Chuyên đề Cực trị của số phức (Vận dụng) - Toán 12

 CHUYấN ĐỀ: CỰC TRỊ SỐ PHỨC
A. LÍ THUYẾT 
1. Khỏi niệm số phức.
*Định nghĩa 1. Một số phức là một biểu thức dạng a + bi , trong đú a, b là cỏc số thực và số i thoả món 
i 2 = - 1. Kớ hiệu số phức đú là z và viết z = a + bi .
 Trong đú: i được gọi là đơn vị ảo, 
 a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi .
 Tập hợp cỏc số phức được kớ hiệu là Ê .
 *Chỳ ý: + Mỗi số thực a đều được xem như là 1 số phức với phần ảo b = 0 .
 + Số phức cú a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
 + Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
*Định nghĩa 2. Hai số phức z = a + bi (a,b ẻ Ă ) và zÂ= aÂ+ bÂi (a ',b' ẻ Ă ) được gọi là bằng nhau 
nếu a = a ' và b = b'. (phần thực bằng phần thực và phần ảo bằng phần ảo). Khi đú, ta viết: z = z ' .
2.Biểu diễn hỡnh học số phức.
 Mỗi số phức z = a + bi (a,b ẻ Ă ) được biểu diễn bởi một điểm M (a;b) trờn mặt phẳng toạ độ 
Oxy. Ngược lại mỗi điểm M (a;b) biểu diễn một số phức z = a + bi
 Mặt phẳng toạ độ với việc biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Trục Ox gọi là trục 
thực, trục Oy gọi là trục ảo.
3. Phộp cộng và phộp trừ số phức.
*Định nghĩa 3: Tổng của hai số phức z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i (a1,b1,a2,b2 ẻ Ă ) là số phức 
z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i .
*Tớnh chất của phộp cộng số phức.
 i, (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) với mọi z1,z2,z3 ẻ Ê 
 ii, z1 + z2 = z2 + z1 với mọi z1,z2 ẻ Ê 
 iii, z + 0 = 0 + z = z với mọi z ẻ Ê
 iv, Với mỗi số phức z = a + bi (a,b ẻ Ă ), nếu kớ hiệu số phức - a - bi là - z thỡ ta cú: 
z + (- z) = - z + z = 0. Số - z được gọi là số đối của số phức z .
*Định nghĩa 4. Hiệu của hai số phức z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i (a1,b1,a2,b2 ẻ Ă ) là tổng của hai số 
phức z1 và - z2 , tức là: z1 + (- z2) = z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i .
* í nghĩa hỡnh học của phộp cộng và phộp trừ số phức.
 uuur
 Mỗi số phức z = a + bi (a,b ẻ Ă ) được biểu diễn bởi M (a;b) cũng cú nghĩa là vộc tơ OM . 
 ur uur
Khi đú nếu u1,u2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1,z2 thỡ:
 ur uur
 +) u1 + u2 biểu diễn số phức z1 + z2 z '
z ' cho số phức z khỏc 0 là tớch của z ' với số phức nghịch đảo của z , tức là = z '.z- 1 . Như vậy, nếu 
 z
 z ' z '.z
z ạ 0 thỡ =
 2
 z z
 z ' z '.z z '.z zÂ
* Chỳ ý: Cú thể viết = = nờn để tớnh ta chỉ cần nhõn cả tử và mẫu số với z với lưu ý 
 2
 z z z.z z
 2
rằng z.z = z .
 1
*Nhận xột: + Với z ạ 0, ta cú: = 1.z- 1 = z- 1 .
 z
 z '
 + Thương là số phức w sao cho z.w = z '. Do đú, cú thể núi phộp chia cho số phức 
 z
khỏc 0 là phộp toỏn ngược của phộp nhõn.
 ổz 'ử z ' z ' z '
 ỗ ữ =
 + ỗ ữ= ; ; z1z2 = z1 . z2 ; z1 + z2 Ê z1 + z2
 ốỗz ứữ z z z
7. Bất đẳng thức tam giỏc :
 z1 + z2 Ê z1 + z2 ; dấu “=” xảy ra khi z1 = kz2; k ³ 0
 z1 - z2 Ê z1 + z2 ; dấu “=” xảy ra khi z1 = kz2; k Ê 0
 z1 + z2 ³ z1 - z2 ; dấu “=” xảy ra khi z1 = kz2; k Ê 0
 2 2 ổ 2 2ử
8. Cụng thức trung tuyến: z + z + z - z = 2ỗz + z ữ;
 1 2 1 2 ốỗ 1 2 ứữ
9. Tập hợp cỏc điểm biểu diễn số phức z thỏa món điều kiện cho trước:
 z - (a + bi) = r : Đường trũn tõm I(a;b) bỏn kớnh r
 z - (a + bi) = z - (c + di) : Đường thẳng d là trung trực của đoạn AB với A(a;b); B(c;d)
 z - (a + bi) + z - (c + di) = 2a : 
 - Là đoạn thẳng AB nếu AB=2a; với A(a;b); B(c;d)
 - Là elip (E) nhận A, B là hai tiờu điểm với độ dài trục lớn là 2a, với 2a > AB .
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC
I. Sử dụng tớnh chất của hỡnh học phẳng.
1. Lý thuyết
 Ta nhắc lại một số kết quả của hỡnh học phẳng được sử dụng trong quỏ trỡnh giải cỏc bài toỏn 
cực trị của biểu thức số phức.
 ❖ Cho đường thẳng D và điểm A khụng nằm trờn D . Điểm M trờn D cú khoảng cỏch đến A 
 nhỏ nhất chớnh là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn D . 2 3 2
 A. . B. . C. 2. D. 2 2. 
 2 2
 Lời giải.
Đặtz = x + yi (x,y ẻ Ă ) và M (x;y) là điểm biểu diễn số phức z.
 2 2 2
Từ z + 2 - 2i = z - 4i ị (x + 2) + (y - 2) = x 2 + (y - 4) Û x + y = 2 ị tập hợp điểm M là 
đường thẳng D : x + y = 2.
Ta cú P = w = iz + 1 = i (z - i ) = z - i = x + yi - i = x 2 + (y - 1)2 = MA với A(0;1).
 0 + 1- 2 2
Dựa vào hỡnh vẽ ta thấy Pmin = AM min = d (A,D) = = . 
 2 2
Cõu 2. Cho cỏc số phức z thỏa món | z - 1- 2i | + | z - 4 - 3i |= 10 . Tớnh giỏ trị lớn nhất và giỏ trị 
nhỏ nhất của z
 10 10
A. 5 và B. 5 và 5 C. 5 và D. 5 và 
 2 2
2 5
 Lời giải
Đặt A(1;2) , B(4;3) và gọi M là điểm biểu diễn số phức z trờn mặt phẳng. Theo giả thiết ta cú
 MA + MB =| z - 1- 2i | + | z - 4 - 3i |= 10 = AB
 Mà MA + MB ³ AB nờn M nằm trờn đoạn thẳng AB. 
 Lại cú
 OA2 + AB 2 - OB 2 2
 cosOãAB = = -
 2OA ìOB 2
 ã
 nờn OAB là gúc tự. Suy ra OA Ê OM Ê OB .
 Vậy min | z |= OA = 5 và max | z |= OB = 5
 ã
Nhận xột: Nếu khụng để ý đến gúc OAB là gúc tự, ta cú thể phạm phải sai lầm 
 10
minOM = d (O,AB) = .
 2 Gọi M là điểm biểu diễn số phức z1 và N là điểm biểu diễn số phức z2 trong mặt phẳng 
 phức. Từ đú ta cú z1 - z2 = NM .
 Ta thấy d(I ,D) > R ( Với I và R lần lượt là tõm và bỏn kớnh đường
 trũn (C))
 33 23
 Nờn NM = d(I ,D) - R = - 1 = .
 min 10 10
 23
 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của z - z bằng .
 1 2 10
Cõu 5. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa món z1 - 3i + 5 = 2 và iz2 - 1+ 2i = 4 . Tỡm giỏ trị lớn nhất 
 của biểu thức T = 2iz1 + 3z2 .
 A. 313 + 16.B. 313 . C. 313 + 8. D. 
 313 + 2 5 .
 Lời giải
 Ta cú z1 - 3i + 5 = 2 Û 2iz1 + 6 + 10i = 4 (1); 
 iz2 - 1+ 2i = 4 Û (- 3z2 )- 6 - 3i = 12 (2).
 Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2iz1 , B là điểm biểu diễn số phức - 3z2 . Từ (1) và (2) suy 
 ra điểm A nằm trờn đường trũn tõm I 1 (- 6;- 10) và bỏn kớnh R1 = 4 ; điểm B nằm trờn 
 đường trũn tõm I 2 (6;3) và bỏn kớnh R2 = 12.
 A B
 I1 I2
 2 2
 Ta cú T = 2iz1 + 3z2 = AB Ê I 1I 2 + R1 + R2 = 12 + 13 + 4 + 12 = 313 + 16.
 Vậy maxT = 313 + 16.
Cõu 6. Xột cỏc số phức z đồng thời thỏa món z - 4 + 3i - z + 4 + 3i = 10 và z - 3 - 4i nhỏ nhất. 
 Mụđun của số phức z bằng
 A. 5. B. 5 2. C. 6 2. D. 10.
 Lời giải
Gọi M (x;y), A(4;- 3), B (- 4;3) lần lượt là điểm biểu diễn cỏc số phức z, 4 - 3i, - 4 + 3i trong 
mặt phẳng tọa độ. Ta thấy z - z Û MN = d A;d = 2 2 .
 1 2 min min ( )
Cõu 8. Cho số phức z thay đổi nhưng luụn thoả món z + 5 + z - 5 = 6 . Giỏ trị nhỏ nhất của 
 biểu thức P = (1+ i )z - 4 + 4i bằng
 A. 2.B. 2 2 .C. 5.D. 5 2 .
 Lời giải
 Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z , và A(- 5;0), B ( 5;0).
 Khi đú, tập hợp tất cả cỏc điểm M thoả món là: MA + MB = 6 là đường Elip cú cỏc tiờu 
 điểm là A, B và trục lớn bằng 6.
 Ta cú: 2c = AB = 2 5 ị c = 5 và 2a = 6 ị a = 3. Mặt khỏc: b2 = a2 - c2 = 4.
 x 2 y2
 Do đú: (E ): + = 1.
 9 4
 Ta cú: P = (1+ i )z - 4 + 4i = 1+ i . z + 4i = 2 z - (- 4i ) . Gọi N (0;- 4).
 Suy ra: P = 2MN . Khi đú, 
 P min Û MN min = ON - b = 2, xảy ra khi và chỉ khi 
 M (0;- 2).
 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P bằng 2 2 .
Cõu 9. Cho số phức z thỏa món z = 3. Giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức T = z - 9 + 3 z + 1- 6i 
 bằng
 A. 3 10 .B. 6 10 .C. 3 10 + 4. D. 6 10 + 3.
 Lời giải
 Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z trờn mặt phẳng Oxy ị M thuộc đường trũn tõm 
 O , bỏn kớnh R = 3. Cõu 10. Cho hai số phức z1,z2 thỏa món z1 + 1- 2i = z1 - 5 + 2i và z2 + 3 - 2i = 2. Giỏ trị 
 nhỏ nhất của biểu thức P = z1 + 3 + i + z1 - z2 bằng
 A. 5 5 - 2.B. 10 + 2.C. 3 10 - 2.D. 85 - 2.
 Lời giải
 Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 và z2 .
 Gọi z1 = x + yi (x,y ẻ Ă ) , từ z1 + 1- 2i = z1 - 5 + 2i 
 2 2 2 2
 Û (x + 1) + (y - 2) = (x - 5) + (y + 2)
 Û 3x - 2y - 6 = 0
 ị Tập hợp điểm M là đường thẳng cú phương trỡnh (D): 3x - 2y - 6 = 0.
 Từ z2 + 3 - 2i = 2 ị Tập hợp điểm N là đường trũn tõm I (- 3;2), bỏn kớnh R = 2.
 Ta cú P = z1 + 3 + i + z1 - z2 = MA + MN , với 
 A = (- 3;- 1).
 I N
 Δ
 Dễ dàng chứng minh được điểm A và đường trũn (I ;R) nằm về 
 N'
 cựng một phớa so với đường thẳng D .
 M
 Gọi AÂ là điểm đối xứng của A qua D ị AÂ(3;- 5). A
 M'
 Ta cú P = MA + MN ³ MAÂ+ MI - R ³ AÂI - R = 85 - 2
 Â
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 điểm A ,M ,N,I thẳng hàng. A'
 Vậy min P = 85 - 2.
3. Bài tập cú hướng dẫn
Cõu 1. Xột cỏc số phức z,w,u thỏa món z = 1, w = 2, u = 3 và z + w - u = u + z - w . Giỏ 
trị lớn 
 nhất của z - u bằng
 A. 10 .B. 2 3 .C. 14 .D. 4.
 Gọi M , N , P lần lượt là biểu diễn của cỏc số phức z , w , u . Khi đú:
 uuur uuur uuur uuur
 OM = 1, ON = 2 , OP = 3 và OM + NP = OM - NP .
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 Ta cú OM + NP = OM - NP Û OM 2 + 2OM NP + NP 2 = OM 2 - 2OM NP + NP 2