Chuyên đề Đa thức - Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ: ĐA THỨC LỚP 7 
 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH ĐA THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ 
Bài 1: Cho đa thức: f( x) = a. x2 + bx + c , Xác định các hệ số a,b,c biết: f(0) = 2; f( 1) = 7; f ( − 2) = − 14 
Bài 2: Cho đa thức: f( x) = a. x2 + bx + c , Xác dịnh a, b, c biết: ff(−2) = 0,( 2) = 0 và a là số lớn hơn c ba 
đơn vị 
Bài 3: Cho đa thức bậc hai: P( x) = a. x2 + bx + c, biết rằng P(x) thỏa mãn cả hai điều kiện sau: 
 P(0) = − 2,4 P( x) − P( 2 x − 1) = 6 x − 6 , CMR: a+b+c=0 và xác định đa thức P(x) 
 32 1
Bài 4: Cho hàm số f( x) = ax + bx + cx + d thỏa mãn: f(−1) = 2, f( 0) = 1, f = 3, f ( 1) = 7 , 
 2
Xác định giá trị a, b, c và d 
Bài 5: Xác định đa thức: P( x) = a. x32 + bx + cx + d , biết: PPPP(0) = 2017,( 1) = 2,( − 1) = 6,( 2) = − 6033 
Bài 6: Cho hàm số: y= f( x) = ax2 + bx + c cho biết f(0)=2010, f(1)=2011, f(-1)=2012, Tính f(-2) 
HD: 
 Theo gt ta có: fc(0)= 2010 = = 2010, f(1)= 2011 = a + b + c = 2011 = a + b = 1 
 3 −1
 và f(−= 1) 2012 = −+= a b c 2012 = −= a b 2 =>a= , b = khi đó hàm số có dạng 
 2 2
 31
 y= f( x) = x2 − x + 2010 => f(2)=2017 
 22
Bài 7: Cho đa thức G( x) = a. x2 + bx + c (a, b, c là các hệ số) 
 a, Hãy tính G(−1) biết a+c=b - 8 
 b, Tìm a, b, c biết: GGG(0) = 4,( 1) = 9,( 2) = 14 
 2015
Bài 8: Cho đa thức: f( x) = x2 − ax − 3 và g( x) =( x32 − x − x − a −1) 
a, Tìm a biết -1 là 1 nghiệm của f(x) 
b, Với a tìm được ở câu a, Tìm nghiệm còn lại của f(x) và tính g(2) 
Bài 9: Cho hàm số y= f( x) = ax2 + bx + c và biết f(0) = 2014, f( 1) = 2015, f ( − 1) = 2017 , 
Tính f (−2) 
HD: 
 Ta có: fc(0) = 2014 = = 2014 
 f(1) = 2015 = a + b + c = 2015 = a + b = 1 
 f(−=1) 2017 = −+= a b c 2017 = −= a b 3 
 2
 = ab =2, = − 1, khi đó: f( x) =2 x2 −+ x 2014 = −=−−−+ f ( 2) 2.( 2) ( 2) 2014 = 2024 
Bài 10: Xác định a,b,c để hai đa thức sau là hai đa thức sau đồng nhất: 
 A= a. x2 − 9 x + 6 x 2 −( 4 x 2 − 3 x) và B=2 x2 − 3 bx + c − 1 
Bài 11: Xác định các hệ số a, b của đa thức : f( x) = x2 +a.x+b trong mỗi trường hợp sau : 
 a, f(0) = 4 và f(x) nhận x = 1 là nghiệm của nó 
 b, Các nghiệm của đa thức g(x) = (x+1)(x-2) cũng là nghiệm của f(x) 
Bài 12: Cho f( x) = a. x32 + 4 x( x − 1) + 8 và g( x) = x3 +4 x( bx + 1) + c − 3, trong đó a,b,c là các hằng số 
Xác định a,b,c để f(x)=g(x) 
 3 
 1 2
 Bài 19: Cho đa thức Px() xác định với mọi x thuộc R, Biết rằng với mọi x ta đều có: f( x) +=3 f x
 x 
Tính f(2) 
HD: 
 1 11 13
 Ta có: ff(2) += 3 4 (1) và ff +=32( ) => 9ff( 2) += 3 (2) 
 2 24 24
 −13 −13
 Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: 8f ( 2) = , do đó: f (2) = 
 4 24
Bài 20: Cho f( x) = x17 −2015 x 16 + 2015 x 15 − 2015 x 14 + ... + 2015 x − 1, Tính f (2014) 
Bài 21: Cho đa thức: 
 f( x) =4 − 4 x4 + 3 x 2 + 6 x + 4 x 4 − 2 x 2 − 2 x , Tính giá trị của fx( ) khi x −=11 
Bài 22: Tính giá trị của đa thức sau biết x+y=0 
a, A=2 x = 2 y + 3 xyxy( +) + 5( xy3 2 + xy 2 3 ) + 2 
b, B=3 xy( x + y) + 2 x3 y + 2 x 2 y 2 + 5 
Bài 23: Cho xy22+=1, Tính giá trị của biểu thức : P=23 x4 + x 2 y 2 + y 4 + y 2 
Bài 24: Tính giá trị của biểu thức: Nxyz=2 3 + xyz 2 3 4 + xyz 3 4 5 +... + x 2014 y 2015 z 2016 , tại x=-1, y=-1, z=-1 
HD : 
 Ta có N= xyzyz.2 + xyzyz 2 2 2 . 2 + xyzyz 3 3 3 . 2 + ... + x 2014 y 2014 z 2014 . yz 2 
 Thay y=-1, z=-1 vào ta được: N= − xyzxyz −2 2 2 − xyz 3 3 3 −... − x 2014 y 2014 z 2014 
 2 3 2014
 = −(xyz) −( xyz) −( xyz) −... − ( xyz) 
 Thay xyz=-1 vào ta được : N =1 − 1 + 1 − 1 + ... + 1 − 1 = 0 
Bài 25: Cho đa thức: A=2 x( x − 3) − x( x − 7) − 5( x − 403).Tính giá trị của A khi x=4, Tìm x để A=2015 
 2
Bài 26: Cho đa thức: A=11 xyz432 + 20 xyz 2 −( 4 xyz 2 − 10 xyz 2 + 3 xyz 432) −( 2008 xyz 243 + 8 xy z ) 
a, Tìm bậc của A 
b, Tính A nếu 15x-2y=1004z 
HD: 
 Thu gọn A=30 x2 yz − 4 xy 2 z − 2008 xyz 2 =2xyz (15 x − 2 y − 1004 z ) 
Bài 27: Tính giá trị của biểu thức: 5xx2 +− 6 2 khi x −=12 
Bài 28: Tính giá trị của biểu thức: x5−2009 x 4 + 2009 x 3 − 2009 x 2 + 2009 x − 2010 tại x=2008 
Bài 29: Tính giá trị của biểu thức: 2xy53−+ 5 4, biết (xy−1)20 +( + 2) 30 = 0 
Bài 30: Cho đa thức: A( x) = x + x2 + x 3 +... + x 100 , 
 1
a, CMR: x=-1 là nghiệm của A(x) b, Tính giá trị của A(x) tại x = 
 2
HD: 
 a, A(-1)= -1+1-1+1-....-1+1=0 nên -1 là 1 nghiệm của A, hoặc 
 A( x) = x( x +1) + x2( x + 1) + ... + x 99 ( x + 1) 
 1 1 1 1
 b, Với xA= = = + +... + 
 2 2 22 2 100
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 5 
Bài 44: Cho f( x) = a. x2 + bx + c , Trong đó a, b, c là các số nguyên, biết rằng giá trị của f(x) chia hết cho 3 
với mọi giá trị của x, CMR a, b, c đều chia hết cho 3 
Bài 45: Cho đa thức: Qx( ) = ax32 + bx + cx + dabcd,,,,( Z) , Biết Q(x) chia hết cho 3 với mọi số nguyên x, 
CMR: các hệ số a,b,c,d đều chia hết cho 3 
Bài 46: Cho hàm số : fx( ) = ax2 + bxcabc +.,,( Z ). Biết f(1) chia hết cho 3, f(0) chia hết cho 3, 
 và f(-1) cũng chia hết cho 3, CMR a,b,c đều chia hết cho 3 
HD: 
 Ta có f(0)=c, f(1)= a+b+c, f(-1)=a-b+c, Vì f(0) 3 nên c 3, Vì f(-1) 3 nên a+b+c 3=>a+b 3 (1) 
 và f(-1) 3 nên a-b+c 3 => a-b 3 (2), Từ (1) và (2) nên (a+b)+(a-b) 3 =>2a 3=>a 3=>b 3 
Bài 47: Cho f( x) =−2010 x , CMR : f(a+b)=f(a)+f(b) 
Bài 48: Cho đa thức : a.0 x2 + bx + c = với mọi giá trị của x, CMR : a=b=c=0 
HD: 
 Vì đa thức a.0 x2 + bx + c = với mọi x, Ta cho x nhận các giá trị x=0, x=1 và x=-1 
 Ta có : c=0, a+b+c=0 và a-b+c=0=> a=b=c=0 
Bài 49: Cho đa thức: f( x) = ax2 + bx + c , CMR nếu f(x) nhân 1 và -1 là nghiệm thì a và c là hai số trái dấu 
HD: 
 Ta có 1 là nghiệm của f(x) nên f(1)=0 hay a+b+c=0, và -1 là nghiệm nên a-b+c=0 
 Cộng theo vế ta được: 2a+2c=0=> a =-c, vậy a và c là hai số đối nhau 
Bài 50: Cho f( x) = a. x2 + bx + c nhận giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của x, CMR : 2a, a+b và c là các 
số nguyên 
HD: 
 Ta có : f(0) = a .02 + b .0 + c = c Z và f(1) = a + b + c Z = a + b 
 f(2) = 4 abcZ + 2 + = 2 aabcZ + 2( ++ = ) 2 aZ 
Bài 51: Cho đa thức P(). x= a x32 + bx + cx + d với P(0) và P(1) là 1 số lẻ, CMR : P(x) không thể có nghiệm là 
1 số nguyên 
HD : 
 P(0)=d lẻ và P(1)=a+b+c+d lẻ, do đó - P(1) là 1 số lẻ 
 Giả sử P(x) có 1 nghiệm nguyên là m ta có P(m)=0 => (am32+ bm + cmd +) −( abcd + + + ) lẻ 
 => a( m32− 1) + b ( m − 1) + c ( m − 1) lẻ => m chẵn=> P(m) lẻ, Điều này mâu thuẫn 
Bài 52: Cho f( x) = a. x2 + bx + c có tính chất f(1),f(4),f(9) là các số hữu tỉ, CMR khi đó a,b,c là các số hữu tỉ 
HD: 
 f1 = a + b + c Q , f4= 16 a + 4 b + c Q và f9= 81 a + 9 b + c Q 
 ( ) ( ) ( )
 Từ (1) và (2) => (16abcabc+ 4 +) −( + +) = 15 ab + 3 = 3( 5 abQ +) do đó 5a+ b Q 
 Từ (2) và (3) => (81abc++− 9) ( 16 abc ++= 4) 65 ab += 5 5( 13 abQ + = ) 13 abQ + 
 Nên (13a+ 5 b) −( 5 a + b) Q = 8 a Q = a Q 
 Khi aQ thì bQ và cQ 
Bài 53: Cho đa thức bậc hai thỏa mãn : PP(1)=− ( 1) , CMR : P()() x=− P x với mọi x 
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 7 
HD: 
 Xét tổng bằng dương 
Bài 67: Cho hai đa thức : P( x) =5 x32 + 6 x − 9 x + 4 và Q( x) = −5 x32 − 4 x + 9 x + 5, CMR: không tồn tại giá trị 
nào của x để đa thức P(x) và Q(x) cùng có giá trị không dương 
HD: 
 Xét tổng bằng dương 
 6
Bài 68: Cho 3 đơn thức: M= −5 x19 y , N = 11 xy 12 , P = x 2 y 3 , CMR ba đơn thức này không thể có cùng giá trị 
 5
dương 
Bài 69: Cho hai đa thức: M=6 x22 + 3 xy − 2 y và N=3 y22 − 2 x − 3 xy chứng minh rằng không tồn tại giá trị 
nào của x và y để hai đa thức cùng có giá trị âm 
Bài 70: Cho đa thức A= −4 x22 + 7 xy − 6 y và B=9 x22 − 7 xy + 11 y , CMR A và B không thể cùng có giá trị 
âm 
Bài 71: Cho P= x2 −5 xy + 2 y 2 , Q = − 6 x 2 + 5 xy − 13 y 2 , CMR: P và Q không thể có cùng giá trị dương 
Bài 72: Cho đa thức : P(). x= a x2 + bx + c Cho biết 9a-b=-3c, CMR : Trong ba số P(-1) ; P(-2) ; P(2) có ít nhất 
1 số âm, ít nhất 1 số không dương 
HD : 
 Ta có : P(-1)+P(-2)+P(2)=9a-b+3c=0 do đó trong ít nhất ba số trên có 1 số không âm, ít nhất 1 số 
không dương 
 2008 2009
Bài 73: Tính tổng các hệ số của đa thức sau khi bỏ dấu ngoặc : P( x) =(8 x22 + 3 x − 10) ( 8 x + x − 10) 
HD: 
 nn−1
 Sau khi bỏ ngoặc ta được : P( x) = ann x + a−1 x +... + a 1 x + a 0 với n =+2.2008 2.2009 
 Thay x=1, thì giấ trị của P(1) bằng tổng các hệ số của P(x) 
 2008 2009
 Ta có P(1) =( 8.122 + 3.1 − 10) ( 8.1 + 1 − 10) = − 1 
Bài 74: Tính tổng các hệ số của đa thức F(x) sau khi thu gọn: 
 2011 2008
f( x) =(1999 x2 − 2000 x + 2) .( 2002 x 3 − 2003 x 2 + 2005 x − 2005) 
Bài 75: Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: 
 2016 2019
(3− 4x + x22) .( 3 + 4 x + x ) 
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức