Chuyên đề Chữ số tận cùng Toán 6

 1 
 CHUYÊN ĐỀ .CHỮ SỐ TẬN CÙNG 
 A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT 
 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
 1. Tìm 1 chữ số tận cùng 
 Tính chất 1: 
 a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn 
 không thay đổi. 
 b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không 
 thay đổi. 
 c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4nn thì chữ số tận cùng 
 là1. 
 d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4nn thì chữ số tận cùng 
 là6. 
 Chú ý: Muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên xam , trước hết ta xác định chữ số tận 
 cùng của a : 
 - Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6. 
 - Nếu chữ số tận cùng của a là 3, 7, 9 : 
 Phân tích: am a44 n r a n. a r với r 0, 1, 2, 3 
 Từ tính chất 1c chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của a r . 
 - Nếu chữ số tận cùng của a là 2, 4, 8 : cũng như trường hợp trên 
 Từ tính chất 1d chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6ar . 
 Tính chất 2: 
 Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 41nn thì chữ số tận cùng vẫn không 
 thay đổi. 
 Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng 
 của từng lũy thừa trong tổng. 
 3 
 65 76  mod 100 
 74 01  mod 100 
 Mà: 76n 76  mod 100 với n 1, 
 5n 25 mod 100 với n 2 . 
 Suy ra kết quả sau với k * : 
 a20k 00 mod 100 nếu a 0 mod 10 , 
 a20k 01 mod 100 nếu a 1; 3; 7; 9 mod 10 , 
 a20k 25 mod 100 nếu a 5 mod 10 , 
 a20k 76 mod 100 nếu a 2; 4; 6; 8 mod 100 . 
 Vậy để tìm hai chữ số tận cùng của a n ta lấy số mũ n chia cho 20 . 
 Dạng 1. 
 - Các số có tận cùng bằng 01; 25; 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 
 01; 25; 76 
 - Các số 320 (hoặc 815 ); 74 ; 51 2 ; 99 2 có tận cùng bằng 01. 
 - Các số 220;;; 6 5 18 424 2; 6 8 4; 74 2 có tận cùng bằng 76. 
 - Số 26n n 1 có tận cùng bằng 76. 
 - Các số có chữ số tận cùng là 01;25;76 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì khác 0 thì hai chữ số tận 
 cùng vẫn không thay đổi. (1) 
 - Các số 320 ;7 4 ;9 10 ;51;81;99 2 5 2 có chữ số tận cùng là 01. (2) 
 - Các số 410 ;6 5 ;18 4 ;24 2 ;68 4 ;74 2 có chữ số tận cùng là 76. (3) 
 - Số26n (n 1) có chữ số tận cùng là 76. (4) 
 Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên xam , trước hết ta xác định chữ số tận cùng 
 của a. 
 Dạng 2. CHÚ Ý: 
 - 410 có 2 chữ số tận cùng là 76. 
 - 52 có 2 chữ số tận cùng là 25. 
 5 
 a100k 625 mod 10 3 nếu a 5 mod 10 
 a100k 376 mod 10 3 nếu a 2; 4; 6; 8 mod 10 
 Vậy để tìm ba chữ số tận cùng của a n ta tìm 2 chữ số tận cùng của số mũ n . 
 Dạng 3. Một số trường hợp cụ thể về 3 chữ số tận cùng 
 Các số có tận cùng bằng 001; 376; 625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 
 001; 376; 625. 
 Các số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 0625. 
 II. CÁC DẠNG TOÁN 
 Dạng 1: Tìm 1 chữ số tận cùng 
 Ví dụ 1.1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 
 a)3240 b ) 2018 2019 c )27 50 d ) 2019 2020 
 Phân tích: 
 - Ta biết rằng các số tận cùng là 2;4;6;8 khi nâng lên lũy thừa 4n đều cho tận cùng là 6. 
 Còn các số tận cùng là 1;3;7;9 khi nâng lên lũy thừa 4n đều cho tận cùng là 1. 
 - Để đưa về lũy thừa 4n thì em cần viết số mũ dưới dạng công thức của phép chia có dư với số chia 
 là 4 . 
 - Để tìm chữ số tận cùng của mỗi lũy thừa trên ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của hàng đơn vị. 
 Lời giải 
 a) Để tìm chữ số tận cùng của 3240 ta tìm chữ số tận cùng của 240 
 Ta xét 240 , ta có 240 2 4.10 ...6 
 Vậy 3240 có chữ số tận cùng là 6. 
 b) Để tìm chữ số tận cùng của 20182019 ta tìm chữ số tận cùng của 82019 
 Ta xét, ta có 82019 8 4.502 8 ...6 8 ...8 
 Vậy 20182019 có tận cùng là 8 . 
 c) Chữ số tận cùng của 2750 cũng là chữ số tận cùng của 750 
 Ta có 750 7 4.12 7 2 ...1 49 ...9 
 7 
 24
 Suy ra, 2625 26 4kk 1 26 4 26 ...6 26 ...6 
 24
 Vậy 2625 có tận cùng là 6. 
 Nhận xét: Trong phần này rõ ràng dựa vào nhận xét ‘Số có tận cùng là 6 khi nâng lên lũy thừa bất 
 kỳ luôn có tận cùng là 6’ thì lời giải rất đơn giản. 
 b) Tương tự, ta tìm số dư khi chia số mũ của 2013 cho 4 . 
 2014 2 mod 4 20142015 2 2015 mod 4
 20142015 0 mod 4
 Ta có 22015 2 2.1002 2 4 1002 2 
 20142015 4k k N *
 2015
 Do đó 20132014 2013 4kk 2013 4 ...1 
 2015
 Vậy 20132014 có tận cùng là 1. 
 52
 c) Trước hết ta tìm số dư trong phép chia 5051 khi chia cho 4 . 
 Ta có 50 2 mod4 ; 502 0 mod4 ; 50k 0 mod4k 2 
 52
 Suy ra 5051 0 mod4 nN 
 52 52
 Mà 5152 là số lẻ nên 5051 0 mod4 50 51 4m ( m N ) 
 5152
 Từ đó ta có 7850 78 4mm 78 4 ...6 
 5152
 Vậy 7850 có tận cùng là 6. 
 Bình luận: 
 Với bài toán ở dạng lũy thừa tầng thì ta luôn chú ý tìm cách viết số mũ dưới dạng công thức của 
 phép chia có dư với số chia là 4 . Tuy nhiên, nếu tận cùng là một trong các số đặc biệt như: 
 0;1;5;6 thì ta nhận xét ngay mà không cần quan tâm đến giá trị của số mũ. Còn nếu tận cùng là 4 
 hoặc 9 thì ta có thể xem xét tính chẵn lẻ của số mũ để suy ra kết quả. 
 Ví dụ 1.4: Tìm chữ số tận cùng của 
 a)789 4 81 b)22014 .9 1955 
 Lời giải 
 9 
 ) Ta biết rằng tích của 5 với bất kỳ số lẻ nào cũng có tận cùng là 5, do đó tích 1 3 5 ... 2019 
 sẽ có tận cùng là 5. Mặt khác, số có tận cùng là 5 khi nâng lên lũy thừa bất kỳ vẫn tận cùng là 5. 
 2020
 Vậy 1 3 5 ... 2019 có tận cùng là 5. 
 Khai thác: Ta biết rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp sẽ có tận cùng là 1 trong các số sau: 
 0;2;6 do đó, ta có thể ra bài toán như sau: 
 Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: 
 2020 2020
 a) n2 n 1 3 5 ... 2019 ; b ) 2 n 1 2 n 2 1 3 5 ... 2019 
 c) Đặt A 8 18 28 38 ... 198 . Số thừa số của tích này là: 198 8 : 10 1 20 (số 
 hạng) (1) 
 Ta thấy tích 4 thừa số có tận cùng là 8 sẽ có tận cùng là 6. Vì có 20 thừa số ta kết hợp được 5 
 nhóm mỗi nhóm có 4 thừa số, tích mỗi nhóm này có chữ số tận cùng là 6. Do đó kết quả của tích A 
 có chữ số tận cùng là 6. Mà số có tận cùng là 6 nâng lên lũy thừa bất kỳ sẽ có tận cùng là 6, suy ra 
 202
 A200 sẽ có tận cùng là 6. 
 Vậy lũy thừa của tích có tận cùng là 6. 
 Khai thác: - Ta để ý, chữ số tận cùng của A cũng là chữ số tận cùng của 8 8 8 ... 8 (20 thừa 
 200202
 số), do đó ta có thể quy về việc tìm chữ số tận cùng của 820 
 - Ta có mở rộng bài toán bằng cách cho tăng số lượng các thừa số của tích. 
 - Hoàn toàn tương tự, ta cũng có thể thay đổi chữ số tận cùng của mỗi thừa số trong tích bởi một 
 chữ số khác. 
 Chẳng hạn, tìm chữ số tận cùng của các số sau: 
 2020
 A 2 12 22 ... 2022 
 100200
 B 7 17 27 ... 2017 
 d) Ta để ý rằng các nhóm 1 3 7 9;11 13 17 19;...;2011 2013 2017 2019 đều có tận 
 cùng giống nhau, nên ta đi tìm chữ số tận cùng của 1 nhóm. 
 Ta có 1 3 7 9 ...9 
 Có số nhóm là: (2011 1) : 10 1 202 (nhóm)