Chuyên đề Đại số – Chuyên đề 1: Căn bậc hai, căn thức bậc hai - Bồi dưỡng HSG và Ôn thi vào 10

 Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
Chuyên đề 1. CĂN BẬC HAI, CĂN THỨC BẬC HAI
A. Kiến thức cần nhớ
1. Căn bậc hai số học
 • Căn bậc hai số học của số thực a không âm là số không âm x mà x2 a .
 • Với a 0
 x 0
 x a 2
 x2 a a
Phép toán tìm căn bậc hai số học của một số gọi là phép khai phương.
Với hai số a, b không âm, thì ta có: a b a b .
2. Căn thức bậc hai
 • Cho A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là 
 biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
 • A 0 xác định (hay có nghĩa) khi A 0.
 • Hằng đẳng thức A2 A .
3. Chú ý
 • Với a 0 thì: 
 x a x a2
 x2 a x a .
 A 0 hay B 0 
 • A B 
 A B
 • A B 0 A B 0 .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: So sánh các cặp số sau mà không dùng máy tính.
a) 10 và 3; b) 3 2 và 17 ;
c) 35 15 1 và 123 ; d) 2 2 và 2.
 Giải
Tìm cách giải. Khi so sánh hai số a và b không dùng số máy tính, ta có thể:
 • So sánh a và b
 2 2
 • So sánh a và b Trình bày lời giải
a) Ta có A 6 2 5 6 2 5
 A 5 2 5 1 5 2 5 1
 2 2
 A 5 1 5 1 
 A 5 1 5 1 2 .
b) B a 1 a2 2a 1 với a 1
 B a 1 a 1 2
 B a 1 a 1 a 1 1 a 2a .
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
a) A 3 2x2 8x 33 ;
b) B x2 8x 18 1;
c) C x2 y2 2xy 2x 2y 10 2y2 8y 2020 .
 Giải
 2
a) Ta có: A 3 2x2 8x 33 3 2 x 2 25 3 25 8 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 8 khi x 2 .
 2
b) Ta có: B x2 8x 18 1 x 4 2 1 2 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 2 1 khi x 4 .
c) Ta có: C x2 y2 2xy 2x 2y 10 2y2 8y 2020
 C x y 1 2 9 2 y 2 2 2012
 C 9 2012 2015.
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2015.
 x y 1 0 x 1
Khi .
 y 2 0 y 2
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A x2 12x 36 x2 16x 64 ;
 2 2 2
b) B x 2 x 9 x 1945 . Lưu ý: Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa của các số hữu tỉ có kết quả cũng là 
một số hữu tỉ.
Ví dụ 7: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 b2 2
Chứng minh rằng: a4 8b2 b4 8a2 6 1 
 Giải
Tìm cách giải. Quan sát phần kết luận cũng như giả thiết. Định hướng chung khi nghĩ tới là chúng 
ta biến đổi phần trong căn thức ở phần kết luận thành dạng bình phương. Với suy nghĩ ấy, cũng 
như khai thác phần giả thiết. Chúng ta có hai hướng suy luận:
Hướng thứ nhất. Dùng thừa số 2 trong mỗi căn để cân bằng bậc.
Hướng thứ hai. Từ giả thiết suy ra: b2 2 a2 ;a2 2 b2 , dùng phương pháp thế, để mỗi căn thức 
chỉ còn một biến.
Trình bày lời giải
Cách 1. Thay a2 b2 2 vào (1) ta có:
Vế trái: a4 4b2 a2 b2 b4 4a2 a2 b2 
 a4 4a2b2 4b2 b4 4a2b2 4a4
 2 2
 a2 2b2 b2 2a2 a2 2b2 b2 2a2
 3 a2 b2 3.2 6.
Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2. Từ giả thiết suy ra: b2 2 a2 ;a2 2 b2 thay vào (1) ta được:
 2 2
 a4 8 2 a2 b4 8 2 b2 a2 4 b2 4 
 a2 4 b2 4 (do a2 4;b2 4 )
 4 a2 4 b2 6 . Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh.
 8.12 1 8.22 1 8.10032 1
Ví dụ 8: Tính tổng: S 1 1 ... 1 
 12.32 32.52 20052.20072
(Thi Olympic Toán học, Hy Lạp – năm 2007)
 Giải
 8n2 1 8n2 1 16n4 8n2 1 8n2 1
Ta có 1 2 2 1 2 2
 2n 1 2n 1 4n2 1 4n2 1 2
 x 3 0 x2 3 x 3
 2 2 
 1 x 3 0 x 3 1 x 2
 x 3
Vậy với thì biểu thức D có nghĩa.
 x 2
 2 x2 2
 x 0 0 x 0
e) Điều kiện để biểu thức E có nghĩa là: x x 
 x 0
 2x 0 x 0
vậy không tồn tại x để biểu thức E có nghĩa.
1.2. a) Cho x, y, z khác 0 thỏa mãn x y z 0 .
 1 1 1 1 1 1
Chứng minh rằng: .
 x2 y2 z2 x y z
b) Tính giá trị biểu thức:
 1 1 1 1 1 1 1 1
A 1 1 1 ... 1 .
 22 32 32 42 42 52 1992 2002
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
a) Xét: 2 2 2 2 .
 x y z x y z xy yz zx 
 1 1 1 z x y
Mà 0
 xy yz zx xyz
 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 2 2 2 2 2 2 .
 x y z x y z x y z x y z
b) Áp dụng câu a, ta có: 1 K 1 K 0
 1 1 1 1 1 1 1 1
nên: 1 
 K 2 K 1 2 12 K 2 K 1 2 1 K K 1
 1 1 1 1
Suy ra: 1 1 .
 K 2 K 1 2 K K 1
Thay k lần lượt 2,3,, 199, ta được:
 1 1 1 1 1 1 1 1 99
A 1 1 ... 1 198 198 .
 2 3 3 4 199 200 2 200 200
1.3. Tìm số nguyên dương k thỏa mãn
 1 1 1 1 1 1 20092 1
 1 1 ... 1 
 12 22 22 32 k 2 k 1 2 2009 2
Từ a b c 2 a b c 4 a2 b2 c2 2 ab bc ca 4
Mà a2 b2 c2 2 2 ab bc ca 2 ab bc ca 1.
Ta có: a2 1 a2 ab bc ca a2 1 a b a c 1 
Tương tự, ta có: b2 1 b a b c 2 
 c2 1 c a c b 3 
Từ (1), (2) và (3) thay vào vế trái của (*), ta có:
 1 b2 1 c2 1 a2 1 c2 1 a 2 1 b2 
a b c
 1 a2 1 b2 1 c2
 a b b c a c b c a b a c a c b c a b a c a b b c 
 a b c
 a b a c a b b c b c a c 
 a b c b a c c a b 
 2 ab bc ca 2 .
 6 2 5 6 2 5
1.7. Cho x .
 2 5
 19
 20205
Tính giá trị biểu thức: T 1 x21 x10 .
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2 2
 5 2 5 1 5 2 5 1 5 1 5 1 
Ta có: x 
 2 5 2 5
 5 1 5 1
 x 1
 2 5
 19
 20205
Vậy T 1 121 110 1.
1.8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 2 2
a) A x 2019 x 2020 ;
 2 2 2
b) B x 2018 y 2019 x 2020 ;
 2 2 2 2
c) C x 2017 x 2018 x 2019 x 2020 .
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) A x 2019 x 2020 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5;5 .
b) 2x 4 6 2x 5 2x 4 2 2x 5 4
 2x 5 6 2x 5 9 2x 5 2 2x 5 1 4
 2 2
 2x 5 3 2x 5 1 4
 2x 5 3 2x 5 1 4
Ta có: 2x 5 3 3 2x 5 3 2x 5
Vậy vế trái 3 2x 5 2x 5 1 4 .
Do vậy vế trái bằng vế phải khi:
 5
 2x 5 3 0 2x 5 9 x 7 .
 2
 5 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S x / x 7.
 2 
1.11. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A a 3 4 a 1 a 15 8 a 1 .
 Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: 
A a 1 4 a 1 4 a 1 8 a 1 16
 2 2
 A a 1 2 a 1 4 
 A a 1 2 4 a 1 a 1 2 4 a 1
 A 2 .
Đẳng thức xảy ra khi 2 a 1 4 4 a 1 16 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi 5 a 17 .
1.12. Rút gọn biểu thức:
a) A 7 2 6 7 2 6 ;
b) B x 2y x2 4xy 4y2 với x 2y ;
 2
c) D 1 2020 . 2021 2 2020 .
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có A 7 2 6 7 2 6 x y x3 y3 x y x y x2 xy y2 
 6 6
 x2 y2 xy3 y4 y2 x2 xy y2 
 x
 x2 y2 6y2 x2 7y2 7
 y
 x
Mà x 1; y 0 nên 7 .
 y
1.15. Cho A 6 6 6 ... 6 , gồm 100 dấu căn. 
Chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên.
 Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: A 6 2 .
Mặt khác 6 6 6 3 3; 6 6 6 6 3 3
... A 3.
Do đó 2 A 3 . Chứng tỏ rằng A không phải số tự nhiên.
Nhận xét: Nếu A nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp thì A không phải số tự nhiên.
 1 1 1
1.16. Cho ba số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn 
 a b c
Chứng minh rằng A a2 b2 c2 là số hữu tỉ.
 Hướng dẫn giải – đáp số
Từ giả thiết ta có bc ac ab 2ab 2bc 2ca 0
Suy ra a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
 a b c 2
 A a2 b2 c2 a b c là số hữu tỉ.
 1
1.17. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a b c .
 abc
 1 b2c2 1 a2c2 
Chứng minh rằng: a b .
 c2 a2b2c2
(thi học sinh giỏi toán lớp 9, TP, Hồ Chí Minh, năm học 2014 – 2015)
 Hướng dẫn giải – đáp số
 1
Ta có a b c abc a b c 1
 abc
Do đó: 1 b2c2 abc a b c b2c2 bc a b a c