Chuyên đề chứng minh đẳng thức và tính giá trị biểu thức – Ôn thi vào Lớp 10

C huyên đê 
CH ỨNG MINH ĐẲNG THỨC 
 VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC 
 4 
 c¸c chuyªn ®Ò båi d­ìng 
 Ch­¬ng I 
 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC 
  Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương 
 Thí dụ 1. Cho x, y, z là số thực thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: 
 111
 P=++=1 
 1+ x+ xy 1yyz++ 1+ z+ zx
 Lời giải 
 1xx
 Ta có: = = ; 
 1yyz++ x+ xy+ xyz 1+ x+ xy
 1 xy xy
 Mặt khác: = = 
 1+ z+ zx xy+ xyz+ x2 .yz 1+ x+ xy
 111
 Do đó: P =++ 
 1+ x+ xy 1yyz++ 1+ z+ zx
 1xxy 1+ x+ xy
 =++==1(đpcm) 
 ++++++++
 1 x xy 1 x xy 1 x xy 1 x xy
 Thí dụ 2. Giả sử x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: xyz++=xyz . 
 x 2y 3z xyz( 5x+ 4y+ 3z)
 Chứng minh rằng: ++= 
 1x+2 1y+2 1z+2(xyyzzx+)( +)( +)
 Lời giải 
 x xyz xyz xyz xyz
 Ta có: == = = 
 1+ x2yz+ x.xyz yzx.xyz+( ++) x2+xy+ yz+ zx (xyzx+)( +)
 2y 2xyz 3z 3xyz
 Tương tự ta có: = ; = 
 1y+2(xyyz+)( +) 1z+2( yzzx+)( +)
 x 2y 3z xyz 2xyz 3xyz
 Do đó: ++=++ 
 1x+2 1y+2 1z+2(xyzx+)( +) ( xyyz+)( +) ( yzzx+)( +)
 xyzyz2x2z3x3y( +++++) xyz5x4y3z( ++)
 = = 
 (xyyzzx+)( +)( +) ( xyyzzx+)( +)( +)
 x 2y 3z xyz( 5x+ 4y+ 3z)
 Vậy: ++= 
 1x+2 1y+2 1z+2(xyyzzx+)( +)( +)
 6 
 abc++
 =4− 2.= 2.
 abc 
 1 2
 Thí dụ 6. Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a4+b4+c4=(a2+b2+c2) 
 2
 Lời giải 
 2
 Từ: a + b + c = 0 ⇒bc+=− a⇒(bc+) = a2⇒b2+2bcc+2= a2 
 2
 ⇒a2−b2−c2=2bc⇒( a2−b2−c2) =4b22 c⇒ a 4+b4+c4=2a2 b2+ 2b22 c+ 2c 2 a2
 2 
 ⇒2a( 4+b4+c4) =(a2+b2+c2)
 1 2
 Vậy: a4+b4+c4=(a2+b2+c2) 
 2
 Thí dụ 7. Cho các số thực a, b, c khác nhau đôi một thỏa mãn: a3+b3+c3=3abc và 
 ab2 bc2 ca2
 abc≠ 0 . Tính: P =++ 
 a2+b2−c2b2+c2−a2c2+a2−b2
 Lời giải 
 Do a3+b3+c3=3abc ⇒(abca++)( 2+ b2+c2−abbcca−−) =0 
 Do a2+b2+c2−ab− bc− ca> 0 với a, b, đôi một khác nhau nên: a + b + c = 0 
 Suy ra: a + b + c = 0 
 ab2 ab2 ab2b2b2b
 Khi đó: = = === 
 a2+b2−c2a2+(bcbc−)( +) a2+(bc−)(− a) acb+−− bb−− 2
 bc2 c ca2 a
 Tương tự: = ; = 
 b2+c2−a2−2 c2+a2−b2−2
 Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được: 
 ab2 bc2 ca2 bca1
 P=++=++=−(abc++) = 0 
 a2+b2−c2b2+c2−a2c2+a2−b2−2−2−22
 Vậy P = 0. 
 2
 Thí dụ 7. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn: b≠c;ab+≠c và a2+b2=(abc+−) 
 2 2
 a+(ac−) ac−
 =
 Chứng minh rằng: 2 
 b2 +(bc−) bc−
 Lời giải 
 Ta có: 
 2
 a2=(abc+−) − b2=(abcbabcb+−+)( +−−)
 =(a+ 2b− c)( a− c)
 8 
 x=ab
 
 Đặt y= bc thìabc0++= và abc= 0 . Ta có: 
 
 z= ca
 bc ca ab bc33+ ca 33+ ab 33 x3+y3+z3
 ++= =
 a2b2c2 abc222 xyz
 (xyzx++)( 2+ y2+z2−xy− yz− zx) + 3xyz
 =
 xyz
 3xyz
 == 3
 xyz
  Dạng 4: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 
 x2+y2+z2x2y2z2
  =++
 Thí dụ 11. Cho a, b, c, z, y, z thỏa mãn 222222.
 a+b+cybc 
 Chứng minh rằng x2019+y 2019+z 2019 =0. 
 Lời giải 
 Ta có: 
 x2+y2+z2x2y2z2
 =++.
 a2+b2+c2a2b2c2
 x2x2y2y2z2z2
 ⇔−+−+−=
 2222222222220
 aa+b+cba+b+cca+b+c 
 211211211
 ⇔x−+y−+z−=0
 a2a2+b2+c2b2a2+b2+c2c2a2+b2+c2
 ⇔x=y=z=0(do mỗi số hạng của tổng đều không âm) 
 Vì vậy: 2019+ 2019+ 2019 =
 xyz0. 
 3
 Thí dụ 12. Cho ba số thực dương abc,, thỏa mãn a1b−2+ b1− c2+ c1− a2=. 
 2
 3
 Chứng minh rằng: a2+b2+c2=. 
 2
 Lời giải 
 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có 
 a2+1b−2 b2+1c−2 c2+1a−2 3
 a1b−2+ b1− c2+ c1− a2≤++=. 
 2222
 a=1b− 2  22
  a=1b−
   3
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b=1c−2⇔ b2=1c−2⇒ a2+b2+c2= (đpcm). 
 22 2
 c=1a− 2 c=1a−
  
 10 
  Dạng 6: Chứng minh có một số bằng hằng số cho trước 
 a+ b+ c= 2019
 
 Thí dụ 15. Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn 1111
  ++=
 abc2019 
 Chứng minh rằng trong các số a, b, c có một số bằng 2019 
 Phân tích: 
 Ta thấy việc chứng minh trong các số a, b, c có một số bằng 2019 sẽ tương đương 
 với việc chứng minh hệ thức sau đúng: (a−2019)(b− 2019)(c− 2019) = 0( *) khai 
 triển (*) ta được: 
 (*) ⇔(ab− 2019a− 2019b+ 20192 )( c− 2019) = 0
 ⇔abc− 2019( ab+ bc+ ca) + 20192( a+ b+ c) − 20193= 0( * *)
 111
 Từ giả thiết ++=2019 suy ra abc− 2019( ab+ bc+ ca) = 0(2) 
 abc 
 23
 Từ giả thiết abc++=2019 suy ra 2019( a+ b+ c) − 2019= 0.( 3) 
 Cộng (2) và (3) theo vế ta được (**) từ đây ta dẫn đến lời giải sau: 
 Lời giải 
 111
 Từ giả thiết ++=2019 suy ra abc− 2019( ab+ bc+ ca) = 0(2) 
 abc 
 23
 Từ giả thiết abc++=2019 suy ra 2019( a+ b+ c) − 2019= 0.( 3) 
 Cộng (2) và (3) theo vế suy ra: 
 abc− 2019( ab+ bc+ ca) + 20192( a+ b+ c) − 20193= 0
 ⇔(a− 2019)( b− 2019)( c− 2019) = 0(1)
 Từ (1) suy ra bài toán được chứng minh. 
 Nhận xét: Từ phân tích và cách giải bài toán trên ta thấy để giải đơn giản dạng toán 
 này chúng ta cần suy luận ngược để tìm ra lời giải. 
  111
 abc++=++
 Thí dụ 16. Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn  abc
 
  abc= 1 
 Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c có ít nhất một số bằng 1. 
 Phân tích: 
 Ta thấy việc chứng minh trong các số a, b, c có một số bằng 1 sẽ tương đương với 
 việc chứng minh hệ thức sau đúng: (a−1)(b−1)(c−1) =0*( ) khai triển (*) ta được: 
 (*) ⇔(abab1c1−−+)( −) = 0
 ⇔abc−( ab+ bc+ ca) +( abc++) −1= 0( * *)