Chuyên đề Đại lượng tỉ lệ nghịch Toán Lớp 7

 CHUYÊN ĐỀ 23 ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH 
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 
 k
1. Định nghĩa : Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = hay xy= k 
 x
( với k là hằng số khác 0 ) thì ta nói tỉ lệ nghịch với theo hệ số tỉ lệ k . 
 k k
Từ công thức y = suy ra x = 
 x y
Chú ý : 
- Khi đại lượng tỉ lệ nghịch với đại lượng theo hệ số tỉ lệ thì x cũng tỉ lệ nghịch với 
 y theo hệ số tỉ lệ , và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ nghịch với nhau. 
- Với hằng số k 0 , khi giá trị của x tăng lên m lần thì giá trị y giảm đi lần và ngược 
lại khi k 0 
 1 1
- Nếu viết yk= . (k 0) thì có tương ứng mới y tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ k. 
 x x
2. Tính chất 
- Từ công thức với mỗi giá trị của có tương ứng một giá trị . Trong đó 
 nhận các giá trị x1 , x2 , x3 ,  và nhận các giá trị tương ứng y1 , y2 , y3 ,  
- Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi và bằng hệ số tỉ lệ: 
 x1. y 1= x 2 . y 2 = x 3 . y 3 = ... = k 
- Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo tỉ số hai giá trị tương ứng của 
đại lượng kia: 
 yx y x
 12= 1 = 3
 yx yx
 21 ; 31 ;  
3. Một số bài toán tỉ lệ nghịch 
a.Bài toán về hai đại lượng tỉ lệ nghịch 
Để giải bài toán dạng này ta thực hiện theo các bước sau: 
- Bước 1: Xác định rõ các đại lượng và đặt ẩn phụ cho các đại lượng nếu cần 
- Bước 2: Xác định quan hệ tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng tỉ lệ nghịch. 
- Bước 2: Áp dụng công thức liên hệ và tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch, tính chất 
dãy tỉ số bằng nhau để giải quyết bài toán. 
b. Bài toán tìm hai số biết chúng tỉ lệ nghịch với a và b 
Giả sử cần tìm hai số x và y biết chúng tỉ lệ nghịch với a và b ( a và b là các số đã biết). 
Khi đó ta có ax= by . Từ đó dựa vào điều kiện của x và y ta áp dụng tính chất dãy tỉ số 
bằng nhau một cách hợp lý để giải quyết bài toán. 
 1 1
Chú ý: Nếu hai số x và y tỉ lệ nghịch với a và b thì hai số x và y tỉ lệ thuận với và 
 a b
. 
 1 −8
Bài 3. Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = thì y =12 . 
 3
 a) Tìm hệ số tỉ lệ nghịch của y đối với x . 
 b) Hãy biểu diễn y theo x . 
 2
 c) Tính giá trị của y khi xx= −16; = . 
 5
 −32
 d) Tính giá trị của x khi yy==4; . 
 7
 Lời giải 
 Hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch nên x. y= a . 
 −8 −8
 a) Khi x = thì y =12 nên a =.12 = − 32 . 
 3 3
 a −32
 b) y = mà a =−32 nên y = . 
 x x
 −32
 c) Khi x =−16 thì y ==2 . 
 −16
 2 −32
 Khi x = thì y = = −80 . 
 5 2
 5
 −32
 d) Khi y = 4 thì x = = −8 
 4
 −32 −32
 Khi y = thì x ==7 . 
 7 −32
 7
 1
 Bài 4. Cho biết tỉ lệ nghịch với x và khi x = 4 thì y = . 
 3
 a. Tìm hệ số tỉ lệ 
 b. Biểu diễn theo 
 1
 c. Tính giá trị của x khi y = , y =−2 
 3
 Lời giải 
 4
 a. Do và là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên hệ số tỉ lệ là xy. = 
 3
 4
 b. Biểu diễn theo là x = 
 3y
 c.Với thì x = 4 
 −2
 Với thì x = 
 3
 Bài 5. Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x =1,5 thì y =−4. 
 3 y1 x 22 y 1 y 22 y 1 3 y 2 2 y 1+ 3 y 2 − 26
 = = = = = = = = −2 
 yx213 2 3 4 9 4+ 9 13
 y1
 = −24 y1 = − . Suy ra hệ số tỉ lệ là : a= x11. y = 3.( − 4) = − 12 
 2 y
 Công thức liên hệ giữa x và y là : xy.=− 12. 
 −12
 b. Biểu diễn theo y = 
 x
 3 33 
 c. Khi y =− thì: xx. − = − 12 = − 12 : − = 8. 
 2 22 
 d. khi x =−4 thì: (−4) .yy = − 12 = − 12 :( − 4) = 3 . 
 Bài 7. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi xx12, là hai giá trị của và yy12, là 
 hai giá trị tương ứng của . Biết xx12==3, 5 , yy12−=4 , hãy 
 a ) Tính yy1 ; 2 b) Biểu diễn theo 
 Lời giải: 
 a. Do và là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên 
 xy12 yy12
 = hay = . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có 
 xy21 53
 y y y− y 4
 1= 2 = 1 2 = = 2 
 5 3 5− 3 2
 Tìm được yy12=10; = 6 
 30
 b) Ta có a=x .y ==3.10 30 =y x 
 11 x
Bài 8. Cho và là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi là hai giá trị của và là hai 
 giá trị tương ứng của . 
 a. Biết x11 .y = 72 , x92 = , hãy tìm y2 
 b. Biết x2 = 6 , x12+= 3y 39 , y1 = 24 . hãy tìm xy12, 
 Lời giải: 
 a. Do và là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên 
 xy11. 72
 hay x1.. y 1= x 2 y 2 . y2 = = = 8 
 x2 9
 b. Do và là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên 
 x133 y 2 x 1+ y 2 39 39 1
 = = = = = 
 x23 y 1 x 2++ 3 y 1 6 72 78 2
 5 Vậy x = 20 ; y =10 và z = 8 . 
 Dạng 1.3 Kiểm tra xem các đại lượng có tỉ lệ nghịch với nhau không ? 
 I.Phương pháp giải: y x
 y
 k
 Trong mỗi công thức y = (k 0), với mỗi giá trị của cho tương ứng một giá 
 x
 trị của 
 - Kiểm tra , nếu có tỉ lệ 
 x1. y 1= x 2 . y 2 = ... = k. thì hai đại lượng và tỉ lệ nghịch với nhau. 
 II. Bài toán. 
Bài 12. Cho biết z tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ 2 và tỉ lệ nghịch với theo hệ số tỉ 
 lệ 3 . Hỏi có tỉ lệ nghịch với hay không và tìm hệ số ( nếu có ) ? 
 Lời giải 
 Vì tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ nên ta có zy= 2 . 
 3
 Vì tỉ lệ nghịch với theo hệ số tỉ lệ nên ta có y = 
 x
 36
 Suy ra z ==2. . Vậy có tỉ lệ nghịch với với hệ số tỉ lệ 6 
 xx
 Bài 13. Cho biết tỉ lệ nghịch với theo hệ số tỉ lệ và tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ 
 lệ . Hỏi có tỉ lệ nghịch với hay không và tìm hệ số ( nếu có ) ? 
 Lời giải 
 2
 Vì tỉ lệ nghịch với theo hệ số tỉ lệ nên ta có z = . 
 y
 Vì tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ x nên ta có yx= 3 
 2 2
 Suy ra z = . Vậy có tỉ lệ nghịch với với hệ số tỉ lệ 
 3x 3
 Bài 14. Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ là 5 , hai đại lượng y 
 và z tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ 4 . Hỏi x và z tỉ lệ thuận hay tỉ lệ 
 nghịch . Tìm hệ số tỉ lệ? 
 Lời giải 
 Hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ là 5 nên 
 5
 x.5 y= y = (1). 
 x
 Hai đại lượng y và z tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ là 4 nên yz.4= 
 (2). 
 54
 Thay (1) vào (2) ta được .4z= z = x 
 x 5
 7 a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ của đối với 
 b) Điền số thích hyợp vào ô trống 
 Lời giải 
 Vì và là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên x.0 y= a( a ) 
 hệ số tỉ lệ a= x11. y = 6.7 = 42 
 Do đó ta có thể điền các giá trị vào ô còn trống trong bảng như sau: 
 x y
Bài 18. 
 Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau, hãy điền các giá trị thích hợp 
vào ô còn trống trong bảng sau. 
 Lời giải 
 k
 Vì và là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên ta có y= k = xy 
 x
 3 3
 Với xy==12, thay vào k= xy ta được: k ==12. 18 . 
 2 2
 18 18
 Vậy y = và x = , từ đó ta có bảng sau 
 x y
 x
Bài 19. 
 Các giá trị của và được cho trong bảng sau: 
a.Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng đã cho . 
b. Hai đại lượng và được cho ở trên có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không ? Vì 
sao? Tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x (nếu có) . 
 Lời giải 
 9