Chuyên đề Chứng minh bất đẳng thức một biến Toán 10

 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến 
PHƨN 1. CÁC BÀI TOÁN BƦT ĐẲNG THỨC 1 BIẾN 
Trong phần này tïi sẽ giới thiệu tới các bạn một số cách chứng minh bất đẳng thức 1 biến cả bằng tay 
khïng với kết hợp với một chòt CASIO, trong đî cî một số bài toán khá là phức tạp cî thể sẽ khïng 
giòp ìch được nhiều cho lắm, nhưng tïi vẫn đưa vào để mọi người cñng tham khảo cách làm và sáng 
tạo thêm một số cách giải hay khác! 
I. CÁC BÀI TOÁN.
Bài 1: GiƧi phƣơng trënh: x2 8x16 x3 3x1 2x 7x2 0
 3
Bài 2: GiƧi phƣơng trënh: x2 x1 x2 1x 2 x62x 3 2x 2 9x2 
Bài 3: GiƧi phƣơng trënh: x5 7x 4 12x 3 x 2 3x6126 5x 0
 20x x 1 20 x 1 9
Bài 4: Chứng minh rằng: f x 4 x 1 x 1 1 0  x 1;
 5x 1 2 9 5x 2 5
 5x2 5x 10 2x 6
Bài 5: Chứng minh rằng: f x x2 5 0  x  2; 
 x 7 3 x 2 2
Bài 6: Chứng minh rằng: 
 x 1 x 1
 f x 2 3 0  x ;1
 2 x 3x 1 2
 1 x 3 2x 1 3 
 3 2 3 
 1
Bài 7: Chứng minh rằng: x4 2x 3 3x 2 6x 7 x 2 2x 5 x 1 4x  2 0 x
 2
 x 1 2x 1
Bài 8: Chứng minh rằng: f x 2 0  x 3; 
 22 
 x 3 1 x 5 3
Bài 9: Chứng minh rằng: f x 4 x42 1 x 3x 1 2x 10 vï nghiệm.
 x 1 x 3 x 11
Bài 10: Chứng minh rằng: f x 0  x 3; 
 22 
 x 1 1 x 3 3 36
 x 1 2x 1 19
Bài 11: Chứng minh rằng: f x 0  x 2; 
 22 
 x 1 2 x 2 1 7
 4 x 1 3 x 2 2 2 4
Bài 12: Chứng minh rằng: f x x 0  x ;
 x22 2 3 x 4 8 5 2 5
 x3 1 2x 1 1
Bài 13: Chứng minh rằng: f x 3 0  x ; 
 8x 5 x 2 6x 2 x 1 3
Bài 14: GiƧi phƣơng trënh: 9x42 32x 5 184 3x 0
 1 1 x2 1
Bài 15: GiƧi phƣơng trënh: 
 2x 3 x 4 x2 2x 5 1
Bài 16: Chứng minh rằng: 
 f x x x 2 3x x4 x 3 x 2 x 1 3x6 3x 5 3x 4 3x 2 x 2 x2  3 0 x 1
 2
 2x 1 4 x x 1 
 1 
Bài 17: GiƧi hệ phƣơng trënh: y y2 3
 3
 x3y11 2 xyx2x2 
 Page 3 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến 
II. HƯỚNG DẪN GIƤI.
Bài 1: Giƥi phương trình: 
 Nguyễn Minh Tuấn 
 Giƥi 
 Bài này cî rất nhiều cách giƧi khác nhau nhƣng ta cứ liên hợp rồi chứng minh vï
 nghiệm xem sao.
 Ta có: x2 8x16 x3 3x1 2x 7x2 0
 x2 8x 16 x 3 3x 1 2 x 7x 2 0
 x4x1 x3 3x12 2x 7x23 0
 3 x 3 x 1 7 2 x x 1 
 x 4 x 1 0
 3x 1 2 7x 2 3
 x1 
 3 x 3 7 2 x 
 f x x 4 0
 3x 1 2 7x 2 3
 2
 Nhiệm vụ là chứng minh f x 0  x . 
 7
 3 x 3 0
 Với x 3 2 x 0 . Khi đî cî: 
 3x 1 2 5
 3x3 72x 2x29 7x2 29x157 
 f x x 4 
 5 7x 2 3 5 7x 2 3 
 157
 1. Với x f x 0 . 
 29
 157 28x32 21x 15225x 22967 157
 2. Với x thì f x 0  x 
 29 5 7x 2 3 2x 29 7x 2 29x 157 29
 2 2 x 0
 Với x ;2 ta có: . Khi đî ta cî: 
 7 7x 2 3 7
 3x3 63x1123x3 6 3x 1 21 3x
 f x 6 0
 3x 1 2 3x 1 2 3x 1 2
 3 x 3 0
 Với x  2;3 , ta có: 2 x 0 . Khi đî tƣơng tự nhƣ trên ta cî: 
 7x 2 3 7
 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết hoàn toàn!.
 Nhận xét 
 Ngoài cách nhƣ trên ta vẫn cî thể tinh ó nhîm nhƣ sau:
 Page 5 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến 
 22
 x22 x 1 3 2 x x 1 3 2x x x 1 3 x x 1
 1. x0 
 x2 x 1 2 2 2 x22 x 1 2 2 x x 1 2 
 22
 x22 1 7 2 x 1 7 2x x 1 7 x 1
 2. x0 
 x2 x 6 3 2 2 x22 x 6 3 2 x x 6 3 
 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!
Bài 3: Giƥi phương trình: 
 Nguyễn Minh Tuấn 
 Giƥi 
 x5 7x 4 12x 3 x 2 3x6126 5x 0
 Ta có:
 5 4 3 2 20x x 1 20 x 1 9
 x 7xf x 12x 4 x x 1 3x6126 x 1 5x 0 1 0  x 1;
 5x 1 2 9 5x 2 5
 x1x 4 8x 3 20x 2 21x 18 12 6 5x 1 0
 x1 
 60
 f x x 3 x32 5x 5x 6 0
 6 5x 1
 Để ó thấy:
 6
 1. Với x ;x  3; f x 0 . Với x thỏa mãn x32 5x 5x 6 0
 0 5 0 0 0 0
 2. Với x  x0 ; 3  ta có: 
 60 300
 - g x g' x 2 0 g x g x0 9
 6 5x 1 2 6 5x 6 5x 1 
 2
 2 2 13 39
 - Khi đî: f x x 4x 1 2 x 0
 48
 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!
Bài 4: Chứng minh rằng: 
 Giƥi 
 Để ó thấy:
 9 20 x 1
 1. Do x 1; nên 9 5x 2 4 5 x 1
 5 9 5x 2
 20x x 1
 2. Khi đî f x g x 4 x 1 x 1 5 x 1 1
 5x 1 2
 22
 x1125x1 x1 5x12 9
  
 3. Lƥi cî: g x 2 0 x 1;
 5x 1 2 5
 9
 4. Nên f x 0  x 1; ( đpcm). Xong! 
 5
 Page 7 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến 
Bài 6: Chứng minh rằng: 
 Giƥi 
 Nhận thấy
 2x 1 3
 1. g x 1 x 3 nghịch biến trên ;1 nên g x g 1 
 32 2 6
 3x 1 13
 2. v x 2x 1 3 đồng biến trên nên v x v 
 3 26
 x 1 x
 Khi đî f x 2 3 0
 33
 66
 Vậy ta cî điều phƧi chứng minh.
 Hướng dẫn 
 Bài này khïng cî gë phƧi bànx 1 cƧ. Do dƣới mẫu đangx cî căn chứa đa thức1 bậc nhất nên
 f x 2 3 0  x ;1
 ta sẽ đánh giá từng căn với một 2 hằng x số, nếu khïng 3xđánh 1 giá đƣợc nhƣ2 vậy thë dñng
 1 x 3 2x 1 3 
 DAC khïng cî gë khî cƧ. 3 2 3 
 1
 Ở trên tïi trënh bàyx4 hơi 2x tắt, 3 3xđáng 2 6x lẽ phƧi 7 xcî 2phần 2x chứng 5 xminh 1 4xđƥo  2hàm 0 mang x 1 dấu
 nữa, nhƣng thïi thời gian cî hƥn mong thïng cƧm . 2
Bài 7: Chứng minh rằng: 
 Giƥi 
 19
 2x 5 x 
 24
 Với x2 ta cî 2 bổ đề sau (tự chứng minh nhé): .Khi đî ta cî: 
 98
 4x 2 x 
 45
 22
 4 39 2 16 2 6 1 4 427
 fxx2x x x9,9xx x 0
 10 5 5 2 5 50
 1 2x 5 2
 Với x ;2 ta có: . Khi đî: 
 2 4x 2 4
 2
 fx x4 2x 3 3x 2 7xx1 2 2x2 70 
 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!
 Nhận xét. 
 Ở trên tïi cî nêu lên 2 bổ đề mà nhiều ngƣời đọc sẽ chẳng hiểu đƣợc kiếm đâu ra. Sau
 đây tïi xin trënh bày các bƣớc làm.
 Page 9