Chuyên đề Cực trị hình học - Toán 9

 CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC
 CỰC TRỊ HÌNH HỌC
A- Phương pháp giải bài toán cực trị hình học.
 1- Dạng chung của bài toán cực trị hình học :
 “ Trong tất cả các hình có chung một tính chất , tìm những hình mà một đại
lượng nào đó ( độ dài đoạn thẳng , số đo góc, số đo diện tích ) có giá trị lớn nhất
hoặc giá trị nhỏ nhất.” và có thể được cho dưới các dạng :
 a) Bài toán về dựng hình .
 Ví dụ : Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn , xác định vị trí của
dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.
 b) Bài toán vể chứng minh .
 Ví dụ : Chứng minh rằng trong các dây đi qua điểm P trong một đường tròn (O),
dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất.
 c) Bài toán về tính toán.
 Ví dụ : Cho đường tròn (O;R) và điểm P nằm trong đường tròn có OP = h , Tính
độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P.
 2- Hướng giải bài toán cực trị hình học :
 a) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất ta
phải chứng tỏ được :
 +Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≤ m ( m là hằng số )
 +Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m
 b) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất ta
phải chứng tỏ được :
 +Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≥ m ( m là hằng số )
 +Xác định vị trí của hình H trên miền D để f = m 
 3 - Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học .
 + Cách1 :Trong các hình có tính chất của đề bài,chỉ ra một hình rồi chứng minh
mọi hình khác đều có giá trị của đại lượng phải tìm cực trị nhỏ hơn ( hoặc lớn hơn )
giá trị của đại lượng đó của hình đã chỉ ra.
 + Cách2 :Biến đổi tương đương điều kiện để đại lượng này đạt cực trị bởi đại
lượng khác đạt cực trị cho đến khi trả lời được câu hỏi mà đề bài yêu cầu.
 1 CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC
 b-Các ví dụ:
 Ví dụ 1: Trong các hình bình hành có hai đường chéo bằng 6 cm và 8 cm ,hình
nào có diện tích lớn nhất ? Tính diện tích lớn nhất đó.
 Giải :
 B
 B C
 C
 H O A O≡H
 A D
 D
 h.6 h.7
 Xét hình bình hành ABCD có AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6)
 Gọi O là giao điểm hai đường chéo . Kẻ BH ^ AC .
 Ta có : SABCD = 2SABC = AC.BH
 Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm. Do đó :
 2
 SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm )
 2
 SABCD = 24 cm BH ≡ BO H ≡ O BD ^AC
 2
 Vậy max SABCD = 24 cm . Khi đó hình bình hành ABCD là hình thoi (h.7) có diện
tích 24cm2.
 Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD . Trên các cạnh AB,BC ,CD,DA ta lấy theo thứ tự
các điểm E,F,G,H sao cho AE = BF = CG = DH . Xác định vị trí của các điểm E,
F,G,H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất .
 Giải : A E K B
 DHAE = DEBF = DFCG = DGHD
 HE = EF = FG = GH F
 EFGH là hình thoi .
 · · O
 AHE= BEF H
 AHE· + AEH· = 900 BEF· + AEH· = 900
 · 0 D C
 HEF= 90 G
 EFGH là hình vuông 
 Gọi O là giao điểm của AC và EG . Tứ giác h.8
AECG có AE = CG, AE //CG nên là hình bình hành
suy ra O là trung điểm của AC và EG , do đó O là tâm của cả hai hình vuông ABCD
và EFGH.
 DHOE vuông cân : HE2 = 2OE2 HE = OE 2
 Chu vi EFGH = 4HE = 4 2 OE . Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất OE nhỏ nhất 
 Kẻ OK ^AB OE ≥OK ( OK không đổi )
 OE = OK E ≡ K
 3 CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC
 Vậy Khi D ≡ B thì tổng các khoảng cách từ B và C đến AD có giá trị lớn nhất .
 2- Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc.
 a-Kiến thức cần nhớ:
 Với ba điểm A,B,C bất kỳ ta có : AC +CB ≥ AB
 AC +CB = AB C thuộc đoạn thẳng AB
 b-Các ví dụ:
 Ví dụ 5:Cho góc xOy· và điểm A nằm trong góc đó . Xác định điểm B thuộc tia
Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB +AC là nhỏ nhất .
 Giải:
 m
 Kẻ tia Om nằm ngoài góc xOy sao cho y
 yOm· = xOA· . Trên tia Om lấy điểm D sao D
cho OD = OA . Các điểm D và A cố định .
 OD =OA, OC = OB , · · 
 COD= BOA C
 DDOC = DAOB CD = AB
 A
 Do đó AC +AB = AC +CD 
 mà AC +CD ≥ AD
 O
 AC +AB ≥ AD B x
 Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi C ÎAD h.11
 Vậy min(AC+AB) =AD . Khi đó C là
giao điểm của AD và Oy , B thuộc tia Ox sao cho OB = OC.
 Ví dụ 6:Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD . Xác định vị trí các
điểm F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH
có chu vi nhỏ nhất.
 Giải :
 A F B
 I A F B
 I
 E K
 G E K
 G
 D m m
 C D
 H C
 h.12 H
 h.13
 Gọi I ,K, L theo thứ tự là trung điểm của EF, EG , EH (h.12).
 DAEF vuông tại A có AI là trung tuyến AI =1/2EF
 DCGH vuông tại C có Cm là trung tuyến Cm =1/2GH
 IK là đường trung bình của DEFG IK = 1/2FG
 Km là đường trung bình của DEGH Km = 1/2EH
 5 CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC
tròn (O), khi đó AD là đường kính của đường tròn (O’). Cát tuyến CBD ở vị trí C’BD’
vuông góc với dây chung AB.
 Ví dụ 8: Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn . Xác định dây
AB đi qua P sao choOAB· có giá trị lớn nhất .
 Giải:
 Xét tam giác cân OAB , góc ở đáy OAB· lớn nhất nếu
góc ở đỉnh AOB· nhỏ nhất .
 B’
 · 1 O
 AOB = sđAB» 
 2
 )
 · » A B
 Góc AOB nhỏ nhất Cung AB nhỏ nhất dây H P
AB nhỏ nhất Khoảng cách đến tâm OH lớn nhất.
 Ta có OH ≤ OP 
 OH =OP H ≡ P nên max OH = OP AB OP A’
 ^ h.19
 Suy ra dây AB phải xác định là dây A’B’ vuông góc
với OP tại P .
 4- Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai .
 a-Kiến thức cần nhớ:
 Các bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai được sử dụng dưới dạng :
 A2 ≥ 0 ; -A2 ≤ 0 
 Do đó với m là hằng số , ta có :
 f =A2 + m ≥ m ; min f = m với A = 0
 f = - A2 + m ≤ m ; max f = m với A = 0
 b-Các ví dụ:
 Ví dụ 9: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm . A x E 4-x B
Trên các cạnh AB, BC,CD,DA, lấy theo thứ tự các điểm
E,F,G,H sao cho AE = BF = CG = DH . Tính độ dài AE
 4-x
sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất. F
 Giải:
DAHE = DBEF = DCFG = DDGH H
 HE = EF = FG = GH , HEF = 900
 HEFG là hình vuông nên chu vi EFGH nhỏ nhất khi
 C
HE nhỏ nhất . D G
 Đặt AE = x thì HA = EB = 4-x h.20
 DHAE vuông tại A nên :
 HE 2 = AE2 +AE2 = x2 + (4 - x)2 = 2x2 - 8x +16 = 2(x - 2)2 +8 ≥ 8
 HE = 8 =2 2 x = 2
 Chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất bằng 8 2 cm , khi đó AE = 2 cm .
 7 CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC
 b-Các ví dụ:
 Ví dụ 11: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy . Vẽ các
đường tròn có đường kính MA và MB . Xác định vị trí của điểm M để tổng diện tích
của hai hình tròn có giá trị nhỏ nhất .
 Giải : 
 Đặt MA =x , MB = y
 Ta có : x + y =AB (0 < x,y < AB)
 Gọi S và S’ theo thứ tự là diện tích
 A O m O’ B
của hai hình tròn có đường kính là · ·
 y
mA và MB . x
 Ta có :
 2 2 2 2
 x    y x+ y h.22
S +S’ = p ¸ + p  ¸ = p.
 è2 ø è ø 2 4
 2
 2 2 ( x+ y)
 Ta có bất đẳng thức : x+ y ³ nên :
 2
 2
 ( x+ y) AB2
 S +S’³ p. =p.
 8 8
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
 AB2
 Do đó min (S+S’) =p. .Khi đó M là trung điểm của AB.
 8
 Ví dụ 12: Cho điểm M nằm trên đoạn thẳng AB .Vẽ về một phía của AB các tia
Ax và By vuông góc với AB . Qua M có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với
nhau và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D . Xác định vị trí của các điểm C,D sao cho
tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất .
 Giải : 
 1
 Ta có : SMCD = mC.MD y
 2 D
 Đặt MA = a , MB = b x
 a
 AmC· = BDm· =a 
 C
 a b
 mC = , MD = 
 cosa sin a
 1 ab A a(
 SMCD = a b B
 2 cosa .sin a m
 Do a,b là hằng số nên SMCD nhỏ nhất 2sina.cosa lớn nhấth.23 .
 9