Chuyên đề Cực trị trong không gian Oxyz - Toán 12

 CHUYÊN ĐỀ
 CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz
I. PHƯƠNG PHÁP
Để tìm cực trị trong không gian chúng ta thường sử dụng hai cách làm:
Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học
Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số.
Bài toán 1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) và mặt phẳng 
(P) : ax by cz d 0. Tìm điểm M (P) sao cho
1. MA MB nhỏ nhất.
2. MA MB lớn nhất với d(A, (P)) d(B, (P)).
Phương pháp:
 Xét vị trí tương đối của các điểm A, B so với mặt phẳng (P).
 Nếu (axA byA czA d)(axB byB czB d) 0 thì hai điểm A, B cùng phía với mặt phẳng (P).
 Nếu (axA byA czA d)(axB byB czB d) 0 thì hai điểm A, B nằm khác phía với mặt phẳng 
(P).
1. MA MB nhỏ nhất.
 Trường hợp 1: Hai điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P).
Vì A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P) nên MA MB nhỏ nhất bằng AB khi và chỉ khi 
M (P)  AB.
 Trường hợp 2: Hai điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P).
Gọi A ' đối xứng với A qua mặt phẳng (P), khi đó A ' và B ở khác phía (P) và MA MA nên 
MA MB MA MB A B. 
Vậy MA MB nhỏ nhất bằng A B khi M A B  (P).
2. MA MB lớn nhất.
 Trường hợp 1: Hai điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P) .
Vì A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P) nên MA MB lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi 
M (P)  AB.
 Trường hợp 2: Hai điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P) .
Gọi A ' đối xứng với A qua mặt phẳng (P) , khi đó A ' và B ở cùng phía (P) và 
MA MA nên MA MB MA MB A B.
Vậy MA MB lớn nhất bằng A B khi M A B  (P).
Bài toán 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) biết
1. (P) đi qua đường thẳng và khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất
2. (P) đi qua và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất
3. (P) đi qua và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất.
Phương pháp:
Cách 1: Dùng phương pháp đại số Ví dụ 1. 8 Trong không gian với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz cho A(2;5; 3) và đường thẳng 
 x 1 y z 2
d : . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên d và viết phương trình mặt phẳng 
 2 1 2
(P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất.
Lời giải.  
 Đường thẳng d có ud (2;1; 2) là VTCP. 
  
Gọi H là hình chiếu của A lên d H(1 2t; t; 2 2t) AH (2t 1; t 5; 2t 1) .
   
Do AH  d AH.ud 0 2(2t 1) t 5 2(2t 1) 0 t 1 H(3;1; 4) .
 Gọi H ' là hình chiếu của A lên mp(P) . 
Khi đó, ta có: AH ' AH d(A, (P)) lớn nhất H  H ' (P)  AH
  
Suy ra AH (1; 4;1) là VTPT của (P) và (P) đi qua H .
Vậy phương trình (P) : x 4y z 3 0 .
Ví dụ 2.8 Trong không gian với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz cho bốn điểm 
A 1; 0; 0 , B 1;1; 0 , C 0;1; 0 , D 0; 0; m với m 0 là tham số.
1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD khi m 2 ;
2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên BD . Tìm các giá trị của tham số m để diện tích tam giác 
OBH đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải.  
Ta có: AB (0;1; 0), CD (0; 1; m)
   
1. Với m 2 ta có: CD (0; 1; 2) và AC ( 1;1; 0)
      
Do đó AB, CD (2; 0; 0) AB, CD .AC 2
    
 AB, CD .AC
   2
Vậy d(AB, CD)   1 .
 AB, CD 2
2. Đặt x OH BH OB2 OH2 2 x2
 1 1 1 1
Suy ra S x. 2 x2 x2(2 x2) (x2 2 x2) . 
 OBH 2 2 4 2
Đẳng thức xảy ra x 1 OH 1 d(O, BD) 1
     
Ta có: BD ( 1; 1; m), OB (1;1; 0) BD, OB ( m; m; 0)
   
 BD, OB 
 m 2
Do đó d(O, BD)  1 2m2 2 m2
 BD 2 m2
 m 2
Vậy m 2 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3.8 Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(1; 9; 4) và cắt các trục tọa độ tại các điểm 
A, B, C (khác gốc tọa độ) sao cho:
1. M là trực tâm của tam giác ABC ;
2. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( ) là lớn nhất;
3. OA OB OC ;
4. 8OA 12OB 16 37OC và xA 0, zC 0 .
Lời giải. 1 9 4
 Trường hợp 4: a b c. Từ (1) có 1 a 12, nên phương trình ( ) là 
 a a a
x y z 12 0.
Vậy có bốn mặt phẳng thỏa mãn là x y z 14 0, và các mặt phẳng 
 x y z 6 0, x y z 4 0, x y z 12 0.
4. Vì xA 0, zC 0 nên a 0, c 0, do đó 
 8OA 12OB 16 37OC 8a 12 b 16 37c.
 8 2a 4
 Nếu b 0 c a, b , a 2 nên từ (1) ta có 
 37 3
1 27 37 2 a 5
 1 a 2a 35 0 
a 2a 4 2a a 7
 40
Vì a 2 nên a 5 b 2; c , phương trình mặt phẳng cần tìm là 
 37
 ( ) : 8x 20y 37z 40 0.
 8 4 2a
 Nếu b 0 c a, b , a 2 nên từ (1) ta có 
 37 3
 1 27 37 29 3 109
 1 a2 29a 35 0 a 
 a 4 2a 2a 2
Vì a 2 nên không có giá trị thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 8x 20y 37z 40 0.
Ví dụ 4.8 Cho mặt cầu (S) : (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 25 và mặt phẳng ( ) có phương trình 
2x 2y z 7 0
1. Chứng minh rằng mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tâm và tìm bán kính 
của đường tròn đó;
2. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; 1; 2), B(3;5; 2) và (P) cắt mặt cầu (S) theo 
một đường tròn có bán kính nhỏ nhất.
Lời giải.
Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) , bán kính R 5 .
 2 2 1 7
1. Ta có d(I, ( )) 4 R , suy ra ( ) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn tâm H bán kính 
 22 22 12
r R2 d2(I, ( )) 3
H là hình chiếu của I lên mặt phẳng ( ) , suy ra phương trình của HI là:
 x 1 2t
 y 1 2t
 z 1 t
 x 1 2t 5
 x y 
 y 1 2t 3
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ 
 z 1 t 1
 z 
 2x 2y z 7 0 3
 5 5 1 
Vậy tâm H ; ; .
 3 3 3 
 x 1 t
  
2. Ta có AB 2; 6; 4 nên phương trình đường thẳng AB : y 1 3t
 y 2 2t
Vì IA R nên mặt phẳng (P) đi qua AB luôn cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính 
r 25 d2(I, (P)) . x 5 2t
Ta có: AA '  (P) AA ' : y 2 t
 z 6 2t
Tọa độ giao điểm H của AA ' và (P) là nghiệm của hệ: 
 x 5 2t
 x 1
 y 2 t 
 y 0 H(1; 1; 2)
 z 6 2t 
 z 2
 2x y 2z 6 0
 x 2x x 3
 A ' H A
H là trung điểm của AA ' yA ' 2yH yA 2 A '( 3; 2; 2)
 zA ' 2zH zA 2
 x 3 6t
  
Suy ra A ' B (6; 4; 3) , phương trình A ' B : y 2 4t , t ¡
 z 2 3t
 21
 x 
 x 3 6t 11
 y 2 4t 14
Tọa độ M là nghiệm của hệ y 
 z 2 3t 11
 2x y 2z 6 0 5
 z 
 11
 21 14 5 
Vậy M ; ; là điểm cần tìm.
 11 11 11 
2. Vì A, B nằm về cùng một phía so với (P) nên với mọi M (P) ta luôn có
 AM MB AB , đẳng thức xảy ra khi M AB  (P) .
 x 5 2t
Phương trình AB : y 2
 z 6 5t
 17
 x 5 2t x 
 7
 y 2 17 3 
Tọa độ M : y 2 . Vậy M ; 2; .
 z 6 5t 7 7
 3 
 2x y 2z 6 0 z 
 7
Ví dụ 7.8 Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; 1;1) , đường thẳng có phương trình 
 x 1 y z 1
: và mặt phẳng (P) : 2x y 2z 1 0
 2 1 1
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng và khoảng cách từ A đến (Q) lớn nhất;
2. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa và tạo với (P) một góc nhỏ nhất;
3. Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa hai điểm M(1;1;1), N( 1; 2; 1) và tạo với đường thẳng một 
góc lớn nhất.
Lời giải.  
Mặt phẳng (P) có nP (2; 1; 2) là VTPT
  
Đường thẳng đi qua B(1; 0; 1) và có u (2;1; 1) là VTCP.