Chuyên đề Đa thức một biến Toán Lớp 7

 CHUYÊN ĐỀ 25: ĐA THỨC MỘT BIẾN 
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 
+ Đa thức một biến ( gọi tắt là đa thức) là tổng của những đơn thức của cùng một biến; mỗi 
đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó. 
+ Số 0 cũng được gọi là một đa thức, gọi là đa thức không. 
+ Kí hiệu: Ta thường kí hiệu đa thức bằng một chữ cái in hoa. Đôi khi còn viết thêm kí hiệu 
biến trong ngoặc đơn. 
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI. 
Dạng 1. Thu gọn và sắp xếp đa thức một biến. 
I. Phương pháp giải: 
+ Thu gọn đa thức một biến: Thực hiện phép tính cộng các đơn thức cùng bậc. 
+ Sắp xếp đa thức một biến (đa thức khác 0 ): Viết đa thức dưới dạng thu gọn và sắp xếp các 
hạng tử của nó theo lũy thừa giảm của biến. 
II. Bài toán. 
* Mức độ nhận biết 
Bài 1. Thu gọn và sắp xếp các hạng tử đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của biến 
 P( x) = − x33 + x + x −21 x + . 
 Lời giải: 
 P( x) = − x33 + x + x −21 x + 
 P( x) =( − x33 + x) +( x −21 x) + 
 P( x) = − x +1 
Sắp xếp các hạng tử theo lũy thừa giảm dần: P( x) = − x +1. 
Bài 2. Thu gọn và sắp xếp các hạng tử đa thức sau theo lũy thừa tăng dần của biến 
Q( x) = − x22 +2 − 3 x + 5 x . 
 Lời giải: 
Q( x) = − x22 +2 − 3 x + 5 x 
Q( x) =( − x22 −3 x) + 5 x + 2 
Q( x) = −4 x2 + 5 x + 2 
Sắp xếp các hạng tử theo lũy thừa tăng dần: Q( x) =2 + 5 x − 4 x2 . 
Bài 3. Thu gọn và sắp xếp các hạng tử đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của biến: 
 M x= − x22 −3 + 7 x − 2 x .
 ( ) 
 Lời giải: 
 M( x) = − x22 −3 + 7 x − 2 x 
 M( x) =( − x22 +7 x) − 2 x − 3 
 M( x) =6 x2 − 2 x − 3 
Sắp xếp các hạng tử theo lũy thừa giảm dần: M x=6 x2 − 2 x − 3 .
 ( ) 
Bài 4. Thu gọn và sắp xếp các hạng tử đa thức sau theo lũy thừa tăng dần của biến:
 N( y) = y32 +32 y − y + y . 
 Lời giải: 
 N( y) = y32 +32 y − y + y 
 1 Bài 10. Thu gọn và sắp xếp đa thức B( x )= 3 x − 5 + 4 x3 − 8 x + 10 theo lũy thừa giảm dần của 
biến. 
 Lời giải 
Ta có: B( x )= 3 x − 5 + 4 x3 − 8 x + 10 
 B( x) =4 x3 +( 3 x − 8 x) +( − 5 + 10) 
 B( x )= 4 x3 − 5 x + 5. 
* Mức độ vận dụng 
Bài 11. Sắp xếp các hạng tử của đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của biến: 
 2 1 4 5
G= b3 + b 2 −22 b 4 + b 3 + b 2 − . 
 3 2 3 2
 Lời giải: 
 2 1 4 5
G= b3 + b 2 −22 b 4 + b 3 + b 2 − 
 3 2 3 2
 4 4 3 2 3 5 2 1 2 
G= −22 b + b + b + b + b − 
 3 3 2 2 
G= −2 b4 + 2 b 3 + 3 b 2 − 2. 
Bài 12. Sắp xếp các hạng tử của đa thức sau theo lũy thừa tăng dần của biến. 
 M x= − x5 +3 x 2 − 3 + 7 x 2 + x 5 − 2 x .
 ( ) 
 Lời giải: 
 M( x) = − x5 +3 x 2 − 3 + 7 x 2 + x 5 − 2 x 
 M( x) =( x5 − x 5) +(3 x 2 + 7 x 2 ) − 2 x − 3 
 M( x) =10 x2 − 2 x − 3 
 M( x )= − 3 − 2 x + 10 x2 . 
Bài 13. Sắp xếp các hạng tử của đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của biến. 
 32 3
 D( u) =2 u +( 2 u) u − 2 u + 5.
 2 
 Lời giải: 
 32 3
 D( u) =2 u +( 2 u) u − 2 u + 5 
 2
 D( u) =2 u33 + 3 u − 2 u + 5 
 D u=5 u3 − 2 u + 5
 ( ) 
Bài 14. Sắp xếp các hạng tử của đa thức sau theo lũy thừa tăng dần của biến. 
 233 2 3 3 5
 A= a −(15 a) a − 2 a + 5 a − a 
 35 
 Lời giải: 
 233 2 3 3 5
 A= a −(15 a) a − 2 a + 5 a − a 
 35 
 2
 A= a3 −9 a 5 − 2 a + 5 a 3 − a 5 
 3
 3 D( x )= 5 x3 − 2 x 3 − 7 x 2 + 9 x 4 − 5 x 4 + 8 − x
 ( ) ( ) 
 3 2 4
 D( x )= 3 x − 7 x + 4 x + 8 − x 
 D( x )= 8 − x − 7 x2 + 3 x 3 + 4 x 4 
Bài 20. Hãy thu gọn và sắp xếp các hạng tử đa thức sau theo lũy thừa tăng dần của biến: 
Q()857696752 y= y − y4 + y 2 − y 3 + y 4 − y − y 2 + y 3 − . 
 Lời giải: 
Q()857696752 y= y − y4 + y 2 − y 3 + y 4 − y − y 2 + y 3 − 
Q()86 y=−+−+( y y) ( 59 y4 y 4) +( 77 y 2 − y 2) +−+( 652 y 3 y 3 ) − 
Q( y )= 2 y + 4 y43 − y − 2 
Q( y )= − 2 + 2 y − y34 + 4 y . 
Dạng 2: Tìm bậc và các hệ số của một đa thức. 
I. Phương pháp giải: 
 Trong một đa thức thu gọn và khác đa thức không: 
 • Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức đó. 
 • Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất của đa thức đó. 
 • Hệ số của hạng tử có bậc 0 gọi là hệ số tự do của đa thức đó. 
 Chú ý: 
 • Đa thức không thì không có bậc. 
 • Trong một đa thức thu gọn, hệ số cao nhất phải khác 0 (các hệ số khác có thể bằng 0 ). 
 • Muốn tìm bậc của một đa thức chưa thu gọn, ta phải thu gọn đa thức đó. 
II. Bài toán. 
* Mức độ nhận biết 
Bài 1. Xác định bậc và tìm hệ số của đa thức một biến sau B() x= 2 x4 − 3 x 3 + x – 4 x 2 + 4 . 
 Lời giải: 
Đa thức Bx() có bậc 4 . 
Hệ số cao nhất là 2 , hệ số lũy thừa bậc 3 là −3, hệ số lũy thừa bậc 2 là −4 , hệ số lũy thừa bậc 
1 là 1hệ số tự do là 4. 
Bài 2. Xác định bậc và tìm hệ số của đa thức một biến sau C( x )=+ 3 x23 – 2 x x . 
 Lời giải: 
Đa thức Cx() có bậc 3 . 
Hệ số cao nhất là 1, hệ số lũy thừa bậc 2 là 3 , hệ số lũy thừa bậc 1 là −2 . 
Bài 3. Xác định bậc và tìm hệ số của đa thức một biến sau D( y )= 5 y5 − 2 y 3 + y 4 . 
 Lời giải: 
Đa thức Dy() có bậc 5 . 
Hệ số cao nhất là 5 , hệ số lũy thừa bậc 4 là 1, hệ số lũy thừa bậc 3 là −2 . 
Bài 4. Xác định bậc và tìm hệ số của đa thức một biến sau E( y )= 5 y53 − 2 y + 3 y4 – 5 y5 . 
 Lời giải: 
Ta có: E( y )= 5 y53 − 2 y + 3 y4 – 5 y5 = ( 5y54 – 5 y5 ) + 3 y − 2 y3 =−32yy43. 
Đa thức Ey() có bậc 4 . 
Hệ số cao nhất là 3 , hệ số lũy thừa bậc 3 là −2 . 
Bài 5. Xác định bậc và tìm hệ số của đa thức một biến sau: 
G( y )= 5 y5 − 2 y3 + 3 y4 – 5 y54+y3 −3y + 20222 . 
 Lời giải: 
 5 c) C= mx44 + x −1. Bậc C là 4 khi m khác -1 ; bậc C là 0 khi m bằng -1. 
 x3
Bài 10. Thu gọn và sắp xếp đa thức E( x) = −2 x5 − 5 ax + bx 2 + 3 x 4 + − 3 x 2 − 1 ( ab, là các hằng 
 5
số khác 0 ) theo lũy thừa giảm dần của biến rồi xác định các hệ số của đa thức trên. 
 Lời giải: 
 x3
 E( x) = −2 x5 − 5 ax + bx 2 + 3 x 4 + − 3 x 2 − 1 
 5
 x3
 E( x) = −2 x5 + 3 x 4 + +( bx 2 − 3 x 2 ) − 5 ax − 1 
 5
 x3
 E( x) = −2 x5 + 3 x 4 + +( b − 3) x 2 − 5 ax − 1
 5 
Hệ số cao nhất là −2 . 
Hệ số lũy thừa bậc 4 là 3 . 
 1
Hệ số lũy thừa bậc 3 là . 
 5
Hệ số lũy thừa bậc 2 là b −3. 
Hệ số luỹ thừa bậc 1 là −5a . 
Hệ số tự do là −1. 
* Mức độ vận dụng 
Bài 11. Thu gọn rồi tìm bậc của các đa thức sau: 
 a) A= 3 x2 + 7 x 3 − 3 x 3 + 6 x 3 − 3 x 2 ; b) B= 3 x22 + x − 3 x − 5
 Lời giải 
 a) A= 3 x2 + 7 x 3 − 3 x 3 + 6 x 3 − 3 x 2 =(7x3 − 3 x 3 + 6 x 3) +( 3 x 2 − 3 x 2 ) =10x3 có bậc là 3. 
b) B= 3 x22 + x − 3 x − 5 =(3x22 − 3 x) + x − 5 =−x 5 có bậc là 1. 
Bài 12. Cho đa thức: A() x= − 2x2 + 3x − x 4 + 53x + 2 − 4x; 
a) Thu gọn, sắp xếp các hạng tử theo lũy thừa giảm của biến. 
b) Xác định các hệ số của các đa thức. 
 Lời giải 
a) A() x= − 2x2 + 3x − x 4 + 53x + 2 − 4x =− x4 + (3x 2 − 2x 2 ) + (3x − 4x) + 5 = −x42 +x − x + 5. 
b) Đa thức Ax() có hệ số cao nhất là −1, hệ số lũy thừa bậc 2 là 1, hệ số lũy thừa bậc 1 là −1, 
hệ số tự do là 5 . 
Bài 13. Cho đa thức: Bx( )= 3x − 5 + 4x3 − 8x + 10 ; 
a) Thu gọn, sắp xếp các hạng tử theo lũy thừa tăng dần của biến. 
b) Xác định các hệ số của các đa thức 
 Lời giải 
a) Bx( )= 3x − 5 + 4x3 − 8x + 10 =4x3 + (3x − 8x) + (10 − 5) =4x3 − 5x + 5 =5 − 5x + 4x3 . 
b) Đa thức Bx() có hệ số cao nhất là 4 , hệ số lũy thừa bậc 1 là −5, hệ số tự do là 5 . 
Bài 14. Cho đa thức: C( x )= − 3x2 + 5 − 8x + 2x 4 + x 3 − 4 
a) Thu gọn, sắp xếp các hạng tử theo lũy thừa giảm của biến. 
b) Xác định các hệ số của các đa thức. 
 Lời giải 
a) C( x )= − 3x2 + 5 − 8x + 2x 4 + x 3 − 4 =2x4 +x 3 − 3x 2 − 8x + (5 − 4) =2x4 +x 3 − 3x 2 − 8x + 1. 
b) Đa thức Cx() có hệ số cao nhất là 2 , hệ số lũy thừa bậc 3 là 1 , hệ số lũy thừa bậc 2 là −3, 
hệ số lũy thừa bậc 1 là −8, hệ số tự do là 1. 
 7 Viết đa thức dưới dạng thu gọn với các hệ số bằng số, biết rằng Ax( ) có bậc là 5 ; hệ số cao nhất 
là 19và hệ số tự do là −15 . 
 Lời giải 
Ta có: 
 Axbxb( ) =+−( 2) x5 −−( a 12) x 6 + 0,5 ax 3 −−+−+++−− 5 xbx 2 3 410116 cx 4 x 5 xaxcx 6 ( 1)
 Ax( ) =−−6 x6( a 12) x 6 ++− 11 x 5( b 2) x 5 ++ 4 cx 4 0,5 axbx 3 −−+−++− 3 5 x 2 ( acxbxc) 10 
 =−+( a18) xb6 ++( 9) x 5 + 4 cx 4 +( 0,5 abx −) 3 −+−++− 5 xacbxc 2 ( ) ( 10) 
 −a +18 = 0 a =18
Theo đề bài ra, ta có b +=9 19 suy ra b =10 
 c −10 = − 15 c =−5
Vậy A x=19 x5 − 20 x 4 − x 3 − 5 x 2 + 33 x − 15 .
 ( ) 
Bài 22. Xác định đa thức bậc hai Q( x) = ax2 + bx + c biết rằng Q(−=16) ; Q(23) = và tổng các 
hệ số của đa thức bằng 0 . 
 Lời giải 
Xét đa thức: Q( x) = ax2 + bx + c . 
Do Q(−=16) nên a− b + c = 6 (1) 
 Q(23) = nên 4a+ 2 b + c = 3 (2) 
và tổng các hệ số của đa thức bằng 0 nên abc+ + = 0 (3) 
Lấy (3) trừ (1) , ta được b =−3, khi đó 49ac+= và ac+=3 nên ac==2; 1. 
Vậy Q( x) =2 x2 − 3 x + 1. 
Dạng 3: Tính giá trị của đa thức 
I. Phương pháp giải: 
+ Để tính giá trị của đa thức ta thực hiện theo các bước 
 Bước 1: Thu gọn, sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến. 
 Bước 2: Thay giá trị cụ thể của biến vào đa thức và thực hiện các phép tính. 
 Bước 3: Kết luận. 
II. Bài toán. 
* Mức độ nhận biết 
 2 1
Bài 1: Tính giá trị của đa thức A( y )=+ 7 y – 3 y tại y =−2. 
 2
 Lời giải 
 1 1 69
 A(− 2) = 7.( − 2)2 – 3.( − 2) + =28 + 6 + = . 
 2 2 2
 69
Vậy tại y =−2 đa thức Ay( ) có giá trị bằng . 
 2
 511 3 5
Bài 2: Tính giá trị của đa thức B( x )= − 4 x – 3 x – + 7 x + 4 x + tại x = 5; 
 22
 Lời giải 
 11
 B( x )= − 4 x5 – 3 x – + 7 x 3 + 4 x 5 + =−73xx3 . 
 22
 B(5)= 7.53 − 3.5 = 875 − 15 = 860 . 
Vậy tại x = 5 đa thức Bx( ) có giá trị bằng 860. 
 9