũng theo quóng đường xuụi và ngược 
từ đú thiết lập được hệ phương trỡnh. Gọi chiều dài mảnh vườn hỡnh chữ nhật là x(m,x>0) và chiều rộng mảnh vườn hỡnh chữ 
nhật là y(m, y 0) 
Theo đề bài, chu vi mảnh vườn hỡnh chữ nhật là 34m , ta cú phương trỡnh: 
 2 x y 34 1 
Theo đề bài, nếu tăng chiều dài thờm 3m , tăng chiều rộng thờm 2m thỡ diện tớch tăng thờm 
45m2 , ta cú phương trỡnh: x 3 y 2 xy 45 2 
Từ 1 và 2 ta cú hệ phương trỡnh: 
 2 x y 34 x y 17
 x 3 y 2 xy 45 2x 3y 39
 x 12
Giải ra ta được: (thỏa món)
 y 5
Vậy chiều dài mảnh vườn hỡnh chữ nhật là 12m, chiều rộng mảnh vườn hỡnh chữ nhật là 
5m
Vớ dụ 3: Hai người làm chung một cụng việc trong 12 ngày thỡ xong. Nhưng khi làm 
chung được 8 ngày thỡ người thứ nhất đi làm việc khỏc, người thứ hai làm tiếp cụng việc 
đú trong 10 ngày nữa thỡ xong. Hỏi nếu mỗi người làm một mỡnh xong cụng việc đú hết 
bao nhiờu thời gian? 
 Giải
Tỡm cỏch giải. Bài toỏn này là bài toỏn về cụng việc đồng thời. Để giải loại toỏn này, chỳng 
ta coi toàn bộ cụng việc là 1 đơn vị. 
 1
Suy ra: năng suất = .Lập phương trỡnh theo mẫu: 
 thời gian 
Tổng các năng suất riêng = năng suất chung
Trỡnh bày lời giải: Chuyển 1 học sinh giỏi đi thỡ số học sinh giỏi là x 1học sinh
 1
Theo đầu bài, nếu cú 1 học sinh giỏi chuyển đi thỡ số học sinh cũn lại là học sinh giỏi, ta 
 6
 x 1 1
cú phương trỡnh: (1)
 x y 1 6
Chuyển 1 học sinh khỏ đi thỡ số học sinh khỏ là y 1 học sinh 
 1
Theo đầu bài, nếu cú 1 học sinh khỏ chuyển đi thỡ số học sinh cũn lại là học sinh giỏi, ta 
 5
 x 1
cú phương trỡnh: 2 
 x y 1 5
 x 1 1
 x y 1 6 5x y 5
Từ 1 và 2 ta cú hệ phương trỡnh: 
 x 1 4x y 1
 x y 1 5
 x 6
Giải ra ta được: (thỏa món điều kiện)
 y 25
Vậy số học sinh của lớp là 6 25 31 học sinh
Vớ dụ 5: Hai thị xó A và B cỏch nhau 90km. Một chiếc ụ tụ khởi hành từ A và một chiếc mụ 
tụ khởi hành từ B cựng một lỳc và ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau xe ụ tụ chạy thờm 
30 phỳt nữa thỡ đến B, cũn xe mụ tụ chạy thờm 2 giờ nữa thỡ đến A. Tỡm vận tốc của mỗi xe 
( Giả sử rằng hai xe chuyển động đều) 
(Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Vĩnh Long năm 2012 - 2013)
 Giải
Gọi địa điểm gặp nhau là C
Gọi vận tốc ụ tụ là x km / h, x 0 
 vận tốc mụ tụ là y km / h, y 0 Gọi số đàn ụng, đàn bà và trẻ em lần lượt là x, y,z người, x, y,z N; x, y,z<16 
Theo đề bài, cú tất cả 16 người đi dự trại hố, ta cú phương trỡnh: x y z 16
Theo đề bài, mỗi người đàn ụng mang theo 3kg, mỗi nhúm hai người đàn bà mang theo 
 y z
1kg, mỗi nhúm ba đứa trẻ mang theo 1kg, ta cú phương trỡnh: 3x 19 (2)
 2 3 
Từ 1 và 2 ta cú hệ phương trỡnh: 
 x y z 16
 x y z 16 x y z 16
 y z 
 3x 19 18x 3y 2z 144 16x y 82
 2 3
Ta cú 16x y 82 mà y 0 nờn 16x 82 x 5,125
Mặt khỏc y 16 nờn 16x 66 x 4,125 do đú x 5
Từ đú ta tớnh được y 2 , z 9 ( thỏa món) 
Vậy số đàn ụng, đàn bà và trẻ em lần lượt là 5 người, 2 người, và 9 người. 
C. Bài tập vận dụng
12.1. Một ụ tụ đi trờn quóng đường AB với vận tốc 50 km / h , rồi đi tiếp trờn quóng đường 
BC với vận tốc 45km / h . Biết quóng đường tổng cộng là 165 km và thời gian đi trờn quóng 
đường AB ớt hơn thời gian đi trờn quóng đường BC là 30 phỳt.Tớnh thời gian ụ tụ đi trờn 
quóng đường AB và BC
 Hướng dẫn giải – đỏp số
Gọi thời gian ụ tụ đi trờn quóng đường AB và BC lần lượt là x, y h, x 0, y 0 
Suy ra quóng đường AB là 50x km và quóng đường BC là 45y km, nờn ta cú phương 
trỡnh: 50x 45y 165 1 Vậy chiều rộng của thửa rộng là 14m, chiều dài của thửa ruộng là 22m, do đú diện tớch của 
thửa ruộng là 14.22 308m2 .
12.3. Nếu hai vời cựng chảy vào một bể khụng cú nước thỡ sau 90 phỳt đầy bể. Nếu mở vũi 
thứ nhất chảy trong 15 phỳt rồi khúa lại và mở vũi thứ hai chảy tiếp trong 20 phỳt thỡ 
 1
được bể. Hỏi nếu mỗi vũi chảy riờng thỡ bao lõu đầy bể ?
 5
 Hướng dẫn giải – đỏp số
Gọi thời gian vũi thứ nhất chảy một mỡnh đầy bể là x (phỳt, x 0 )
thời gian vũi thứ hai chảy một mỡnh đầy bể là y (phỳt, y 0 )
 1
suy ra 1 phỳt, vũi thứ nhất chảy được là bể
 x
 1
1 phỳt vũi thứ hai chảy được là bể
 y
 1 1 1
Theo đề bài, hai vũi cựng chảy vào bể thỡ 90 phỳt đầy bể, ta cú phương trỡnh 
 x y 90
 1 
Theo đề bài, nếu mở vũi thứ nhất chảy 15 phỳt rồi khúa lại và mở vũi thứ hai chảy tiếp 
 1 15 20 1
trong 20 phỳt thỡ được bể, ta cú phương trỡnh : 2 
 5 x y 5
 1 1 1
 x y 90
Từ (1) và (2) ta cú hệ phương trỡnh : 
 15 20 1
 x y 5
 x 225
Giải ra, ta được: (thỏa món).
 y 150 Hướng dẫn giải – đỏp số
Gọi thời gian cụng nhõn A làm một mỡnh xong cụng việc hết x (giờ, x 0 )
thời gian cụng nhõn B làm một mỡnh xong cụng việc hết y (giờ, y 0 )
thời gian cụng nhõn C làm một mỡnh xong cụng việc hết z (giờ, z 0 )
Theo đầu bài, nếu cụng nhõn A và B cựng làm thỡ mất 6 giờ, ta cú phương trỡnh :
 1 1 1
 (1)
 x y 6
 9 
Theo đầu bài, nếu cụng nhõn B và C cựng làm thỡ mất 4 giờ 30 phỳt h ,ta cú phương 
 2 
 1 1 2
trỡnh : (2)
 z y 9
 18 
Theo đầu bài, nếu cụng nhõn C và A cựng làm thỡ mất 3 giờ 36 phỳt h , ta cú 
 5 
 1 1 5
phương trỡnh : (3)
 x z 18
 1 1 1
 x y 6
 1 1 2
Từ (1), (2) và (3) ta cú hệ phương trỡnh : 
 z y 9
 1 1 5
 x z 18
 1 1 1 2 1 1 1 1
Cộng vế với vế ta được : 2 (4)
 x y z 3 x y z 3
 1 1 1
Từ (1) và (4), ta cú : z 6
 6 z 3
 2 1 1
Từ (2) và (4), ta cú : x 9
 9 x 3 48 12
 z 2x 24 và y 40 2.12 17 (thỏa món)
 60
Số người của cỏc địa điểm I , II , III đi thăm viện bảo tàng là 12 học sinh, 17 học 
sinh, 24 học sinh.
12.7. Trong một cuộc đua xe mụ tụ, ba tay đua đó khởi hành cựng một lỳc. Mỗi giờ người 
thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15 km và nhanh hơn người thứ ba 3km nờn người 
thứ hai đến đớch chậm hơn người thứ nhất là 12 phỳt và sớm hơn người thứ 3 là 3 phỳt. 
Tỡm vận tốc của ba tay đua mụ tụ trờn
 Hướng dẫn giải – đỏp số
Gọi vận tốc người thứ hai là x km / h, x 3 
và chiều dài quóng đường đi là y km, y 0 
Suy ra vận tốc tay đua mụ tụ thứ nhất là x 15 km / h 
Vận tốc tay đua xe mụ tụ thứ ba là : x 3 km / h 
 y y 1
 2
 x x 15 5 75y x 15x
Theo đề bài ta cú hệ phương trỡnh: 
 x y 1 60 2 3
 y x x
 x 3 x 20
 6
 y x 6
 15y 18x 5 y x x 75
 5 3
 2 vỡ x
 60y x 3x 6 2 y 90
 60. x x 3x 72x x2 3x
 5 
Vậy vận tốc mụ tụ thứ nhất là 75km / h , vận tốc mụ tụ thứ hai là 75 15 90km / h , vận tốc 
mụ tụ thứ ba là 75 3 72 km / h
12.8. Ba chiếc bỡnh cú thể tớch tổng cộng là 120 lớt. Nếu đổ đầy nước vào bỡnh thứ nhất rồi 
 1
rút vào hai bỡnh kia thỡ hoặc bỡnh thứ ba đầy nước, cũn bỡnh thứ hai chỉ được thể tớch 
 2