Chuyên đề Đại số - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 PHẦN I: ĐẠI SỐ
CHỦ ĐỀ 1: CĂN THỨC – BIẾN ĐỔI CĂN THỨC.
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.
Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau).
 1) 3x 1 8) x 2 3
 2) 5 2x 9) x 2 2
 1
 3) 10) x 2 3x 7
 7x 14
 4) 2x 1 11) 2x 2 5x 3
 3 x 1
 5) 12)
 7x 2 x 2 5x 6
 x 3 1 3x
 6) 13) 
 7 x x 3 5 x
 1
 7) 14) 6x 1 x 3
 2x x 2
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức.
Bài 1: Đưa một thừa số vào trong dấu căn.
 3 5 2 2 x 7
 a) ; b) x (víi x 0); c) x ; d) (x 5) ; e) x
 5 3 x 5 25 x2 x2
Bài 2: Thực hiện phép tính.
 a) ( 28 2 14 7)  7 7 8; d) 6 2 5 6 2 5;
 b) ( 8 3 2 10)( 2 3 0,4); e) 11 6 2 11 6 2
 c) (15 50 5 200 3 450) : 10; f) 3 5 2 7 3 5 2 7
 g) 3 20 14 2 3; 20 14 2 ; h) 3 26 15 3 3 26 15 3
Bài 3: Thực hiện phép tính.
 Trang1 1 1
 a) A x 2 3x y 2y, khi x ; y 
 5 2 9 4 5
 b) B x 3 12x 8 víi x 3 4( 5 1) 3 4( 5 1);
 c) C x y , biÕt x x 2 3 y y 2 3 3;
 d) D 16 2x x 2 9 2x x 2 , biÕt 16 2x x 2 9 2x x 2 1.
 e) E x 1 y 2 y 1 x 2 , biÕt xy (1 x 2 )(1 y 2 ) a.
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán.
 x 3
Bài 1: Cho biểu thức P 
 x 1 2
 a) Rút gọn P.
 b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 - 3 ).
 c) Tính giá trị nhỏ nhất của P.
 a 2 a 2a a
Bài 2: Xét biểu thức A 1.
 a a 1 a
 a) Rút gọn A.
 b) Biết a > 1, hãy so sánh A với A .
 c) Tìm a để A = 2.
 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
 1 1 x
Bài 3: Cho biểu thức C 
 2 x 2 2 x 2 1 x
 a) Rút gọn biểu thức C.
 4
 b) Tính giá trị của C với x .
 9
 1
 c) Tính giá trị của x để C .
 3
 a a b
Bài 4: Cho biểu thức M 1 :
 2 2 2 2 2 2
 a b a b a a b
 Trang3 a) Rút gọn M.
 b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của M cũng là số nguyên.
 15 x 11 3 x 2 2 x 3
Bài 10: Xét biểu thức P .
 x 2 x 3 1 x x 3
 a) Rút gọn P.
 1
 b) Tìm các giá trị của x sao cho P .
 2
 2
 c) So sánh P với .
 3
Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – ĐỊNH LÝ VI-ÉT.
Dạng 1: Giải phương trình bậc hai.
Bài 1: Giải các phương trình
 1) x2 – 6x + 14 = 0 ; 2) 4x2 – 8x + 3 = 0 ;
 3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = 0 ;
 5) x2 – 4x + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – 2 = 0 ;
 7) x2 + 22 x + 4 = 3(x + 2 ) ; 8) 23 x2 + x + 1 = 3 (x + 1) ;
 9) x2 – 2(3 - 1)x - 23 = 0.
Bài 2: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
 1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ;
 3) x2 – (1 + 3 )x + 3 = 0 ; 4) (1 - 2 )x2 – 2(1 + 2 )x + 1 + 32 = 0 ;
 5) 3x2 – 19x – 22 = 0 ; 6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ;
 7) (3 + 1)x2 + 23 x + 3 - 1 = 0 ; 8) x2 – 11x + 30 = 0 ;
 9) x2 – 12x + 27 = 0 ; 10) x2 – 10x + 21 = 0.
 Trang5 Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất 2 phương trình có nghiệm.
 c) Cho 3 phương trình (ẩn x sau):
 2b b c 1
 ax2 x 0 (1)
 b c c a
 2c c a 1
 bx2 x 0 (2)
 c a a b
 2a a b 1
 cx2 x 0 (3)
 a b b c
 với a, b, c là các số dương cho trước.
 Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm.
Bài 4: 
 a) Cho phương trình ax2 + bx + c = 0.
 Biết a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm.
 b) Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm nếu một trong hai điều 
 kiện sau được thoả mãn:
 a(a + 2b + 4c) < 0 ;
 5a + 3b + 2c = 0. 
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm của phương 
trình bậc hai cho trước.
 2
Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình: x – 3x – 7 = 0.
 Tính:
 2 2
 A x1 x2 ; B x1 x2 ;
 1 1
 C ; D 3x1 x2 3x2 x1 ;
 x1 1 x2 1
 3 3 4 4
 E x1 x2 ; F x1 x2
 1 1
 Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là vµ .
 x1 1 x2 1
 Trang7 2
 x 1
 y1 
 y1 x 1 2 x 2
 a) b) 
 y x 2 2
 2 2 x 2
 y 
 2
 x 1
 2
Bài 8: Cho phương trình x + x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai 
nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:
 x 1 x 2
 y1 y 2 2 2
 x 2 x 1 y1 y 2 x 1 x 2
 a) ; b)
 2 2
 y1 y 2 y y 5x 5x 0.
 3x 3x 1 2 1 2
 1 2
 y 2 y1
 2
Bài 9: Cho phương trình 2x + 4ax – a = 0 (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy lập phương 
trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:
 1 1 1 1
 y1 y2 vµ x1 x2
 x1 x2 y1 y2
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm có nghiệm kép,vô nghiệm.
Bài 1: 
 a) Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (ẩn x).
 Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
 b) Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. 
 Tìm m để phương trình có nghiệm.
 a) Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0.
 - Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.
 - Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
 b) Cho phương trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0.
 Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2:
 Trang9 2
 b) Chư phương trình bậc hai: x – mx + m – 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 ; x2 
 2x1x2 3
 sao cho biểu thức R 2 2 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
 x1 x2 2(1 x1x2 )
 c) Định m để hiệu hai nghiệm của phương trình sau đây bằng 2.
 mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0.
 Bài 5: Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi 
 nghiệm kia là 9ac = 2b2.
Bài 6: Cho phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để 
phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là :
 kb2 = (k + 1)2.ac
Dạng 6: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số.
Bài 1:
 2 2
 a) Cho phương trình x – (2m – 3)x + m – 3m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; 
 x2 thoả mãn 1 < x1< x2< 6.
 b) Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân 
 biệt x1 ; x2 thoả mãn: - 1 < x1< x2< 1.
Bài 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1.
 a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
 b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có hai 
 nghiệm lớn hơn 2.
Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
 a) Với giá trị nào của tham số a, phương trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.
 b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn – 1.
Bài 4: Cho phương trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0.
 a) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1.
 b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
 2
Bài 5: Tìm m để phương trình: x – mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x1 ≤ - 2 ≤ x2. 
 Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số.
Bài 1: 
 a) Cho phương trình: x2 – mx + 2m – 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình 
 không phụ thuộc vào tham số m.
 Trang11