Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 11: Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chương 3. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
Chuyên đề 11 PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
A. Kiến thức cần nhớ 
1. Quy tắc thế 
Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một hệ phương trình tương đương. 
Quy tắc thế gồm hai bước sau: 
● Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn 
một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn 
một ẩn)
● Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương 
trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở 
bước 1) 
2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế 
● Dùng quy tắc để biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong 
đó có một phương trình một ẩn.
● Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. 
3. Quy tắc cộng đại số 
Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương 
đương. Quy tắc cộng đại số gồm 2 bước sau: 
● Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một 
phương trình mới. 
● Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ 
nguyên phương trình kia). 1
 5 1 1
 x x x 
Suy ra 5 5 (TMĐK)
 1
 1 y 2 1 y 3
 y 2
 1 2 2y 4
 3
 x y 2 x 2y
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 
 x y 8
 1
 x y 2 x 2y
(Tuyển sinh lớp 10, Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh, 2012 - 2013)
 Giải
Tìm cách giải. Quan sát đề bài, chúng ta thấy cần dùng phương pháp đổi biến. Tuy nhiên các 
tử thức vẫn còn chứa ẩn, do đó chúng ta cần biến đổi tách phần nguyên trước khi đổi biến. 
Trình bày lời giải
Điều kiện: x y 2 và x 2y 0
 1 x 2y 4
 3
 x y 2 x 2y
 x y 8
 1
 x y 2 x 2y
 1 4 1 4
 1 3 2
 x y 2 x 2y x y 2 x 2y
 2 8 2 8
 1 1 0
 x y 2 x 2y x y 2 x 2y
 1 1
Đặt u ; v
 x y 2 x 2y
 u 1
 u 4v 2 u 4v 2 
Hệ phương trình có dạng: 1
 2u 8v 0 u 4v 0 v 
 4 Tìm cách giải. Trong mặt phẳng tọa độ, để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta thực hiện: 
- Bước 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.
- Bước 2. Chứng tỏ tọa độ điểm thứ ba thỏa mãn phương trình vừa tìm được.
Trình bày lời giải
Đặt phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A 1;3 vµ B 3; 1 là 
 a b 3 4a 4 a 1
y ax b . Ta có: 
 3a b 1 3a b 1 b 2
Suy ra phương trình đường thẳng d là: y x 2
Xét x 3 y 3 2 5 C 3;5 thuộc đường thẳng d A, B, C thẳng hàng 
C. Bài tập vận dụng
 2x 3 y 5
 2 2
11.1. Giải hệ phương trình: y 5 2x 3 (Với x ;y 5 )
 3
 3x 2y 19
(Thi học sinh giỏi toán 9, tỉnh Kiên Giang, năm học 2012 - 2013)
 Hướng dẫn giải – đáp số
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho vế trái của phương trình thứ nhất:
 2x 3 y 5
 2 dấu bằng chỉ xảy ra khi:
 y 5 2x 3
 2x 3 y 5
 2x 3 y 5
 y 5 2x 3
 2x 3 y 5 2x y 8 x 5
Hệ có dạng: 
 3x 2y 19 3x 2y 9 y 2.
11.2. Giải hệ phương trình: x
 5 5
 x 1 x 5x 5 x 
Suy ra: 4 (TMĐK)
 y y 2y 6
 2 y 6
 y 3
 5
 x 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 4
 y 6
c) Điều kiện: x 2; y 1.
 3 y 3 1 3 1
 1 1 1 0
 x 2 y 1 x 2 y 1 x 2 y 1
 x 2 5 2 2 5 2 2 8
 1 
 x 2 y 1 3 x 2 y 1 3 x 2 y 1 3
 1 1
Đặt u; v.
 x 2 y 1
 3u v 0 3u v 0 1
 u 
Hệ phương trình có dạng: 8 4 3
 2u 2v u v 
 3 3 v 1
 1 1
 x 2 3 x 2 3 x 1
Suy ra: (TMĐK)
 1 y 1 1 y 2
 1 
 y 1
 1 2
 3
 x 1 y 2
11.3. Giải hệ phương trình 
 3x 4y
 2
 x 1 y 2
(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Đồng Nai, năm học 2008 - 2009)
 Hướng dẫn giải – đáp số
Điều kiện: x 1; y 2. 2 5 
Suy ra giao điểm của d1 ; d2 là M ; .
 3 3 
Ba đường thẳng d1 ; d2 ; d3 có một điểm chung
 2 5
 M d3 hay 3m. 3. 4m 15 0 m 5
 3 3
b) Do đó đường thẳng d3 có phương trình là:
3.( 5)x 3y 4.( 5) 15 0 15x 3y 5 0.
 5 5 
 d3 cắt trục tung tại điểm x 0 y A 0; .
 3 3 
 1 1 
 d3 cắt trục hoành tại điểm y 0 x B ;0 .
 3 3 
 26
Độ dài AB là: AB OA2 OB2 .
 3
 1 1 5 1 5
Suy ra diện tích ∆AOB là: S .OA.OB . . (đvdt)
 2 2 3 3 18
 5 1 26 6 26
Chu vi ∆AOB là: C OA OB AB (đvđd).
 3 3 3 3
11.5. Xác định hàm số f x biết: f x x. f x x 1
 Hướng dẫn giải – đáp số
Thay x bằng x ta được : f x x. f x x 1
 f x x. f x x 1
Từ đó ta có hệ phương trình : 
 f x x. f x x 1
 f x x. f x x 1
 x2 1 . f x x2 1
 2 2 
 x . f x x. f x x x • Trường hợp 2. Xét b 0 hệ phương trình 1 tương đương với :
 2x y 5
 5b 13 x 5b 9 y 20b 40
 y 5 2x
 5b 13 x 5b 9 5 2x 20b 40
 y 5 2x
 5b 5 x 5b 5
Hệ phương trình có vô số nghiệm khi b 1
Suy ra a 3;c 4
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm x 1; y 3 khi 
 a;b;c 1;0;9 ; 3; 1;4 
11.7 Cho f x x 4 ax2 b . Tìm a và b để f x chia hết cho x2 3x 2
 Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt thương của f x và x2 3x 2 là g x suy ra :
 f x x2 3x 2 g x x4 ax2 b x 1 x 2 g x với mọi x.
 • Chọn x 1 ta được : 1 a b 0 a b 1
 • Chọn x 2 ta được : 16 4a b 0 4a b 16
 a b 1 3a 15 a 5
 Từ đó ta có hệ phương trình : 
 4a b 16 a b 1 b 4
11.8. Viết phương trình đường thẳng(d) biết(d) đi qua hai điểm:
a) A 2;3 vµ B 1;4 
b) A 3; 6 vµ B 2;4 Hướng dẫn giải – đáp số
a) Đặt phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A 1;1 và B 0; 1 là :
 a b 1 a 2
y ax b Ta có .
 0.a b 1 b 1
Suy ra phương trình đường thẳng d là : y 2x 1.
Xét x 2 y 2.2 1 3 C 2;3 thuộc đường thẳng d 
 A,B,C thẳng hàng.
b) Đặt phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm phân biệt A 2;0 và B 4; 1 là :
 1
 2a b 0 2a 1 a 
y ax b Ta có 2 .
 4a b 1 2a b 0
 b 1
 1
Suy ra phương trình đường thẳng d là : y x 1.
 2
Xét x 2 y 1 1 2 C 2;2 thuộc đường thẳng d 
 A,B,C thẳng hàng.